Математическая задача

[severe]

Дано множество ненулевых векторов \( \vec a_{ij} \), \( i,j=1,2...N \), \( i\neq j \), удовлетворяющих условию \( a_{ij}a_{jk}\vec a_{ki}=-a_{ji}a_{kj}\vec a_{ik} \) (1).
Как ввести переменную \( m_i \), чтобы она удовлетворяла условию \( m_i\vec a_{ij}=-m_j\vec a_{ji} \) (2)?

PS. Задача чисто математическая. И вдогонку - надеюсь, многие понимают, что такое два индекса-счётчика, значения которых не равны друг другу.

[sergey_B_K]

Дано множество векторов \( \vec a_{ij} \), \( i,j=1,2...N \), \( i\neq j \), удовлетворяющих условию \( a_{ij}a_{jk}\vec a_{ki}=-a_{ji}a_{kj}\vec a_{ik} \).
Как ввести переменную \( m_i \), чтобы она удовлетворяла условию \( m_i\vec a_{ij}=-m_j\vec a_{ji} \)?

PS. Задача чисто математическая. И вдогонку - надеюсь, многие понимают, что такое два индекса-счётчика, значения которых не равны друг другу.

Прежде всего, почему вектор только у последнего? А первые два просто тензоры второго ранга? Или как?

[severe]

Обращаюсь к Ost'у. Может ли он решить эту задачу? Я уверен, что он понял, о чём речь. Поэтому, пусть он её переформулирует более корректно, если его чем-то не устраивает изначальная формулировка.

[severe]

Прежде всего, почему вектор только у последнего? А первые два просто тензоры второго ранга? Или как?

Первые два модули векторов.

[sergey_B_K]

Первые два модули векторов.

Ну, если Ost знает о чём речь?.. По-моему, тут что-то не то в самой записи. модуль по i, j это круто... 

[severe]

Ну, если Ost знает о чём речь?.. По-моему, тут что-то не то в самой записи. модуль по i, j это круто... 

Матрица может быть составлена из векторов? Относитесь к ним как к элементам матрицы, если Вам так больше нравится.

[sergey_B_K]

Матрица может быть составлена из векторов? Относитесь к ним как к элементам матрицы, если Вам так больше нравится.

Если рассматривать как матрицы, то Ваше условие

\( m_i\vec a_{ij}=-m_j\vec a_{ji} \)?

фактически обозначает транспонирование матрицы с образованием антисимметричной матрицы, у которой элементы главной диагонали равны нулю. Вашим произведением здесь не пахнет. Тем более, что произведение матриц транспонируется иначе и сами m_i, m_j транспонирование не произведут, имхо. Способ транспонирования здесь
И вообще, чем отличаются индексы в m_i и m_j?

[severe]

Если рассматривать как матрицы, то Ваше условиефактически обозначает транспонирование матрицы с образованием антисимметричной матрицы, у которой элементы главной диагонали равны нулю. Вашим произведением здесь не пахнет. Тем более, что произведение матриц транспонируется иначе и сами m_i, m_j транспонирование не произведут, имхо. Способ транспонирования здесь

Я где-то говорил о произведении матриц? Дана матрица, элементы которой удовлетворяют указанному условию.

И вообще, чем отличаются индексы в m_i и m_j?

Тем, что не равны друг другу. И вообще, я не совсем понял, что Вы хотели сказать? То, что задача не имеет решения?

[sergey_B_K]

Я где-то говорил о произведении матриц? Дана матрица, элементы которой удовлетворяют указанному условию.Тем, что не равны друг другу. И вообще, я не совсем понял, что Вы хотели сказать? То, что задача не имеет решения?

У Вас каждая строка умножена на некоторое своё число? Тогда какая связь между

aijajka→ki=−ajiakja→ik.

и условием

mia→ij=−mja→ji

В первом случае, как я понимаю, идёт суммирование по индексу j, но

mi и mj

при этом не появляются.

[severe]

Ну, математики, \( m_i\equiv? \)
Сергей, дана матрица, векторные элементы которой удовлетворяют условию \( a_{ij}a_{jk}\vec a_{ki}=-a_{ji}a_{kj}\vec a_{ik} \), \( i\neq j\neq k \). Как ввести \( m_i \), чтобы \( m_i\vec a_{ij}=-m_j\vec a_{ji} \)? Мне непонятно, что Вам непонятно? Если, считаете, что задача не имеет решения, то так и скажите.

[severe]

На самом деле эта задача имеет бесконечное множество решений. Я прошу вас привести хотя бы одно, то, к которому вы все ещё с детства привыкли!

[sergey_B_K]

На самом деле эта задача имеет бесконечное множество решений. Я прошу вас привести хотя бы одно, то, к которому вы все ещё с детства привыкли!

Ну, это Вы уже с Ost'ом разбирайтесь... Для меня имеет справедливость базовая теорема о единственности решения задачи.  Ну, а если задача задана тупо, то там всё, что угодно может быть... Меня подобное не интересует. 

[severe]

Для меня имеет справедливость базовая теорема о единственности решения задачи.

Какой задачи?

Ну, а если задача задана тупо, то там всё, что угодно может быть... Меня подобное не интересует.

Это была реакция образованного человека, когда его попросили написать то, на что он пялился ещё со школьной скамьи?

[sergey_B_K]

Какой задачи?Это была реакция образованного человека, когда его попросили написать то, на что он пялился ещё со школьной скамьи?

Это уже с Ost'ом... 

[severe]

Всем известный вариант решения этой задачи выглядит так: \( m_1= 1 \) и \( m_i= \frac{a_{1i}}{a_{i1}}m_1, \ если \ i\neq1 \).

Проверим соблюдение условия (2) для i=1. Левая часть (2) выглядит так \( 1\cdot \vec a_{1j} \), правая так \( -\frac{a_{1j}}{a_{j1}}\cdot 1\cdot \vec a_{j1} \). Нужно доказать их равенство друг другу.
Займёмся правой частью \( -\frac{a_{1j}}{a_{j1}}\cdot 1\cdot \vec a_{j1}=-a_{1j}\vec 1_{j1} \). Из условия (1) следует \( \vec 1_{j1}=-\vec 1_{1j} \). Значит, \( -a_{1j}\vec 1_{j1}=a_{1j}\vec 1_{1j}=\vec a_{1j} \). Соблюдение условия (2) для i=1 проверено.

Проверка соблюдения условия (2) для \( i\neq 1 \) временно предоставляется читателям...

[sergey_B_K]

Всем известный вариант решения этой задачи выглядит так: \( m_1= 1 \) и \( m_i= \frac{a_{1i}}{a_{i1}}m_1, \ если \ i\neq1 \).

Проверим соблюдение условия (2) для i=1. Левая часть (2) выглядит так \( 1\cdot \vec a_{1j} \), правая так \( -\frac{a_{1j}}{a_{j1}}\cdot 1\cdot \vec a_{j1} \). Нужно доказать их равенство друг другу.
Займёмся правой частью \( -\frac{a_{1j}}{a_{j1}}\cdot 1\cdot \vec a_{j1}=-a_{1j}\vec 1_{j1} \). Из условия (1) следует \( \vec 1_{j1}=-\vec 1_{1j} \). Значит, \( -a_{1j}\vec 1_{j1}=a_{1j}\vec 1_{1j}=\vec a_{1j} \). Соблюдение условия (2) для i=1 проверено.

Проверка соблюдения условия (2) для \( i\neq 1 \) временно предоставляется читателям...

По-моему, тут обычное жонглирование символами. Куда подевался символ к? Где потерялся m_j?
Так что угодно можно доказывать...

[severe]

По-моему, тут обычное жонглирование символами. Куда подевался символ к? Где потерялся mj?
Так что угодно можно доказывать...

По-Вашему имеет значение какой буквой обозначить индекс-счётчик?

[sergey_B_K]

По-Вашему имеет значение какой буквой обозначить индекс-счётчик?

Имеет, если он исчезает из доказательства. 

[severe]

Имеет, если он исчезает из доказательства.

Имеет значение, какой буквой обозначить индекс-счётчик, исчезающий из доказательства?
На самом деле ни один индекс-счётчик не исчезал из доказательства. Обозначался другой буквой - это да, но это не важно.

[sergey_B_K]

Обозначался другой буквой - это да, но это не важно.

Ну, если Вам не важно каким индексом что обозначалось, то тоди так...