Математическая задача

[sergey_B_K]

Кстати, проверку \( a_{23}a_{34}a_{42}=a_{32}a_{43}a_{24} \) Вы всё-таки не прошли.
\( 5\cdot 35\cdot 3=3\cdot 21\cdot 35/3 \)
\( 525=735 \)

Давайте не симулировать

\( a_{23}a_{34}a_{42}=a_{32}a_{43}a_{24} \)
\( 15\cdot 35\cdot 1=3\cdot 21\cdot 25/3=525 \)

[severe]

А в указанном Вами равенстве нет этих элементов. Я проверял, все тройки не пересекающиеся по элементам. Так что если не прошли проверку, то Вы сами. Не нужно валить с больной головы на здоровую

Моя матрица прошла проверку на соответствие критерию

\( a_{12}a_{23}a_{31}=a_{21}a_{32}a_{13} \)

\( a_{34}a_{41}a_{13}=a_{43}a_{14}a_{31} \)

\( a_{23}a_{34}a_{42}=a_{32}a_{43}a_{24} \)

А Ваша матрица - нет!

[sergey_B_K]

Моя матрица прошла проверку на соответствие критерию

\( a_{12}a_{23}a_{31}=a_{21}a_{32}a_{13} \)

\( a_{34}a_{41}a_{13}=a_{43}a_{14}a_{31} \)

\( a_{23}a_{34}a_{42}=a_{32}a_{43}a_{24} \)

А Ваша матрица - нет!

Понятно, сели в лужу и не хотите признаваться. Я уже привёл Ваши же вычисления, которые показывают, что я парно заменил два числа, сохранив произведение. Так что всё остальное банальный оговор, как следствие продемонстрированной мною неработоспособности Ваших критериев. А там и две другие пары можно поменять и даже не числами с общим произведением простых сомножителей, а примитивно сами числа. И всё, "кина не будет"... Так что от Вашего упрямства здесь ничего уже не зависит. Если облом, так облом. 

[severe]

Давайте не симулировать

Ваша матрица: \( \left| {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 3 & 6 & {75}  \\
   5 & 0 & {\bf{5}} & {35/3}  \\
   2 & 3 & 0 & {35}  \\
   {15} & {\bf{3}} & {21} & 0  \\
\end{array}} \right| \)

Не прошла и проверку
\( a_{23}a_{34}a_{42}=a_{32}a_{43}a_{24} \)
\( 5\cdot 35\cdot 3=3\cdot 21\cdot 35/3 \)
\( 525=735 \)

[sergey_B_K]

Ваша матрица: \( \left| {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 3 & 6 & {75}  \\
   5 & 0 & {\bf{5}} & {35/3}  \\
   2 & 3 & 0 & {35}  \\
   {15} & {\bf{3}} & {21} & 0  \\
\end{array}} \right| \)

Не прошла и проверку
\( a_{23}a_{34}a_{42}=a_{32}a_{43}a_{24} \)
\( 5\cdot 35\cdot 3=3\cdot 21\cdot 35/3 \)
\( 525=735 \)

Повторяю, я Вам привёл Ваше же, демонстрирующее, что произведение я не изменял.

\( a_{23}a_{34}a_{42}=a_{32}a_{43}a_{24} \)
\( 15\cdot 35\cdot 1=3\cdot 21\cdot 25/3=525 \)

Если Вы намухлевали, Вам считается... 

[severe]

Повторяю, я Вам привёл Ваше же, демонстрирующее, что произведение я не изменял.

В моей матрице \( a_{24}=25/3 \), в Вашей матрице \( a_{24}=35/3 \).


Моя матрица \( \begin{pmatrix}
0 & 3 & 6 & 75\\
5 & 0 & 15 & 25/3\\
2 & 3 & 0 & 35\\
15 & 1 & 21 & 0
\end{pmatrix} \)


Ваша матрица \( \left| {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 3 & 6 & {75}  \\
   5 & 0 & {\bf{5}} & {35/3}  \\
   2 & 3 & 0 & {35}  \\
   {15} & {\bf{3}} & {21} & 0  \\
\end{array}} \right| \)

[sergey_B_K]

В моей матрице \( a_{24}=25/3 \), в Вашей матрице \( a_{24}=35/3 \).


Моя матрица \( \begin{pmatrix}
0 & 3 & 6 & 75\\
5 & 0 & 15 & 25/3\\
2 & 3 & 0 & 35\\
15 & 1 & 21 & 0
\end{pmatrix} \)


Ваша матрица \( \left| {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 3 & 6 & {75}  \\
   5 & 0 & {\bf{5}} & {35/3}  \\
   2 & 3 & 0 & {35}  \\
   {15} & {\bf{3}} & {21} & 0  \\
\end{array}} \right| \)

Ну, поставьте то, что у Вас. т.е. 25/3 я это число не изменял. 

[severe]

Ну, поставьте то, что у Вас. т.е. 25/3 я это число не изменял.

Я тоже не изменял. Сейчас подставим 5*35*3=3*21*(25/3)=525. Да, Вы прошли проверку \( a_{23}a_{34}a_{42}=a_{32}a_{43}a_{24} \). Но не прошли проверку  \( a_{12}a_{23}a_{31}=a_{21}a_{32}a_{13} \). Это значит, что Вы не прошли проверку.
 

[sergey_B_K]

Но не прошли проверку  \( a_{12}a_{23}a_{31}=a_{21}a_{32}a_{13} \). Это значит, что Вы не прошли проверку.

А там я вообще ничего не трогал и изменённых мной ячеек там нет. 

[severe]

А там я вообще ничего не трогал и изменённых мной ячеек там нет.

Да, ну. В моей матрице \( a_{23}=15 \), в Вашей матрице \( a_{23}=5 \).
Это так сложно провести проверку \( a_{12}a_{23}a_{31}=a_{21}a_{32}a_{13} \)?

В моей матрице
3*15*2=5*3*6=90

В Вашей матрице
3*5*2=5*3*6
30=90

[severe]

Этих чисел море, например
2, 21, 75  =3150
6, 35, 15 = 3150
Но не в этом суть... 

Сергей, подкиньте, пожалуйста, ещё хотя бы одну шестерку чисел. Я Вам тогда сам сделаю ещё одну матрицу 4х4, отвечающую критерию равенства треугольных произведений относительно главной диагонали. И покажу, что теорема будет работать и с ней.

[sergey_B_K]

Да, ну. В моей матрице \( a_{23}=15 \), в Вашей матрице \( a_{23}=5 \).
Это так сложно провести проверку \( a_{12}a_{23}a_{31}=a_{21}a_{32}a_{13} \)?

В моей матрице
3*15*2=5*3*6=90

В Вашей матрице
3*5*2=5*3*6
30=90

Да, не учёл некоторую связность равенств, что Вас не спасает... 
\[ \left| {\begin{array}{*{20}c}
   0 & {\bf{9}} & 6 & {75}  \\
   5 & 0 & {\bf{5}} & {25}  \\
   2 & 3 & 0 & {35}  \\
   {15} & {\bf{3}} & {21} & 0  \\
\end{array}} \right|
\
 \]
Всё же не моя задача... Вам нужно было бы внимательнее проверять самого себя. Достаточно изменить a₁₂ и всё приходит к тому, что я говорю. Этот элемент не парный и на нём зависимость обрывается. В общем, можно предполагать, что таких зависимостей может быть 3, поскольку 6 элементов непарных. 

[severe]

Да, не учёл некоторую связность равенств, что Вас не спасает... 
\[ \left| {\begin{array}{*{20}c}
   0 & {\bf{9}} & 6 & {75}  \\
   5 & 0 & {\bf{5}} & {25}  \\
   2 & 3 & 0 & {35}  \\
   {15} & {\bf{3}} & {21} & 0  \\
\end{array}} \right|
 \]
Всё же не моя задача... Вам нужно было бы внимательнее проверять самого себя. Достаточно изменить a₁₂ и всё приходит к тому, что я говорю. Этот элемент не парный и на нём зависимость обрывается. В общем, можно предполагать, что таких зависимостей может быть 3, поскольку 6 элементов непарных. 

Спасибо. Итак, Ваша новая матрица \( \left| {\begin{array}{*{20}c}
   0 & {\bf{9}} & 6 & {75}  \\
   5 & 0 & {\bf{5}} & {25}  \\
   2 & 3 & 0 & {35}  \\
   {15} & {\bf{3}} & {21} & 0  \\
\end{array}} \right| \)

Прежде всего проведём её проверку на критерий

\( a_{12}a_{23}a_{31}=a_{21}a_{32}a_{13} \)
\( 9\cdot 5\cdot 2=5\cdot 3\cdot 6 \)
\( 90=90 \). Зачёт.

\( a_{34}a_{41}a_{13}=a_{43}a_{14}a_{31} \)
\(  35\cdot  15\cdot  6=21 \cdot 75\cdot 2 \)
\( 3150=3150 \). Зачёт.

\( a_{23}a_{34}a_{42}=a_{32}a_{43}a_{24} \)
\(  5\cdot  35\cdot 3 = 3\cdot 21\cdot 25 \)
\( 525=1575 \)

Сожалею, но проверка не пройдена. В работу эту матрицу взять не могу. Подкиньте тогда мне лучше ещё одну шестерочку чисел, и тогда новую матрицу 4х4, отвечающую всем критериям, я сварганю сам.

[sergey_B_K]

Спасибо. Итак, Ваша новая матрица \( \left| {\begin{array}{*{20}c}
   0 & {\bf{9}} & 6 & {75}  \\
   5 & 0 & {\bf{5}} & {25/3}  \\
   2 & 3 & 0 & {35}  \\
   {15} & {\bf{3}} & {21} & 0  \\
\end{array}} \right| \)

\( a_{23}a_{34}a_{42}=a_{32}a_{43}a_{24} \)
\(  5\cdot  35\cdot 3 = 3\cdot 21\cdot 25 \)
\( 525=1575 \)

Не выкрутитесь. 25/3. Я эту ячейку не изменял. Описка и не более. А вот у Вас уже проблемы. Опиской не отделаетесь.

[severe]

Не выкрутитесь. 25/3. Я эту ячейку не изменял. Описка и не более. А вот у Вас уже проблемы. Опиской не отделаетесь.

Спасибо. Зачёт. Беру в работу матрицу
\( \left| {\begin{array}{*{20}c}
   0 & {\bf{9}} & 6 & {75}  \\
   5 & 0 & {\bf{5}} & {25/3}  \\
   2 & 3 & 0 & {35}  \\
   {15} & {\bf{3}} & {21} & 0  \\
\end{array}} \right| \)

Следите теперь за руками. Умножаем первую строку на \( 1 \), вторую строку на \( 9/5 \), третью строку на \( 6/2=3 \), четвертую строку на \( 75/15=5 \).

Получили опять симметричную матрицу
\( \left| {\begin{array}{*{20}c}
   0 & {\bf{9}} & 6 & {75}  \\
   9 & 0 & {\bf{9}} & {15}  \\
   6 & 9 & 0 & {105}  \\
   {75} & {\bf{15}} & {105} & 0  \\
\end{array}} \right| \)

[sergey_B_K]

Да, Ваша система уравнений, во всяком случае, для третьего и четвёртого ранга показала, что некоторые матрицы (удовлетворяющие Вашим условиям) можно симметризовать. Это, во всяком случае для меня, новое свойство матриц.
Но вопрос о парности сил остаётся открытым. В принципе, парными силами обозначают и момент сил:
"Парой сил называется система двух равных по величине, противоположных по направлению и не лежащих на одной прямой сил"
ПАРА СИЛ. МОМЕНТ ПАРЫ СИЛ
... и следствие третьего закона Ньютона
"всякое действие материальных точек (тел) друг на друга имеет характер взаимодействия: силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены  и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки... Третий закон Ньютона позволяет перейти от динамики отдельной точки к динамике произвольной системы материальных тел, поскольку позволяет свести любое взаимодействие к силам парного взаимодействия между материальными точками" (п. 13, с. 10)
физика для студентов
Так что здесь очень большой разброс как в подходах к решению задач, так и в самих определениях. Я уже задавал вопрос: что Вы подразумеваете под парностью сил и в особенности в приложении к Вашим матрицам. Тем более, что в экономике, маркетинге понятие парности вообще имеет иное значение и атм применяется симметричная матрица. Но в физике задачи настолько разнохарактерны, что не думаю, что это возможно.

[severe]

Да, Ваша система уравнений, во всяком случае, для третьего и четвёртого ранга показала, что некоторые матрицы (удовлетворяющие Вашим условиям) можно симметризовать.

Поверьте, абсолютно любую квадратную матрицу с положительными недиагональными элементами, отвечающую критерию равенства треугольных произведений, симметричных относительно главной диагонали, можно симметризовать.
Приведи Вы мне матрицу пятого, шестого и так далее рангов, теорема всё равно бы работала.

"Парой сил называется система двух равных по величине, противоположных по направлению и не лежащих на одной прямой сил""всякое действие материальных точек (тел) друг на друга имеет характер взаимодействия: силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены  и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки... Третий закон Ньютона позволяет перейти от динамики отдельной точки к динамике произвольной системы материальных тел, поскольку позволяет свести любое взаимодействие к силам парного взаимодействия между материальными точками" Я уже задавал вопрос: что Вы подразумеваете под парностью сил и в особенности в приложении к Вашим матрицам.

Конечно, под парностью сил я подразумевал второе - то, что у Вас выделено жирным.

[sergey_B_K]

Поверьте, абсолютно любую квадратную матрицу с положительными недиагональными элементами, отвечающую критерию равенства треугольных произведений, симметричных относительно главной диагонали, можно симметризовать.
Приведи Вы мне матрицу пятого, шестого и так далее рангов, теорема всё равно бы работала.

Да, в показанном связи определённые есть, но только при заданных условиях.

Конечно, под парностью сил я подразумевал второе - то, что у Вас выделено жирным.

Тогда второй вопрос: что означает каждый элемент Вашей таблицы?

[severe]

Кстати, для второго ранга соблюдение критерия невозможно в силу понятных причин, поэтому теорема работает без него.
Приведу пример \( \begin{pmatrix}
0 & 7\\
9 & 0
\end{pmatrix}. \) Умножим первую строку на 1, вторую строку на 7/9.

Получим симметричную матрицу \( \begin{pmatrix}
0 & 7\\
7 & 0
\end{pmatrix}. \)

[severe]

Тогда второй вопрос: что означает каждый элемент Вашей таблицы?

Которой из двух, той, что несимметрична или той, что симметрична?
Если той, что симметрична, то применительно к теормеху элемент \( F_{ij} \) означает модуль силы, действующей на точку i со стороны точки j, элемент \( F_{ji} \) означает модуль силы, действующей на точку j со стороны точки i. Они равны друг другу, поэтому матрица и симметрична.