Выполнение законов сохранения в релятивизме

[Иван Горин]

\(\displaystyle E_k = \frac{m~c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} - mc^2 = mc^2 ~ ch(ψ) - mc^2 = mc^2(ch(ψ) - 1) = mc^2 \cdot 2~ sh  \left(\frac{1}{2} ψ \right)^2 = mc^2 \cdot 2~ sh  \left(\frac{1}{2} ath \left(\frac{v}{c} \right) \right)^2 ≈ \frac{mv^2}{2}\).

v=0,9999c

[ER*]

Вчера, 100 лет тому назад был, а сейчас нет.
Сейчас масса инвариант. Не зависит от скорости движения.

Да, знаем такое поветрие. Но это ничего  не меняет: релятивистский импульс как был 100 лет назад \( \gamma mv \), так и остался. Можешь считать \( \displaystyle m \) инвариантом, а гамма всё равно осталась. Можешь, по старинке, назвать \( \displaystyle \gamma m \) "релятивистской массой",которая растёт со скоростью, от этого ничего не изменится: как был импульс \( \displaystyle \gamma mv \) 100 лет назад, так и остался. В общем, хоть инвариант, хоть нет, а формула для импульса или энергии от этого не изменилась.

Решай задачу на соударения шаров нормально по СТО и не мудри с массами и анигиляциями!

Ну, решил же уже! Для тебя специально повторить? )) Повторю специально с оговорками для тебя про массу-инвариант, и кинетическую энергию:

Пишем ЗСИ для двух тел. Импульс до столкновения равен импульсу после.

\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-v{'}_{11}^2/c^2}} m_1v{'}_{11} + \frac{1}{\sqrt{1-v{'}_{12}^2/c^2}} m_2v{'}_{12} = \frac{1}{\sqrt{1-v{'}_{21}^2/c^2}} m_1v{'}_{21} + \frac{1}{\sqrt{1-v{'}_{22}^2/c^2}} m_2v{'}_{22}\; ;\;\;(1)  \) (ЗСИ)

Массы здесь инвариантны, как были в покое \( \displaystyle m_1, \,m_2 \), так и остались неизменными. (Для Ивана информация )) )

Теперь пишем ЗСЭ. Кинетическая энергия до удара равна кинетической энергии после. Кин. энергия в СТО: \( \displaystyle E_k = \frac{m~c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} - mc^2 \) (от полной энергии нужно отнять энергию покоя).

\( \displaystyle [\frac{1}{\sqrt{1-v{'}_{11}^2/c^2}} m_1c^2]  -m_1c^2  + [\frac{1}{\sqrt{1-v{'}_{12}^2}/c^2} m_2c^2]-m_2c^2 = [\frac{1}{\sqrt{1-v{'}_{21}^2/c2}} m_1c^2]-m_1c^2 + [\frac{1}{\sqrt{1-v{'}_{22}^2/c^2}} m_2c^2] -m_2c^2\; ;\;\;(2a) \) (ЗСЭ)

\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-v{'}_{11}^2/c^2}} m_1c^2 + \frac{1}{\sqrt{1-v{'}_{12}^2}/c^2} m_2c^2 = \frac{1}{\sqrt{1-v{'}_{21}^2/c^2}} m_1c^2 + \frac{1}{\sqrt{1-v{'}_{22}^2/c^2}} m_2c^2\; ;\;\;(2) \) (ЗСЭ)

Массы здесь инвариантны, как были в покое \( \displaystyle m_1, \,m_2 \), так и остались неизменными. (Для Ивана информация )) )

Мы рассматриваем столкновение из произвольной ИСО, двигающейся со скоростью - \( \displaystyle V \). Штрихованные скорости получены сложением с \( \displaystyle V \) по релятивистскому закону сложения скоростей, т.е. так:


\( \displaystyle v{'}_{ij} = \frac{v_{ij} + V}{1+v_{ij}V/c^2} \)



Существует нетривиальное решение, удовлетворяющее (1) и (2):

\( \displaystyle v_{21}=\frac{2\xi m_1m_2c^2v_{12}+2m_2^2c^2v_{12}-(m_1^2+m_2^2)v_{11}v_{12}^2 + (m_1^2-m_2^2)c^2v_{11}} {2\xi m_1m_2c^2-2m_2^2v_{11}v_{12}-(m_1^2-m_2^2)v_{12}^2+(m_1^2+m_2^2)c^2}\;;\;\;(666) \)

\( \displaystyle v_{22}=\frac{2\xi m_1m_2c^2v_{11}+2m_1^2c^2v_{11}-(m_1^2+m_2^2)v_{11}^2v_{12} + (m_2^2-m_1^2)c^2v_{12}} {2\xi m_1m_2c^2-2m_1^2v_{12}v_{11}-(m_2^2-m_1^2)v_{11}^2+(m_1^2+m_2^2)c^2}\;;\;\;(777) \)

Где \( \displaystyle \xi=\sqrt{(1-v_{11}^2/c^2)(1-v_{12}^2/c^2)} \)

Всё, задача решена. )) Проверяй хоть численно, хоть на Wolfram Mathematica, фирма веников не вяжет. ))

[Ost]

v=0,9999c

Приблизительно для случая v<<c,

[ER*]

Приблизительно для случая v<<c,

Да, для случая , v<<c   релятивистская кин. энергия переходит в классическую:


\( \displaystyle E_k = \frac{m~c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} - mc^2 \approx {m~c^2}(1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}) -mc^2 = \frac{1}{2}mv^2 \)

[Ost]

[Ilya Geller]

Отрешившись ото всех качественных характеристик — таких как скорость, ускорение, энергия и следовательно энтропия — я получил взамен возможность рассматривать сохранение минимальных порций субстанции, то бишь фотонов света. Теория Большого Взрыва, которую я разделяю, говорит о конечности их количества. Не вижу ни одного аргумента к тому что кванты света могут куда-то исчезнуть.
Почему я приверженец теории Большого Взрыва? Потому как использую понятие придела для диф функции становления, которую взял взаймы у Гегеля.

[Ost]

Докажем
(1)




Тогда из (1) следует


По условию


Следовательно равенство (1) выполняется при любой скорости \(V\) в интервале \(0 \le V < c\).

[ER*]

Следовательно равенство (1) выполняется.

А можно таким же образом показать, что для  (666) и (777) -


\( \displaystyle v_{21}=\frac{2\xi m_1m_2c^2v_{12}+2m_2^2c^2v_{12}-(m_1^2+m_2^2)v_{11}v_{12}^2 + (m_1^2-m_2^2)c^2v_{11}} {2\xi m_1m_2c^2-2m_2^2v_{11}v_{12}-(m_1^2-m_2^2)v_{12}^2+(m_1^2+m_2^2)c^2}\;;\;\;(666) \)

\( \displaystyle v_{22}=\frac{2\xi m_1m_2c^2v_{11}+2m_1^2c^2v_{11}-(m_1^2+m_2^2)v_{11}^2v_{12} + (m_2^2-m_1^2)c^2v_{12}} {2\xi m_1m_2c^2-2m_1^2v_{11}v_{12}-(m_2^2-m_1^2)v_{11}^2+(m_1^2+m_2^2)c^2}\;;\;\;(777) \)

Где \( \displaystyle \xi=\sqrt{(1-v_{11}^2/c^2)(1-v_{12}^2/c^2)} \)

- всегда выполняется (1) и (2)

\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-v{}_{11}^2/c^2}} m_1v{}_{11} + \frac{1}{\sqrt{1-v{}_{12}^2/c^2}} m_2v{}_{12} = \frac{1}{\sqrt{1-v{}_{21}^2/c^2}} m_1v{}_{21} + \frac{1}{\sqrt{1-v{}_{22}^2/c^2}} m_2v{}_{22}\; ;\;\;(1)  \) (ЗСИ)


\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-v{}_{11}^2/c^2}} m_1c^2 + \frac{1}{\sqrt{1-v{}_{12}^2}/c^2} m_2c^2 = \frac{1}{\sqrt{1-v{}_{21}^2/c^2}} m_1c^2 + \frac{1}{\sqrt{1-v{}_{22}^2/c^2}} m_2c^2\; ;\;\;(2) \) (ЗСЭ)

Тогда будет полное доказательство выполнения ЗСЭ/ЗСИ в релятивизме при абсолютно упругом ударе и для любой скорости ИСО \( V \).

[Ost]

А можно таким же образом показать, что для  (666) и (777) -


\( \displaystyle v_{21}=\frac{2\xi m_1m_2c^2v_{12}+2m_2^2c^2v_{12}-(m_1^2+m_2^2)v_{11}v_{12}^2 + (m_1^2-m_2^2)c^2v_{11}} {2\xi m_1m_2c^2-2m_2^2v_{11}v_{12}-(m_1^2-m_2^2)v_{12}^2+(m_1^2+m_2^2)c^2}\;;\;\;(666) \)

\( \displaystyle v_{22}=\frac{2\xi m_1m_2c^2v_{11}+2m_1^2c^2v_{11}-(m_1^2+m_2^2)v_{11}^2v_{12} + (m_2^2-m_1^2)c^2v_{12}} {2\xi m_1m_2c^2-2m_1^2v_{11}v_{12}-(m_2^2-m_1^2)v_{11}^2+(m_1^2+m_2^2)c^2}\;;\;\;(777) \)

Где \( \displaystyle \xi=\sqrt{(1-v_{11}^2/c^2)(1-v_{12}^2/c^2)} \)

- всегда выполняется (1) и (2)

\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-v{}_{11}^2/c^2}} m_1v{}_{11} + \frac{1}{\sqrt{1-v{}_{12}^2/c^2}} m_2v{}_{12} = \frac{1}{\sqrt{1-v{}_{21}^2/c^2}} m_1v{}_{21} + \frac{1}{\sqrt{1-v{}_{22}^2/c^2}} m_2v{}_{22}\; ;\;\;(1)  \) (ЗСИ)


\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-v{}_{11}^2/c^2}} m_1c^2 + \frac{1}{\sqrt{1-v{}_{12}^2}/c^2} m_2c^2 = \frac{1}{\sqrt{1-v{}_{21}^2/c^2}} m_1c^2 + \frac{1}{\sqrt{1-v{}_{22}^2/c^2}} m_2c^2\; ;\;\;(2) \) (ЗСЭ)

Тогда будет полное доказательство выполнения ЗСЭ/ЗСИ в релятивизме при абсолютно упругом ударе и для любой скорости ИСО \( V \).

При подстановке (666) и (777) в правую часть уравнений (1) и (2), преобразовать слагаемые по отдельности к решаемому виду не удаётся.
Поищу другие пути.

[Ost]

[Ost]

Кинетическая энергия в движущейся системе отсчёта
\(\displaystyle E=\sum\limits_{i=1}^n \frac{m_{i}~c^2}{\sqrt{1-\frac{\left(\frac{v_i+V}{1+\frac{v_i~V}{c^2}}\right)^2}{c^2}}}=\sum\limits_{i=1}^n \frac{m_{i}~c^2+m_{i}~v_{i}~V}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}~\sqrt{1-\frac{v_{i}^2}{c^2}}}= \sum\limits_{i=1}^n \frac{m_{i}~c^2}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}~\sqrt{1-\frac{v_{i}^2}{c^2}}}+\sum\limits_{i=1}^n \frac{m_{i}~v_{i}~V}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}~\sqrt{1-\frac{v_{i}^2}{c^2}}}= \left(\sum\limits_{i=1}^n \frac{m_{i}~c^2}{\sqrt{1-\frac{v_{i}^2}{c^2}}}+V \sum\limits_{i=1}^n \frac{m_{i}~v_{i}}{\sqrt{1-\frac{v_{i}^2}{c^2}}}\right)\frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\).

Если импульс центра масс в неподвижной системе равен нулю и обозначить

\(\displaystyle E_0=\sum\limits_{i=1}^n \frac{m_{i}~c^2}{\sqrt{1-\frac{v_{i}^2}{c^2}}}~-\) внутренняя энергия системы тел, то

\(\displaystyle E_0=E \sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}~~~~~~~-~inv \).

Если  \(\displaystyle m_0=\sum\limits_{i=1}^n \frac{m_{i}}{\sqrt{1-\frac{v_{i}^2}{c^2}}}~-\) суммарная масса тел в неподвижной системе отсчёта.

\(\displaystyle m_0=m \sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}~~~~~~~-~inv \).

[ER*]

👍👍👍  Подозреваю, до наших читателей из Украины не дойдёт. Позволю себе изложить Ваше доказательство в понятном для наших украинских читателей виде.

У нас система \( \displaystyle i \) абсолютно упругих тел. Индекс 1 - до взаимодейсвия, индекс 2 - после.

\( \displaystyle \sum\limits_i\frac{m_ic^2}{\sqrt{1-v{}_{1i}^2/c^2}}   = \sum\limits_i\frac{m_ic^2}{\sqrt{1-v{}_{2i}^2/c^2}}  \; ;\;\;(2) \) (ЗСЭ)

В произвольной ИСО к нашим скоростям прибавится скорость ИСО \( \displaystyle V \) по релятивистскому закону сложения скоростей

\( \displaystyle v{'}_{ij} = \frac{v_{ij} + V}{1+v_{ij}V/c^2} \)

\( \displaystyle \sum\limits_i\frac{m_ic^2}{\sqrt{1-v{'}_{1i}^2/c^2}}  = \sum\limits_i\frac{m_ic^2}{\sqrt{1-v{'}_{2i}^2/c^2}} \; ;\;\; \)

\( \displaystyle \sum\limits_i\frac{m_ic^2}{\sqrt{1-(\frac{v_{1i} + V}{1+v_{1i}V/c^2})^2/c^2}}   = \sum\limits_i\frac{m_ic^2}{\sqrt{1-(\frac{v_{2i} + V}{1+v_{2i}V/c^2})^2/c^2}} \; ;\;\; \)

После несложных алгебраических преобразований:

\( \displaystyle \sum\limits_i \frac{m_{i}~c^2+m_{i}~v_{1i}~V}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}~\sqrt{1-\frac{v_{1i}^2}{c^2}}} = \sum\limits_i \frac{m_{i}~c^2+m_{i}~v_{2i}~V}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}~\sqrt{1-\frac{v_{2i}^2}{c^2}}}\; ;\;\;(999) \)

Используя (2), сокращаем всё на \( \displaystyle m_ic^2 \)

\( \displaystyle \sum\limits_i \frac{m_{i}~v_{1i}~V}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}~\sqrt{1-\frac{v_{1i}^2}{c^2}}} = \sum\limits_i \frac{m_{i}~v_{2i}~V}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}~\sqrt{1-\frac{v_{2i}^2}{c^2}}}\; ;\;\; \)

Если равенство выполняется для любого \( \displaystyle V \), то

\( \displaystyle \sum\limits_i \frac{m_{i}~v_{1i}}{~\sqrt{1-\frac{v_{1i}^2}{c^2}}} =\sum\limits_i \frac{m_{i}~v_{2i}}{~\sqrt{1-\frac{v_{2i}^2}{c^2}}}\; ;\;\;(1) \) (ЗСИ)

Т.о. ЗСЭ/ЗСИ совместно выполняются в любой  ИСО движущейся с произвольной скоростью \( V \).

Т.е. законы сохранения в релятивизме остаются законами. ))


Почему же этот результат не смогли получить украинские товарищи?

http://sbkaravashkin.blogspot.com/2013/05/blog-post_4451.html

Видимо, из-за лени! )) Похоже, поленились из (9) получить что-то типа нашего (999), где "с очевидностью приходим к исходной формуле, поскольку и справа, и слева добавляются слагаемые, соответствующие движению всей системы тел как целого". Да, и, похоже, уже (6) записанo как-то странно. ))

[ER*]

В прошлый раз мы отталкивались от ЗСЭ, и получили одновременное сохранение ЗСИ. Сегодня сделаем наоборот: отталкиваемся от ЗСИ, как это сделано по ссылке украинских читателей http://sbkaravashkin.blogspot.com/2013/05/blog-post_4451.html

Будем придерживаться таких же индексов и одинаковых номеров для полученных выражений, если они совпадают по смыслу из приведённой ссылки

У нас система \( \displaystyle i \) абсолютно упругих тел. Индекс 1 - до взаимодейсвия, индекс 2 - после.


\( \displaystyle \sum\limits_i{m_i}\frac{v{}_{1i}}{\sqrt {1-v_{1i}^2/c^2}}  = \sum\limits_im_i\frac{v{}_{2i}}{\sqrt {1-v_{2i}^2/c^2}}  \; ;\;\;(1) \) (ЗСИ)


В произвольной ИСО наши наблюдаемые скорости тел можно рассматривать как релятивистскую сумму скорости ИСО \( \displaystyle V \) и некой скорости тела в штрихованной ИСО  \( \displaystyle v{'}_{ij} \). Закон сложения скоростей:

\( \displaystyle v{}_{ij} = \frac{v{'}_{ij} + V}{1+v{'}_{ij}V/c^2} \; ;\;\;(8) \)

\( \displaystyle \sum\limits_i\frac{m_iv{}_{1i}}{\sqrt{1-v{}_{1i}^2/c^2}}  = \sum\limits_i\frac{m_iv{}_{2i}}{\sqrt{1-v{}_{2i}^2/c^2}}\; ;\;\;(1) \)

или
\( \displaystyle \sum\limits_i\frac{m_i\frac{v{'}_{1i} + V}{1+v{'}_{1i}V/c^2}}{\sqrt{1-(\frac{v{'}_{1i} + V}{1+v{'}_{1i}V/c^2})^2/c^2}}  = \sum\limits_i\frac{m_i\frac{v{'}_{2i} + V}{1+v{'}_{2i}V/c^2}}{\sqrt{1-(\frac{v{'}_{2i} + V}{1+v{'}_{2i}V/c^2})^2/c^2}}\; ;\;\; (9) \)

Существует упрощающее алгебраическое тождество:

\( \displaystyle \frac{\frac{u + V}{1+uV/c^2}}{\sqrt{1-(\frac{u + V}{1+uV/c^2})^2/c^2}}  = \frac{(u+V)}{\sqrt{1-V^2/c^2}\sqrt{1-u^2/c^2}}\; ;\;\; \)

Применим его к (9):

\( \displaystyle \sum\limits_i \frac{m_{i}(v{'}_{1i}+V)}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}~\sqrt{1-\frac{v{'}_{1i}^2}{c^2}}} = \sum\limits_i \frac{m_{i}(v{'}_{2i}+V)}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}~\sqrt{1-\frac{v{'}_{2i}^2}{c^2}}}\; ;\;\; \)

\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\cdot\sum\limits_i \frac{m_{i}(v{'}_{1i}+V)}{~\sqrt{1-\frac{v{'}_{1i}^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\cdot\sum\limits_i \frac{m_{i}(v{'}_{2i}+V)}{~\sqrt{1-\frac{v{'}_{2i}^2}{c^2}}}\; ;\;\; \)

\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\cdot\sum\limits_i \frac{m_{i}v{'}_{1i}}{~\sqrt{1-\frac{v{'}_{1i}^2}{c^2}}} +\frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\cdot\sum\limits_i \frac{m_{i}V}{~\sqrt{1-\frac{v{'}_{1i}^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\cdot\sum\limits_i \frac{m_{i}v{'}_{2i}}{~\sqrt{1-\frac{v{'}_{2i}^2}{c^2}}} +\frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\cdot\sum\limits_i \frac{m_{i}V}{~\sqrt{1-\frac{v{'}_{2i}^2}{c^2}}}\; ;\;\; \)

С очевидностью замечаем, что и справа, и слева находятся слагаемые, соответствующие движению всей системы тел как целого (зависит только от \( \displaystyle V \)).  И используя (1), сокращаем левые слагаемые левой и правой части:

\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\cdot\sum\limits_i \frac{m_{i}V}{~\sqrt{1-\frac{v{'}_{1i}^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\cdot\sum\limits_i \frac{m_{i}V}{~\sqrt{1-\frac{v{'}_{2i}^2}{c^2}}}\; ;\;\;(999) \)

Если (999) выполняется для любого \( \displaystyle V \), то

\( \displaystyle \sum\limits_i \frac{m_{i}c^2}{~\sqrt{1-\frac{v{'}_{1i}^2}{c^2}}} =\sum\limits_i \frac{m_{i}c^2}{~\sqrt{1-\frac{v{'}_{2i}^2}{c^2}}}\; ;\;\; \) (ЗСЭ)

Т.о. ЗСЭ/ЗСИ совместно (Карл!) выполняются в любой  ИСО движущейся с произвольной скоростью \( V \).

Т.е. законы сохранения в релятивизме остаются законами. ))


Почему же этот результат не смогли получить украинские товарищи?

http://sbkaravashkin.blogspot.com/2013/05/blog-post_4451.html

Похоже, не вышло из (9) получить что-то типа нашего (999), где "с очевидностью приходим к исходной формуле, поскольку и справа, и слева добавляются слагаемые, соответствующие движению всей системы тел как целого". Да, и, уже начиная  с (6) всё пошло не так. )) Но, если всё проделать правильно, до достаточно легко увидетъ: ЗСИ выполняется исключительно совместно с ЗСЭ, и при любых скоростях ИСО \( \displaystyle V \).

[Ost]

В прошлый раз мы отталкивались от ЗСЭ, и получили одновременное сохранение ЗСИ. Сегодня сделаем наоборот: отталкиваемся от ЗСИ, как это сделано по ссылке украинских читателей http://sbkaravashkin.blogspot.com/2013/05/blog-post_4451.html

Будем придерживаться таких же индексов и одинаковых номеров для полученных выражений, если они совпадают по смыслу из приведённой ссылки

У нас система \( \displaystyle i \) абсолютно упругих тел. Индекс 1 - до взаимодейсвия, индекс 2 - после.


\( \displaystyle \sum\limits_i{m_i}\frac{v{}_{1i}}{\sqrt {1-v_{1i}^2/c^2}}  = \sum\limits_im_i\frac{v{}_{2i}}{\sqrt {1-v_{2i}^2/c^2}}  \; ;\;\;(1) \) (ЗСИ)


В произвольной ИСО наши наблюдаемые скорости тел можно рассматривать как релятивистскую сумму скорости ИСО \( \displaystyle V \) и некой скорости тела в штрихованной ИСО  \( \displaystyle v{'}_{ij} \). Закон сложения скоростей:

\( \displaystyle v{}_{ij} = \frac{v{'}_{ij} + V}{1+v{'}_{ij}V/c^2} \; ;\;\;(8) \)

\( \displaystyle \sum\limits_i\frac{m_iv{}_{1i}}{\sqrt{1-v{}_{1i}^2/c^2}}  = \sum\limits_i\frac{m_iv{}_{2i}}{\sqrt{1-v{}_{2i}^2/c^2}}\; ;\;\;(1) \)

или
\( \displaystyle \sum\limits_i\frac{m_i\frac{v{'}_{1i} + V}{1+v{'}_{1i}V/c^2}}{\sqrt{1-(\frac{v{'}_{1i} + V}{1+v{'}_{1i}V/c^2})^2/c^2}}  = \sum\limits_i\frac{m_i\frac{v{'}_{2i} + V}{1+v{'}_{2i}V/c^2}}{\sqrt{1-(\frac{v{'}_{2i} + V}{1+v{'}_{2i}V/c^2})^2/c^2}}\; ;\;\; (9) \)

Существует упрощающее алгебраическое тождество:

\( \displaystyle \frac{\frac{u + V}{1+uV/c^2}}{\sqrt{1-(\frac{u + V}{1+uV/c^2})^2/c^2}}  = \frac{(u+V)}{\sqrt{1-V^2/c^2}\sqrt{1-u^2/c^2}}\; ;\;\; \)

Применим его к (9):

\( \displaystyle \sum\limits_i \frac{m_{i}(v{'}_{1i}+V)}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}~\sqrt{1-\frac{v{'}_{1i}^2}{c^2}}} = \sum\limits_i \frac{m_{i}(v{'}_{2i}+V)}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}~\sqrt{1-\frac{v{'}_{2i}^2}{c^2}}}\; ;\;\; \)

\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\cdot\sum\limits_i \frac{m_{i}(v{'}_{1i}+V)}{~\sqrt{1-\frac{v{'}_{1i}^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\cdot\sum\limits_i \frac{m_{i}(v{'}_{2i}+V)}{~\sqrt{1-\frac{v{'}_{2i}^2}{c^2}}}\; ;\;\; \)

\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\cdot\sum\limits_i \frac{m_{i}v{'}_{1i}}{~\sqrt{1-\frac{v{'}_{1i}^2}{c^2}}} +\frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\cdot\sum\limits_i \frac{m_{i}V}{~\sqrt{1-\frac{v{'}_{1i}^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\cdot\sum\limits_i \frac{m_{i}v{'}_{2i}}{~\sqrt{1-\frac{v{'}_{2i}^2}{c^2}}} +\frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\cdot\sum\limits_i \frac{m_{i}V}{~\sqrt{1-\frac{v{'}_{2i}^2}{c^2}}}\; ;\;\; \)

С очевидностью замечаем, что и справа, и слева находятся слагаемые, соответствующие движению всей системы тел как целого (зависит только от \( \displaystyle V \)).  И используя (1), сокращаем левые слагаемые левой и правой части:

\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\cdot\sum\limits_i \frac{m_{i}V}{~\sqrt{1-\frac{v{'}_{1i}^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\cdot\sum\limits_i \frac{m_{i}V}{~\sqrt{1-\frac{v{'}_{2i}^2}{c^2}}}\; ;\;\;(999) \)

Если (999) выполняется для любого \( \displaystyle V \), то

\( \displaystyle \sum\limits_i \frac{m_{i}c^2}{~\sqrt{1-\frac{v{'}_{1i}^2}{c^2}}} =\sum\limits_i \frac{m_{i}c^2}{~\sqrt{1-\frac{v{'}_{2i}^2}{c^2}}}\; ;\;\; \) (ЗСЭ)

Т.о. ЗСЭ/ЗСИ совместно (Карл!) выполняются в любой  ИСО движущейся с произвольной скоростью \( V \).

Т.е. законы сохранения в релятивизме остаются законами. ))


Почему же этот результат не смогли получить украинские товарищи?

http://sbkaravashkin.blogspot.com/2013/05/blog-post_4451.html

Похоже, не вышло из (9) получить что-то типа нашего (999), где "с очевидностью приходим к исходной формуле, поскольку и справа, и слева добавляются слагаемые, соответствующие движению всей системы тел как целого". Да, и, уже начиная  с (6) всё пошло не так. )) Но, если всё проделать правильно, до достаточно легко увидетъ: ЗСИ выполняется исключительно совместно с ЗСЭ, и при любых скоростях ИСО \( \displaystyle V \).

[Александр45]

Но, если всё проделать правильно, до достаточно легко увидетъ: ЗСИ выполняется исключительно совместно с ЗСЭ, и при любых скоростях ИСО V.

Любителям длинных расчетов предлагаю ознакомиться с следующими трудами:
1. Специальная теория относительности: определение импульса и кинетической энергии замкнутой системы постоянно взаимодействующих тел

2. Специальная теория относительности и закон сохранения импульса
3. Динамический парадокс специальной теории относительности
4. 4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МЕХАНИКЕ ДЛЯ РАВНОМЕРНОГО ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

А для знающих азы физики будет достаточно простых рассуждений.
Посмотрите тему "Вращение стержня", где показано вращение прямолинейного стержня, который в ИСО, где ось его вращения неподвижна, и который в ИСО, где  ось его вращения движется с постоянной скоростью, периодически изгибается согласно рисунку ниже.

Согласно закону сохранения импульса замкнутой системы нескольких тел, центр их масс движется равномерно и прямолинейно.
Из рисунка видно, что центр масс частиц стержня лежит на прямой соединяющей концы стержня только в момент, когда стержень находится в вертикальном положении. В остальные моменты времени он не лежит на этой прямой.
Из этого следует, что центр масс стержня движется по кривой траектории. Т.е. импульс стержня изменяется во времени.
Что и требовалось доказать!
 

[Гришин Станислав Григорьевич]

\(\displaystyle E_k = \frac{m~c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} - mc^2 = mc^2 ~ ch(ψ) - mc^2 = mc^2(ch(ψ) - 1) = mc^2 ~ 2 sh  \left(\frac{ψ}{2} \right)^2 = mc^2 ~ 2 sh  \left(\frac{1}{2} ath \left(\frac{v}{c} \right) \right)^2 ≈ \frac{mv^2}{2}\) \((v<<c)\).

И что же такое получилось, если \(v\) в факторе Лоренца есть скорость ИСО,
движущейся относительно стороннего наблюдателя (Эй-на)?
Все заморочки СТО начинаются не с движения ИСО относительно стороннего наблюдателя (Эй-на),
а с движения внутри ИСО, движущейся относительно стороннего наблюдателя. 
В этом разделе веселее, чем в основном.

[Александр45]

И что же такое получилось, если v в факторе Лоренца есть скорость ИСО,
движущейся относительно стороннего наблюдателя (Эй-на)?
Все заморочки СТО начинаются не с движения ИСО относительно стороннего наблюдателя (Эй-на), а с движении внутри этой ИСО...
В этом разделе веселее, чем в основном

А что  здесь удивительного? Часы, синхронные в движущейся ИСО, обеспечили описание равномерного вращения стержня с неподвижной в ней осью вращения и неизменность (сохранение) импульса этого стержня. Однако, с точки зрения стороннего (внешнего) наблюдателя (Эйнштейна), часы, синхронные в движущейся ИСО, в ИСО (Эйнштейна) будут несинхронными. Из-за этого стержень в этой ИСО будет периодически изгибаться, а центр масс будет двигаться по криволинейной траектории, что характерно для переменного импульса.
См. рисунок из этой работы


Но релятивистов это не должно волновать. Ведь согласно СТО все эти нарушения законов сохранения - кинематические, т.е. в реальности не существуют. Поэтому в реальности не существуют и нарушения законов сохранения. Мало,  что покажется наблюдателю на пролетающем мимо со скоростью близкой к световой вращающемся стержне?
Назовите этот факт еще одним парадоксом СТО, обусловленным ОО, и продолжайте веселиться.

Просто создатели СТО не пробовали использовать ее математический аппарат для описания пространственных объектов. Когда, кроме сокращения длины и замедления времени, на форму объекта влияет еще и ОО.

[meandr]

Лучше изучите тему  Вращение стержня или Вычислить энергию стержня.
Если есть терпение изучите работу  и укажите конкретные косяки. А без конкретики все Ваши заявления просто бла-бла-бла.

ТАк Александр45 сам никак не может изучить то, что ему пишут понимающие люди в указанных темах (и в многочисленных темах ранее)

Вам уже отвечали спецы по ТО, что "открытый" Вами изгиб стержня НИЧЕМ не противоречит ПО и законам сохранения энергии-импульса в их трактовке по ТО - но Вы это игнорируете как своюлингнет.

Итого, сухой остаток - выжимка экстракта по теме:
- вращающийся стержень в ИСО, где он еще и перемещается, по ТО получается кривым (в один момент времени и в общем случае, хотя есть положение, когда он прямой), с неравномерным ускорением тех точек, которые равноотстоят от центра вращения в ИСО где стержень только вращается (равномерно) и прямой.
- по ТО в таком неравномерном движении НЕТ никакого нарушения сохранения энергии-импульса (трактуемых в ТО как единое 4-х понятие, с применением соответствующего ТЭИ).

Более того, дело тут даже не в релятивистской специфике ТО с ОО и ТЭИ, а в том что даже в дорелятвистской механике сила, приложенная к перемещающейся точке, совершает работу, если сила имеет ненулевую проекцию на перемещение (или перемещение - на силу) - именно это и происходит в современной эфиро-релятивистской теории в случае вращающегося стержня в ИСО где он еще и перемещается.
Об этом Вам знатоки на Сайтехе тоже писали еще три года назад - а Вы до сих пор это не усвоили.

Вы опять не поняли, что "аномальные" ускорения и соответствующие "нарушения" энергии-импульса в системе где вращающийся стержень перемещается ДОЛЖНЫ быть и в дорелятивистской механике  - и для этого в теории, базирующейся на центральнодействующих силах, он ДОЛЖЕН быть кривым, как и безмассовая нить, соединяющая два вращающихся на ней груза, с "кривым" ТЭИ

В очередной раз обращаю внимание, что за счет внутренних сил в замкнутой системе вращающегося стержня (условно безмассовой части стержня) изменяются импульс и энергия ЧАСТЕЙ стержня в ИСО где стержень перемещается, а энергия-импульс ВСЕГО стержня НЕ изменяется - это ДОКАЗАЛ Дробышев своими расчетами по правилам ТО, которые ВЫ уже три года игнорируете, навязывая ВАШИ недоразумения.

Цитата: Александр45 от 02 Август 2021, 07:09:12

Кстати, в КФ (дорелятивистской физике) подобный стержень не нарушает законы сохранения, да и другие законы физики и логики тоже.

Это потому, что Вы не считали, какую работу совершает центрострем. сила вращающегося стержня в ИСО, где стержень перемещается.
А если бы начали считать (не отказавшись от центральнодействующих сил между частями стержня, реализуемых и в дорелятивисткой КФ и в ТО), то получили бы, что энергия-импульс стержня сохраняется ТОЛЬКО в релятивистской трактовке, где стержень кривой в 4-х ПВ и его части движутся НЕравноускоренно - как это получил Дробышев - но ВЫ это игнорируете как железобетонный ...

[meandr]

Самое главное, чего не хотят понимать и признавать Александр45 и его многочисленные альтбратья,
я написал об этом еще месяц назад

Проблемы возникают вновь и вновь, когда приверженцы эфира пытаются вернуть релятивистского джина "эфирной теории Лоренца" назад в кувшин с классическими представлениями пространства и времени, хотя все прошедшее СТОлетие доказало, , что это невозможно.
Если нужна теория, адекватно выражающая реальность в рамках классических представлений пространства и времени, то это может быть только теория,  НЕэфирная с самых ее аксиоматических фундаментальных оснований (включая отказ от эфирного принципа независимости скорости света от движения источника, ставшего постулатом в СТО) .

Можно почитать еще и по этой ссылке (ссылке в прямом смысле - модеры сослали в альтернативу)

[Александр45]

Цитата: Александр45 от 11 Август 2021, 06:50:36
Лучше изучите тему  Вращение стержня или Вычислить энергию стержня.
Если есть терпение изучите работу  и укажите конкретные косяки. А без конкретики все Ваши заявления просто бла-бла-бла.

ТАк Александр45 сам никак не может изучить то, что ему пишут понимающие люди в указанных темах (и в многочисленных темах ранее)

На изгиб стержня мне указали релятивисты в "Дебатах..." SciTecLibrary, т.е. я не открывал этот эффект. А о том, что пишут понимающие люди, я стараюсь разобраться.
Вот Вы например, не как не можете объяснить простой вопрос: На каком основании СТО относят к физическим теориям, если релятивистские эффекты (см. тему "О несовместимости реальных релятивистских эффектов с принципом относительности") по Вашим много кратным заявлениям физически не существуют.
Релятивисты в данном случае заявляют не так однозначно. Вот в теме Реальны ли сокращение длины и замедление времени в СТО? так и не услышал ни одного аргумента, логически доказывающего, что эти РЭ реальны.
Так что Вы в данном случае проявили научную смелость, заявив, что замедление времени и сокращение длины физически не происходят. Из чего следует, что СТО не является физической теорией.

Цитата: meandr от 14 Июль 2021, 10:36:52
Вам уже отвечали спецы по ТО, что "открытый" Вами изгиб стержня НИЧЕМ не противоречит ПО и законам сохранения энергии-импульса в их трактовке по ТО - но Вы это игнорируете как своюлингнет.

В их трактовке может не противоречит. А вот согласно расчетам по формулам СТО оказывается противоречит. Самый простой способ увидеть нарушение закона сохранения импульса - это рассмотреть направление суммарного импульса для стержня в вертикальном положении и любом другом положении, где у него форма не прямолинейная.


Может укажите здесь ошибку? Или покажите подобный расчет выполненный релятивистами?
Так почему же мне не гнуть свою линию?

Цитата: meandr от 14 Июль 2021, 12:36:58
Итого, сухой остаток - выжимка экстракта по теме:
- вращающийся стержень в ИСО, где он еще и перемещается, по ТО получается кривым (в один момент времени и в общем случае, хотя есть положение, когда он прямой), с неравномерным ускорением тех точек, которые равноотстоят от центра вращения в ИСО где стержень только вращается (равномерно) и прямой.
- по ТО в таком неравномерном движении НЕТ никакого нарушения сохранения энергии-импульса (трактуемых в ТО как единое 4-х понятие, с применением соответствующего ТЭИ).

То есть в СТО выполняется закон сохранения энергии-импульса, но нарушаются законы сохранения импульса, момента импульса и полной энергии по отдельности?
Ха-ха-ха!!!
Впрочем это тоже для СТО гибельно. Если есть ИСО, в которой эти три закона сохранения выполняются (ось вращения неподвижна), то ее можно отличить от ИСО, в которых эти законы не выполняются. Чем Вам это не нарушение ПО? Получается, что ПО в СТО - это не фундаментальный принцип физики.

Цитата: meandr от 01 Август 2021, 19:54:35
Более того, дело тут даже не в релятивистской специфике ТО с ОО и ТЭИ, а в том что даже в дорелятвистской механике сила, приложенная к перемещающейся точке, совершает работу, если сила имеет ненулевую проекцию на перемещение (или перемещение - на силу) - именно это и происходит в современной эфиро-релятивистской теории в случае вращающегося стержня в ИСО где он еще и перемещается.
Об этом Вам знатоки на Сайтехе тоже писали еще три года назад - а Вы до сих пор это не усвоили.

Я знаю, что в Сайтехе есть орты слабо знающие механику, но такое даже они вряд ли ляпнут.
Во-первых, если в замкнутой системе точка под действием силы движется равномерно и прямолинейно, то она никакой работы  не выполняет, так как существуют силы уравновешивающие эту силу, например, сила реакции этой точки. А если результирующая сила равна нулю, то и работа совершаемая ей равна нулю. Между прочим этого не учитывал Лауэ при объяснении парадокса рычага, хотя он не был ортом из Сайтеха.

Во-вторых, Вы не перепутали СТО с эфирной теорией? А изложение эфирно-релятивистской теории я в трудах по СТО не встречал. Может дадите ссылку? Если в какой-то теории есть эфир, то в электродинамике ПО отсутствует.  Следовательно, речь идет не о СТО!