Математическая задача

[severe]

Но в матрице четвёртого ранга теряется условие выбора чисел...

А нет в исходной задаче такого условия, чтобы все числа были разными. Может, мне просто не удалось подобрать все числа разными.
Это был мой праздный интерес узнать минимальную шестерку разных чисел. Не знаю, Вы привели минимальную или нет?

[sergey_B_K]

А нет в исходной задаче такого условия, чтобы все числа были разными. Может мне просто не удалось подобрать все числа разными.
Это был мой праздный интерес узнать минимальную шестерку разных чисел. Не знаю, Вы привели минимальную или нет?

Без этого условия нет и Вашей задачи, поскольку она основана на нём. А то, что можно подобрать - так это не теорема и не закономерность. Закономерность я Вам показал, суммируя матрицу и транспонированную матрицу. Так это, действительно, для любых квадратичных форм.
Также и с массами. Отфонарь это, уж извините за прямоту. Голые фантазии.
Но если Вам так нравится гулять символами и выдумывать всякое-разное, я уже говорил 

[severe]

Без этого условия нет и Вашей задачи, поскольку она основана на нём.

Докажите. Когда я Вам привел первый набор из шести чисел 3*15*2=5*3*6, то Вы не возмутились тем, что в нём есть две тройки

Но если Вам так нравится гулять символами и выдумывать всякое-разное...

Я же уже учёл, что Вам не нравятся символы, поэтому и настрочил Вам простыни из конкретных чисел.

А то, что можно подобрать - так это не теорема и не закономерность.

Погодите, символами при доказательстве теоремы пользоваться нельзя, и подбирать конкретные числа для иллюстрации работы теоремы тоже нельзя?
Я уже привёл Вам три разных примера работы теоремы на конкретных числах.

Всё-таки, я сейчас попытаюсь Вам доказать на языке символов обязательное выполнение условия (1) для модулей парных ускорений:

\( \frac{a_{12}}{a_{21}}\cdot \frac{a_{23}}{a_{32}}\cdot \frac{a_{31}}{a_{13}}=\frac{m_2}{m_1}\cdot \frac{m_3}{m_2}\cdot \frac{m_1}{m_3}=1 \)

\( \frac{a_{12}a_{23}a_{31}}{a_{21}a_{32}a_{13}}=1 \)

\( a_{12}a_{23}a_{31}=a_{21}a_{32}a_{13} \)

[sergey_B_K]

Докажите. Когда я Вам привел первый набор из шести чисел 3*15*2=5*3*6, то Вы не возмутились тем, что в нём есть две тройки

А чего я должен был возмущаться? ВЫ там использовали равенство сумм произведений в треугольнике относительно главной диагонали. Потому и Вам привёл пример, в котором эти произведения равны. Но сразу сказал, тчо для четвёртого рагна у Вас будет облом. А то, что можно какие-то цифры в матрице подобрать? Так это не закономерность и, тем более, не теорема.

Я же уже учёл, что Вам не нравятся символы, поэтому и настрочил Вам простыни из конкретных чисел.

Неправда, что мне символы не нравятся. Речь была о тасовке символами и она у Вас налицо. Подбор и закономерность - разные понятия.

Погодите, символами при доказательстве теоремы пользоваться нельзя, и подбирать конкретные числа для иллюстрации работы теоремы тоже нельзя?

Можно, но не в Вашем стиле. Тем более, ещё и с векторами... 

Я уже привёл Вам три разных примера работы теоремы на конкретных числах.

Только не теоремы.

Всё-таки, я сейчас попытаюсь Вам доказать на языке символов обязательное выполнение условия (1) для модулей парных ускорений:

\( \frac{a_{12}}{a_{21}}\cdot \frac{a_{23}}{a_{32}}\cdot \frac{a_{31}}{a_{13}}=\frac{m_2}{m_1}\cdot \frac{m_3}{m_2}\cdot \frac{m_1}{m_3}=1 \)

Распишите каждое из m_i, плз. Что-то слишком искусственно. Я возьму произвольную матрицу и это равенство нарушится. Значит у Вас исходное условие равенства произведений - базовое и только для матрицы третьего ранга. Для четвёртого и выше рангов - только подбор. Да и для третьего ранга тоже... Иными словами, если удовлетворяется равенство произведений, то можно симметризовать матрицу. Из раздела применения в экономике:
"Экономические задачи не решаются путём построения ортогональных и симметричных матриц, но некоторые модели могут решаться  путём приведения полученных матриц к  виду симметричных или ортогональных"
Так показанные мной стандартные методы приведения значительно более общие и не ограничиваются третьим рангом.

[severe]

Распишите каждое из \( m_i \), плз. Что-то слишком искусственно.

Пожалуйста. Мы всегда можем принять \( m_1 \) за единицу, тогда \( m_1=1 \), \( m_2=\frac{a_{12}}{a_{21}} \), \( m_3=\frac{a_{13}}{a_{31}} \)

Я возьму любую матрицу и это равенство нарушится.

Если Вы возьмёте любую матрицу, то да, может нарушиться, но, если Вы возьмёте любую матрицу модулей парных ускорений, то это равенство просто не может нарушиться, что я Вам только что доказал на языке символов.

Тем более, ещё и с векторами...

На данном этапе без векторов. Но, если Вы хотите вернуться к вопросу о матрице, состоящей из векторов, то я Вам напомню, что любой вектор - это строка из трёх чисел x, y, z. Блочная матрица Вам в помощь.

[sergey_B_K]

Пожалуйста. Мы всегда можем принять \( m_1 \) за единицу, тогда \( m_1=1 \), \( m_2=\frac{a_{12}}{a_{21}} \), \( m_3=\frac{a_{13}}{a_{31}} \)

Это только в случае если произведение этих отношений равно единице

Если Вы возьмёте любую матрицу, то да, может нарушиться, но, если Вы возьмёте любую матрицу модулей парных ускорений, то это равенство просто не может нарушиться, что я Вам только что доказал на языке символов.

Если бы Вы ещё пролили свет на понятие "парных ускорений"... Это из области паридинамики?

[severe]

А чего я должен был возмущаться? ВЫ там использовали равенство сумм произведений в треугольнике относительно главной диагонали. Потому Вам и привёл пример, в котором эти произведения равны. Но сразу сказал, что для четвёртого ранга у Вас будет облом.

В чём у меня облом с четвертым рангом? В том, что по-Вашему, в матрице третьего ранга все числа не обязаны быть разными, а в матрице четвертого и выше рангов обязаны?

[severe]

Пожалуйста. Мы всегда можем принять \( m_1 \) за единицу, тогда \( m_1=1 \), \( m_2=\frac{a_{12}}{a_{21}} \), \( m_3=\frac{a_{13}}{a_{31}} \)

Это только в случае если произведение этих отношений равно единице

Из того, что \( \frac{m_2m_3}{m_3m_2}=1 \) ещё не следует, что \( m_2m_3=1 \).

[sergey_B_K]

В чём у меня облом с четвертым рангом? В том, что по-Вашему, в матрице третьего ранга все числа не обязаны быть разными, а в матрице четвертого и выше рангов обязаны?

Дело не в разных числах, а в том, что для третьего ранга выполняется условие равенства произведений, а для четвёртого - нет. Теряется база. Почему в своей матрице четвёртого ранга Вы взяли именно те числа? Какой критерий? Его не стало. Я могу в одном из Ваших трёх равенств взять другие числа и иллюзия нарушится.

[severe]

Дело не в разных числах, а в том, что для третьего ранга выполняется условие равенства произведений, а для четвёртого - нет. Теряется база. Почему в своей матрице четвёртого ранга Вы взяли именно те числа? Какой критерий? Его не стало.

Да ну не стало. Вот критерий для матрицы четвертого ранга
 
\( a_{12}a_{23}a_{31}=a_{21}a_{32}a_{13} \)

\( a_{34}a_{41}a_{13}=a_{43}a_{14}a_{31} \)

\( a_{23}a_{34}a_{42}=a_{32}a_{43}a_{24} \)

В краткой записи на языке символов, который Вы почему-то не любите \( a_{ij}a_{jk}a_{ki}=a_{ji}a_{kj}a_{ik} \), \( i\neq j\neq k \),
 \( i,j,k \) изменяются от одного до четырех.

Я могу в одном из Ваших трёх равенств взять другие числа и иллюзия нарушится.

Возьмите двенадцать других чисел, отвечающих данному критерию, и я Вам покажу как работает теорема с другими числами.

[sergey_B_K]

Да ну не стало. Вот критерий для матрицы четвертого ранга
 
\( a_{12}a_{23}a_{31}=a_{21}a_{32}a_{13} \)

\( a_{34}a_{41}a_{13}=a_{43}a_{14}a_{31} \)

\( a_{23}a_{34}a_{42}=a_{32}a_{43}a_{24} \)

В краткой записи на языке символов, который Вы почему-то не любите \( a_{ij}a_{jk}a_{ki}=a_{ji}a_{kj}a_{ik} \), \( i\neq j\neq k \),
 \( i,j,k \) изменяются от одного до четырех.

И вот смотрите: векторы исчезли, появилось дополнительное условие неравенства символов, а я не люблю символы? И как к этому следует относиться?

[severe]

И вот смотрите: векторы исчезли, появилось дополнительное условие неравенства символов, а я не люблю символы? И как к этому следует относиться?

Да, векторы исчезли по договоренности с Вами. Вы не можете меня простить за то, что я забыл написать дополнительное условие \( i\neq j\neq k \)? Ну, простите меня, пожалуйста  . Я полагал, что речь по умолчанию идёт о недиагональных элементах.

[sergey_B_K]

Да, векторы исчезли по договоренности с Вами. Вы не можете меня простить за то, что я забыл записать это дополнительное условие? Ну, простите меня, пожалуйста  . Я полагал, что речь по умолчанию идёт о недиагональных элементах.

Я бы даже не упоминал всё это если бы не Ваше:

В краткой записи на языке символов, который Вы почему-то не любите

Исправляете ошибки, а я не люблю? Ещё чего я из Ваших ошибок не люблю? 
Взять двенадцать чисел в матрице четвёртого ранга чтобы нарушить Вашу иллюзию? Без проблем. Помните свою матрицу?
\[ \left| {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 3 & 6 & {75}  \\
   5 & 0 & {\bf{15}} & {35/3}  \\
   2 & 3 & 0 & {35}  \\
   {15} & {\bf{1}} & {21} & 0  \\
\end{array}} \right|
\] \]

А теперь попробуйте с моей "маленькой" заменой
\[ \left| {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 3 & 6 & {75}  \\
   5 & 0 & {\bf{5}} & {35/3}  \\
   2 & 3 & 0 & {35}  \\
   {15} & {\bf{3}} & {21} & 0  \\
\end{array}} \right|
\] \]
Удачи... 

[severe]

Я бы даже не упоминал всё это если бы не Ваше:

В краткой записи на языке символов, который Вы почему-то не любите

Исправляете ошибки, а я не люблю? Ещё чего я из Ваших ошибок не люблю? 
Взять двенадцать чисел в матрице четвёртого ранга чтобы нарушить Вашу иллюзию? Без проблем. Помните свою матрицу?
\[ \left| {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 3 & 6 & {75}  \\
   5 & 0 & {\bf{15}} & {35/3}  \\
   2 & 3 & 0 & {35}  \\
   {15} & {\bf{1}} & {21} & 0  \\
\end{array}} \right|
 \]

А теперь попробуйте с моей "маленькой" заменой
\[ \left| {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 3 & 6 & {75}  \\
   5 & 0 & {\bf{5}} & {35/3}  \\
   2 & 3 & 0 & {35}  \\
   {15} & {\bf{3}} & {21} & 0  \\
\end{array}} \right|
 \]
Удачи... 

Спасибо. Вначале проверка на соответствие критерию
 
\( a_{12}a_{23}a_{31}=a_{21}a_{32}a_{13} \)
\( 3\cdot 5\cdot 2=5\cdot 3\cdot 6 \)
\( 30=90 \)

Дальше, можно не продолжать. Проверка на соответствие критерию не пройдена.


Сергей, я Вас просил не просто взять двенадцать чисел в матрице четвертого ранга, а двенадцать чисел, отвечающих критерию

\( a_{12}a_{23}a_{31}=a_{21}a_{32}a_{13} \)

\( a_{34}a_{41}a_{13}=a_{43}a_{14}a_{31} \)

\( a_{23}a_{34}a_{42}=a_{32}a_{43}a_{24} \)

[sergey_B_K]

Спасибо. Вначале проверка на соответствие критерию
 
\( a_{12}a_{23}a_{31}=a_{21}a_{32}a_{13} \)
\( 3\cdot 5\cdot 2=5\cdot 3\cdot 6 \)
\( 30=90 \)

Дальше, можно не продолжать. Проверка на соответствие критерию не пройдена.


Сергей, я Вас просил не просто взять двенадцать чисел в матрице четвертого ранга, а двенадцать чисел, отвечающих критерию

\( a_{12}a_{23}a_{31}=a_{21}a_{32}a_{13} \)

\( a_{34}a_{41}a_{13}=a_{43}a_{14}a_{31} \)

\( a_{23}a_{34}a_{42}=a_{32}a_{43}a_{24} \)

Конечно, если Вы подставляете в другое уравнение. Здесь множители a₂₃a₃₄a₄₂
15*35*1=5*35*3=525   

[severe]

Конечно, если Вы подставляете в другое уравнение.

Сергей, чему, по-Вашему, равны в Вашей матрице элементы \( a_{12},a_{23},a_{31},a_{21},a_{32},a_{13} \)?
По-моему, в Вашей матрице \( a_{12}=3,a_{23}=5,a_{31}=2,a_{21}=5,a_{32}=3,a_{13}=6 \).
 
Ваша матрица: \[ \left| {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 3 & 6 & {75}  \\
   5 & 0 & {\bf{5}} & {35/3}  \\
   2 & 3 & 0 & {35}  \\
   {15} & {\bf{3}} & {21} & 0  \\
\end{array}} \right|
 \]

[sergey_B_K]

Сергей, чему, по-Вашему, равны в Вашей матрице элементы \( a_{12},a_{23},a_{31},a_{21},a_{32},a_{13} \)?
По-моему, в Вашей матрице \( a_{12}=3,a_{23}=5,a_{31}=2,a_{21}=5,a_{32}=3,a_{13}=6 \).
 
Ваша матрица: \[ \left| {\begin{array}{*{20}c}
   0 & 3 & 6 & {75}  \\
   5 & 0 & {\bf{5}} & {35/3}  \\
   2 & 3 & 0 & {35}  \\
   {15} & {\bf{3}} & {21} & 0  \\
\end{array}} \right|
 \]

А при чём здесь мои элементы. Указанные Вами элементы мной не изменялись и такие, как были у Вас. Если у Вас не сходится с этими элементами, то это уже Ваши проблемы. Я поменял только элементы, входящие в одну тройку без изменения их произведения, которые обозначил жирным. Всего лишь...

[severe]

Здесь множители a₂₃a₃₄a₄₂
15*35*1=5*35*3=525

Сергей, если Вы прошли проверку \( a_{23}a_{34}a_{42}=a_{32}a_{43}a_{24} \), но не прошли проверку \( a_{12}a_{23}a_{31}=a_{21}a_{32}a_{13} \), то Вы не прошли проверку.

Кстати, проверку \( a_{23}a_{34}a_{42}=a_{32}a_{43}a_{24} \) Вы всё-таки тоже не прошли.
\( 5\cdot 35\cdot 3=3\cdot 21\cdot 35/3 \)
\( 525=735 \)

[severe]

Указанные Вами элементы мной не изменялись и такие, как были у Вас.

Да, ну? \( a_{23} \) у меня было равно \( 15 \), а у Вас \( 5 \).

[sergey_B_K]

Сергей, если Вы прошли проверку \( a_{23}a_{34}a_{42}=a_{32}a_{43}a_{24} \), но не прошли проверку \( a_{12}a_{23}a_{31}=a_{21}a_{32}a_{13} \), то Вы не прошли проверку.

А в указанном Вами равенстве нет этих элементов. Я проверял, все тройки не пересекающиеся по элементам. Так что если не прошли проверку, то Вы сами. Не нужно валить с больной головы на здоровую

Да, ну? a23 у меня было равно 15, а у Вас 5.

Правильно, но a₄₂ было равно 1, а стало равно 3. Произведение сохранилось.