Занимательные задачи

[Antediluvian]

2. Доллары и центы. Покупатель истратил в магазине половину всех наличных денег, после чего у него осталось ровно столько центов, сколько было долларов, и вдвое меньше долларов, чем было центов. Сколько денег было у покупателя до того, как он совершил первую покупку?

А-а, те же яйца, только в профиль. Ну нафиг, не люблю решать подбором.

[Tea]

Хренассе кассиры "ошибаются". Но вообще ответов может быть несколько.

Для начала составим уравнение, где х количество доларов, а у количество центов. В долларе 100 центов, следовательно, в чеке было 100х+у центов. а выдали ему 100у+х центов, да ещё 5 центов он потерял, и всё равно денег в 2 раза больше. Отсюда:

2(100х+у)=100у+х-5

Одно уравнение, два неизвестных, ответов может быть несколько. Но искать надо в целых числах, т.к. центы дальше не делятся. Будем искать:

у=(199х+5)/98

Задолбался перебирать, но минимальный целый х у меня получился равным 31, если ничего не пропустил по запарке. Тогда у=63. Чек был выписан на 31 доллар 63 цента, а выдано 63 доллара 31 цент. При этом 5 центов мужик посеял и у него осталось 63 доллара 26 центов - ровно вдвое больше, чем было в чеке.

Правильно.

[Tea]

Разделив число 8 101 265 822 784 на 8, вы убедитесь, что ответ можно получить, просто переставив 8 из начала в конец числа!

Не могли бы вы найти число, начинающееся с 7, которое можно разделить на 7 столь же простым способом?

[Tea]

Сокращенные действия. Время от времени появляются различные, подчас довольно хитроумные приемы, облегчающие устный счет. Вот один такой прием, который заинтересует тех, кто с ним не знаком.

Можете ли вы перемножить в уме 993 и 879? Любопытно, что если мы имеем два двузначных числа, содержащих одинаковое количество десятков, и при этом сумма цифр их младших разрядов равна 10, то такие числа всегда можно перемножить в уме следующим образом. Допустим, нам надо умножить 97 на 93. Умножьте 7 на 3 и запишите результат, затем прибавьте 1 к 9 и умножьте на другую девятку, 9 × 10 = 90. Итак, 97 × 23 = 9021.

Это правило оказывается очень полезным при возведении в квадрат чисел, оканчивающихся на 5, как, например, 852 = 7225. Имеется также простое правило умножения двух дробей, целые части которых совпадают, а дробные части в сумме дают единицу. Возьмем, например, 7¼ × 7¾ = 56

. Перемножив дробные части, получим

; прибавим 1 к 7 и, умножив результат на другую семерку, получим 7 × 8 = 56.

[dhs]

Вот очень простая маленькая головоломка.

У одного человека был треугольный газон, стороны которого пропорциональны сторонам треугольника, изображенного на рисунке. Человеку захотелось разбить на газоне предельно большую прямоугольную клумбу, на задев дерева.

Как ему следует поступить?

Эта головоломка поможет нам освоить простое правило, которое в некоторых случаях оказывается весьма полезным. Например, его с успехом можно приложить к задаче, в которой столяру требуется, не захватив сучка, вырезать из треугольной доски наибольшую прямоугольную крышку для стола.

прямоугольник сплошной или с можно с вырезом вокруг дерева??

[dhs]

Это правило оказывается очень полезным при возведении в квадрат чисел, оканчивающихся на 5, как, например, 852 = 7225. Имеется также простое правило умножения двух дробей, целые части которых совпадают, а дробные части в сумме дают единицу. Возьмем, например, 7¼ × 7¾ = 56

. Перемножив дробные части, получим

   
852 не кончается на 5, а 85²=7225.... описка
"7¼ × 7¾ "=56.1875

[Tea]

прямоугольник сплошной или с можно с вырезом вокруг дерева??

Вроде в условии, чтобы не захватывали дерево. но клумба наибольшая, которая возможна.. прямоугольная . Задачка не замысловатая, я даже и стерла. Здесь люди  образованны и им покажется она примитивной.

[Tea]

   
852 не кончается на 5, а 85²=7225.... описка
"7¼ × 7¾ "=56.1875

Да? Согласна.

[Antediluvian]

Вроде в условии, чтобы не захватывали дерево. но клумба наибольшая, которая возможна.. прямоугольная . Задачка не замысловатая, я даже и стерла. Здесь люди  образованны и им покажется она примитивной.

Провести среднюю линию треугольника (пройдёт как раз правее дерева) и от неё перпендикуляры к левой стороне. Получим наибольший вписанный прямоугольник, равный половине площади треугольника. Все другие вписанные прямоугольники будут меньше.

[dhs]

Провести среднюю линию треугольника (пройдёт как раз правее дерева)

или левее??? у тебя похоже на мониторе зеркальное отображение

[Antediluvian]

или левее??? у тебя похоже на мониторе зеркальное отображение

Левее конечно. Это у меня синдром Сенного-Соломенского.

[dhs]

Левее конечно. Это у меня синдром Сенного-Соломенского.

[Tea]

Провести среднюю линию треугольника (пройдёт как раз правее дерева) и от неё перпендикуляры к левой стороне. Получим наибольший вписанный прямоугольник, равный половине площади треугольника. Все другие вписанные прямоугольники будут меньше.

Да.

[Tea]

Разделив число 8 101 265 822 784 на 8, вы убедитесь, что ответ можно получить, просто переставив 8 из начала в конец числа!

Не могли бы вы найти число, начинающееся с 7, которое можно разделить на 7 столь же простым способом?

А это? Это уже для ваших закрученных знаниями умов 

[dhs]

Да.

а то что дерево не на средней линии определяется на глаз????

[Tea]

а то, что дерево не на средней линии определяется на глаз????

Вроде условие  такое, что дерево нарисовано в углу сада. Но Ант решил правильно.

[Tea]

 Группу звезд, изображенную на рисунке, очень трудно обнаружить в самую ясную ночь по той простой причине, что она... невидима. 21 звезда этого созвездия образует 7 прямых по 5 звезд на каждой.



Не могли бы вы изменить расположение звезд так, чтобы они образовали 11 прямых по 5 звезд на каждой? Существует много решений этой головоломки. Попытайтесь найти симметричное.

[dhs]

Вроде условие  такое, что дерево нарисовано в углу сада. Но Ант решил правильно.

естественно, это как данное в геометрии... и доказуемо...

[Tea]

 Как доказать, что периметр( сумма) сторон треугольника больше суммы медиан в треугольнике.?
Уф, решение запутанное, но может внучка разберется.
 
Пусть исходный треугольник АВС.
Обозначим середины сторон АВ, ВС и СА соответственно С1, А1 и В1. Таким образом медианы ---АА1, ВВ1 и СС1.
Точку пересечения медиан обозначим М.
Периметр треугольника обозначим Р.

Первое неравенство.

В1А1 ---средняя линия. Поэтому В1А1=(1/2)АВ=АС1. По неравенству треугольника
АА1 < АВ1+В1А1=(1/2)(АВ+АС) .
Аналогично
ВВ1 < (1/2)(ВА+ВС) ,
СС1 < (1/2)(СА+СВ) .
Сложив эти 3 неравенства получаем
АА1+ВВ1+СС1 < АВ+ВС+СА=Р.

Второе неравенство.

Поскольку медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, то
АМ=(2/3)АА1, ВМ=(2/3)ВВ1, СМ=(2/3)СС1.
По неравенству треугольника
АВ < АМ+МВ=(2/3)(АА1+ВВ1),
ВС < ВМ+МС=(2/3)(СС1+ВВ1),
СА < АМ+МС=(2/3)(АА1+СС1).
Сложив эти 3 неравенства получаем
Р=АВ+ВС+СА < (4/3)(АА1+ВВ1+СС1).

[Antediluvian]

Как доказать, что периметр( сумма) сторон треугольника больше суммы медиан в треугольнике.?

Два пальца. Через параллелограмм, где удвоенная медиана является диагональю, доказываем, что она короче, чем сумма двух сторон, исходящих из той же вершины. Следовательно, медиана короче половины двух сторон, исходящих из той же вершины. А три медианы в сумме короче трёх сторон в суме, т.е. периметра.