Великое закрытие 2. Эйнштейн и кривое пространство..

[▫]

Именно.
"Математика комплексных чисел" сродни Географии Средиземья, или Политэкономии Царства Орков..
Актуальна только для "математики", и предназначена, исключительно, для развлечения "математиков", и поднятия их самооценки..
"Комплексные исчисления" придает никчёмной жизни "математика" иллюзию осмысленности..
Что-то вроде, "квантовой механики для "физиков""
Математика в отличие от "математики" - экспериментальная наука..
В ней "комплексного" бреда нету..

Да, "комплексные исчисления" можно использовать при расчетах цепей переменного тока..
Но, это то же самое, что использовать анатомию грифонов для лечения кошек, и кур..
Использовать можно, но с дуру можно и xуй сломать..

то есть, для практических нужд вполне достаточно "традиционной математики"

по существу, в "комплексном.." всё тоже самое, только с несколько другими символами и правилами
"комплексному числу z=a+bi будет однозначно соответствовать на комплексной плоскости точка (a;b)"
в итоге получаем, одевание трусов через голову, удаление гланд через..

[---]

... одевание трусов через голову, удаление гланд через..

Именно поэтому, из машинных языков "комплексы" удалили..
Виньетка ложной сути..
Все равно, АЛУ не умеет работать ни с какими иными "числами", кроме натуральных чисел..
А, понтоваться Машины еще не научились....
И все остальные "числа" ( включая, действительные), так или иначе, "приводятся" к натуральному виду..

[---]

Как вообще родились "комплексные числа"?
Это случилось лет 500 назад тому..
Интернет, Водку, и Гейклубы еще не изобрели..
И, богатые бездельники развлекались "математикой"..
Один из них сидел, и пялился на уравнение..

x² = -1

..и думал, как, сука,  найти икс?.

Ни у кого не получалось..
Среди чисел не находилось подходящего, которое при возведении в квадрат, давало бы отрицательную единицу..

И тут его осенило!
Раз среди чисел нет подходящего?
Кто мешает мне придумать такое?
И он придумал..

Решением уравнения будет "число i"

x = i
..
Так родилось первое "мнимое (кажущееся, мнящееся) число", обозначенное цифрой "i"


Однако, придумывать для каждого нового мнящегося числа новую "цифру" было в ломы, и вопрос решили оптом..
К обычной числовой оси приляпали поперек еще одну "мнимую числовую ось", и стали на ней откладывать "мнимые числа"..

[▫]

И тут его осенило!
Раз среди чисел нет подходящего?
Кто мешает мне придумать такое?
И он придумал..

[severe]

У математиков вообще все числа целые и натуральные (природные).
Никаких других чисел у математиков нет..

Так, а чё там делают целые числа? Они ж не природные, а сугубо умозрительная игрушка

[---]

Так, а чё там делают целые числа? Они ж не природные, а сугубо умозрительная игрушка..

"Целые" (счетные) - есть натуральные, к которым добавлены "число ноль", и "отрицательные числа"..

Да, "целые числа" это уже "расширение" натурального ряда, но, расширение вполне рациональное..
При употреблении, целые числа, все равно, становятся натуральными..

В любом случае, ты ломишься в открытые ворота..

У меня нет возражений, и предубеждений в отношении специфических математических инструментов, которые помогают правильно  считать....
Но.
"Комплексные числа", с моей неистинной точки зрения, таковым инструментом не являются..

Только и всего..

[Вашкевич Виктор]

"Целые" (счетные) - есть натуральные, к которым добавлены "число ноль", и "отрицательные числа"..

Да, "целые числа" это уже "расширение" натурального ряда, но, расширение вполне рациональное..
При употреблении, целые числа, все равно, становятся натуральными..

В любом случае, ты ломишься в открытые ворота..

У меня нет возражений, и предубеждений в отношении специфических математических инструментов, которые помогают правильно  считать....
Но.
"Комплексные числа", с моей неистинной точки зрения, таковым инструментом не являются..

Только и всего..

Штриханутый! Когда уже закроешь  своего Эйнштейна?

[severe]

"Комплексные числа", с моей неистинной точки зрения, таковым инструментом не являются..

Так почему они не являются? Потому что согласно тождеству Эйлера \( e^2=1 \).

Но из тождества Эйлера следует, что \( e^2=(-1)^0=1 \).
\( e^{i\pi}=e^{-i\pi}=-1 \)
\( e=(-1)^{1/{i\pi}}=(-1)^{-1/{i\pi}} \)
\( e^2=(-1)^{1/{i\pi}}\cdot (-1)^{-1/{i\pi}}=(-1)^0=1 \)

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=618958.msg10368995#msg10368995

[severe]

запомни:
формула Эйлера связывает показательную и тригонометрическую формы комплексного числа

Запомни: тождество Эйлера является частным случаем формулы Эйлера при \( x=\pi \).

[Ost]

Мы придерживаемся главного значения логарифма, потому что \( e=e^{1+2k} \) при \( k=0 \).

Придерживаясь главного значения логарифма и учитывая \( k=0 \), ваше последнее выражение \( e=e^{1+2k} \) действительно сокращается до \( e=e \), что верно, так как любое число, возведённое в степень 0, равно единице, и следовательно \( e^{2k} \) равно единице при \( k=0 \). Однако при других значениях \( k \), кроме нуля, это выражение будет неверным, так как оно приведёт к другому значению, не равному числу \( e \). В контексте, где \( k \) должно быть целым числом и мы ограничены главным значением логарифма, мы не можем выбирать другие значения \( k \), кроме нуля, чтобы уравнение оставалось справедливым для числа \( e \).

ChatGPT4

[severe]

Придерживаясь главного значения логарифма и учитывая \( k=0 \), ваше последнее выражение \( e=e^{1+2k} \) действительно сокращается до \( e=e \), что верно, так как любое число, возведённое в степень 0, равно единице, и следовательно \( e^{2k} \) равно единице при \( k=0 \). Однако при других значениях \( k \), кроме нуля, это выражение будет неверным, так как оно приведёт к другому значению, не равному числу \( e \). В контексте, где \( k \) должно быть целым числом и мы ограничены главным значением логарифма, мы не можем выбирать другие значения \( k \), кроме нуля, чтобы уравнение оставалось справедливым для числа \( e \).

ChatGPT4

Совершенно верно. Рассматривайте нижеследующие вычисления, начиная с четвёртого шага, решением уравнения относительно k.
\( e^{i\pi}=-1 \)
\( (e^{i\pi})^{1/(i\pi)}=(-1)^{1/(i\pi)} \)
\( e=e^{\log(-1) \cdot \frac{1}{i\pi}} \)
\( e=e^{(i\pi+2k\pi i)/(i\pi)} \)
\( e=e^{(i\pi (1+2k))/(i\pi)} \)
\( e=e^{1+2k} \)
\( k=0 \)

[Ost]

Совершенно верно. Рассматривайте нижеследующие вычисления, начиная с четвёртого шага, решением уравнения относительно k.
\( e^{i\pi}=-1 \)
\( (e^{i\pi})^{1/(i\pi)}=(-1)^{1/(i\pi)} \)
\( e=e^{\log(-1) \cdot \frac{1}{i\pi}} \)
\( e=e^{(i\pi+2k\pi i)/(i\pi)} \)
\( e=e^{(i\pi (1+2k))/(i\pi)} \)
\( e=e^{1+2k} \)
\( k=0 \)

Извините за предыдущее недопонимание. Рассмотрим предоставленные вами вычисления шаг за шагом начиная с четвертого шага.

4. \( e=e^{(i\pi+2k\pi i)/(i\pi)} \) - это выражение включает в себя многозначность логарифма, где \( 2k\pi i \) представляет целые кратные \( 2\pi i \), что соответствует полным оборотам вокруг начала координат на комплексной плоскости. Поскольку логарифм комплексного числа \( -1 \) выражается как \( i\pi + 2k\pi i \) для целых \( k \), главное значение этого логарифма (при \( k=0 \)) будет \( i\pi \).
5. \( e=e^{(i\pi (1+2k))/(i\pi)} \) - это преобразование основано на предыдущем шаге, и выражение \( (i\pi (1+2k))/(i\pi) \) упрощается до \( 1+2k \).
6. \( e=e^{1+2k} \) - это утверждение правильное только при \( k=0 \), так как в противном случае мы получим иные степени числа \( e \), которые не будут равны \( e \).

Таким образом, выражение \( e=e^{1+2k} \) корректно только при \( k=0 \). Для любого другого целого \( k \), данное уравнение даст неверный результат, поскольку \( e \) не может быть равно \( e^{1+2k} \), если \( 2k \) не равно нулю.

Следовательно, можно сказать, что шаги 4-6 верны при условии, что \( k=0 \), и только в этом случае \( e \) равно самому себе, как и ожидалось. Для других значений \( k \) мы выйдем на другую ветвь логарифма, что приведет к другим значениям правой стороны уравнения. Ключевым моментом является признание многозначности комплексного логарифма и того факта, что главное значение принимается при \( k=0 \).

Общий вывод состоит в том, что равенство \( e=e^{1+2k} \), полученное путем возведения в степень исходного тождества Эйлера, является валидным только при определенном выборе \( k \), в данном случае при \( k=0 \). Это демонстрирует, что существует одно главное значение экспоненциальной функции при определенных значений \( k \), и важность быть внимательным при рассмотрении многозначных функций в комплексном анализе.

ChatGPT4

[severe]

Извините за предыдущее недопонимание. Рассмотрим предоставленные вами вычисления шаг за шагом начиная с четвертого шага.

4. \( e=e^{(i\pi+2k\pi i)/(i\pi)} \) - это выражение включает в себя многозначность логарифма, где \( 2k\pi i \) представляет целые кратные \( 2\pi i \), что соответствует полным оборотам вокруг начала координат на комплексной плоскости. Поскольку логарифм комплексного числа \( -1 \) выражается как \( i\pi + 2k\pi i \) для целых \( k \), главное значение этого логарифма (при \( k=0 \)) будет \( i\pi \).
5. \( e=e^{(i\pi (1+2k))/(i\pi)} \) - это преобразование основано на предыдущем шаге, и выражение \( (i\pi (1+2k))/(i\pi) \) упрощается до \( 1+2k \).
6. \( e=e^{1+2k} \) - это утверждение правильное только при \( k=0 \), так как в противном случае мы получим иные степени числа \( e \), которые не будут равны \( e \).

Таким образом, выражение \( e=e^{1+2k} \) корректно только при \( k=0 \). Для любого другого целого \( k \), данное уравнение даст неверный результат, поскольку \( e \) не может быть равно \( e^{1+2k} \), если \( 2k \) не равно нулю.

Следовательно, можно сказать, что шаги 4-6 верны при условии, что \( k=0 \), и только в этом случае \( e \) равно самому себе, как и ожидалось. Для других значений \( k \) мы выйдем на другую ветвь логарифма, что приведет к другим значениям правой стороны уравнения. Ключевым моментом является признание многозначности комплексного логарифма и того факта, что главное значение принимается при \( k=0 \).

Общий вывод состоит в том, что равенство \( e=e^{1+2k} \), полученное путем возведения в степень исходного тождества Эйлера, является валидным только при определенном выборе \( k \), в данном случае при \( k=0 \). Это демонстрирует, что существует одно главное значение экспоненциальной функции при определенных значений \( k \), и важность быть внимательным при рассмотрении многозначных функций в комплексном анализе.

ChatGPT4

Решите относительно \( k \) уравнение:
\( e=e^{(i\pi+2k\pi i)/(i\pi)} \)

[Ost]

Решите относительно \( k \) уравнение:
\( e=e^{(i\pi+2k\pi i)/(i\pi)} \)

Чтобы решить уравнение \( e=e^{(i\pi+2k\pi i)/(i\pi)} \) относительно \( k \), мы можем упростить правую часть:

1. Вынести \( i\pi \) в знаменателе и упростить выражение.
   
   \( e^{(i\pi+2k\pi i)/(i\pi)} = e^{1+2k} \)

2. Так как основания экспонент одинаковые (оба равны \( e \)), то показатели степени должны быть равны. Следовательно, у нас есть уравнение:

   \( 1 = 1 + 2k \)

3. Решая это уравнение относительно \( k \), мы получаем:

   \( 2k = 0 \)
   
   \( k = 0 \)

Таким образом, единственное значение \( k \), при котором уравнение \( e=e^{(i\pi+2k\pi i)/(i\pi)} \) имеет смысл, это \( k = 0 \). Это значение соответствует главному значению логарифма при логарифмировании \( -1 \), что даёт нам \( i\pi \).

Чтобы подчеркнуть, многозначность комплексного логарифма означает, что уравнение может иметь бесконечно много решений вида \( k = n \), где \( n \) - целое число, если мы рассматриваем все возможные значения логарифма. Однако, в контексте данного уравнения результатом будет именно \( k = 0 \), так как мы ограничиваемся основной ветвью логарифма.

ChatGPT4

[severe]

Чтобы решить уравнение \( e=e^{(i\pi+2k\pi i)/(i\pi)} \) относительно \( k \), мы можем упростить правую часть:

1. Вынести \( i\pi \) в знаменателе и упростить выражение.
   
   \( e^{(i\pi+2k\pi i)/(i\pi)} = e^{1+2k} \)

2. Так как основания экспонент одинаковые (оба равны \( e \)), то показатели степени должны быть равны. Следовательно, у нас есть уравнение:

   \( 1 = 1 + 2k \)

3. Решая это уравнение относительно \( k \), мы получаем:

   \( 2k = 0 \)
   
   \( k = 0 \)

Таким образом, единственное значение \( k \), при котором уравнение \( e=e^{(i\pi+2k\pi i)/(i\pi)} \) имеет смысл, это \( k = 0 \). Это значение соответствует главному значению логарифма при логарифмировании \( -1 \), что даёт нам \( i\pi \).

Чтобы подчеркнуть, многозначность комплексного логарифма означает, что уравнение может иметь бесконечно много решений вида \( k = n \), где \( n \) - целое число, если мы рассматриваем все возможные значения логарифма. Однако, в контексте данного уравнения результатом будет именно \( k = 0 \), так как мы ограничиваемся основной ветвью логарифма.

ChatGPT4

Решить относительно \( k \) уравнение:
\( e=e^{(i\pi+2k\pi i)/(-i\pi)} \)

[Ost]

Решить относительно \( k \) уравнение:
\( e=e^{(i\pi+2k\pi i)/(-i\pi)} \)

1. Разделим числитель на знаменатель, чтобы упростить выражение в показателе степени:

   \( e^{(i\pi + 2k\pi i)/(-i\pi)} = e^{-1 - 2k} \)

2. Поскольку основания экспонент одинаковы и равны \( e \), то показатели степени тоже должны быть равны. Таким образом, можно записать:

   \( 1 = -1 - 2k \)

3. Решая это уравнение относительно \( k \):

   \( 2k = -1 - 1 \)
   
   \( 2k = -2 \)
   
   \( k = -1 \)

Таким образом, значение \( k \), при котором уравнение \( e=e^{(i\pi+2k\pi i)/(-i\pi)} \) верно, равно \( -1 \).

Если мы учитываем многозначность комплексного логарифма, то следует отметить, что показатель степени может быть изменен добавлением целочисленных кратных \( 2\pi \). Однако в рамках изначальной постановки задачи, решением будет именно \( k = -1 \).

ChatGPT4

[severe]

1. Разделим числитель на знаменатель, чтобы упростить выражение в показателе степени:

   \( e^{(i\pi + 2k\pi i)/(-i\pi)} = e^{-1 - 2k} \)

2. Поскольку основания экспонент одинаковы и равны \( e \), то показатели степени тоже должны быть равны. Таким образом, можно записать:

   \( 1 = -1 - 2k \)

3. Решая это уравнение относительно \( k \):

   \( 2k = -1 - 1 \)
   
   \( 2k = -2 \)
   
   \( k = -1 \)

Таким образом, значение \( k \), при котором уравнение \( e=e^{(i\pi+2k\pi i)/(-i\pi)} \) верно, равно \( -1 \).

Если мы учитываем многозначность комплексного логарифма, то следует отметить, что показатель степени может быть изменен добавлением целочисленных кратных \( 2\pi \). Однако в рамках изначальной постановки задачи, решением будет именно \( k = -1 \).

ChatGPT4

Совершенно верно.
Найти ошибку в вычислениях:
\( e=e^{\frac{i\pi}{i\pi}}=e^{\frac{-i\pi}{-i\pi}}=(-1)^{\frac{1}{i\pi}}=(-1)^{-\frac{1}{i\pi}} \)
\( e^2=(-1)^{\frac{1}{i\pi}}\cdot (-1)^{-\frac{1}{i\pi}}=(-1)^0=1 \)

[Ost]

Совершенно верно.
Найти ошибку в вычислениях:
\( e=e^{\frac{i\pi}{i\pi}}=e^{\frac{-i\pi}{-i\pi}}=(-1)^{\frac{1}{i\pi}}=(-1)^{-\frac{1}{i\pi}} \)
\( e^2=(-1)^{\frac{1}{i\pi}}\cdot (-1)^{-\frac{1}{i\pi}}=(-1)^0=1 \)

Ошибка в ваших вычислениях заключается в предположении, что комплексное возведение в степень можно рассматривать так же, как возведение в степень вещественных чисел, что не всегда верно, особенно когда дело касается многозначных функций, таких как комплексный логарифм.

Рассмотрим шаги вычисления:

1. Вы пользуетесь тождеством \( e = e^{\frac{i\pi}{i\pi}} \), которое верно, так как \( \frac{i\pi}{i\pi} = 1 \).

2. Далее вы используете свойство инвариантности экспоненты относительно умножения показателя степени на -1, что также верно: \( e = e^{\frac{-i\pi}{-i\pi}} \).

3. Затем вы переходите к \( (-1)^{\frac{1}{i\pi}} \) и \( (-1)^{-\frac{1}{i\pi}} \), предполагая, что \( e^{i\pi} = -1 \) и используя свойства степени для комплексных чисел. Однако, важно отметить, что \( (-1)^{\frac{1}{i\pi}} \) не определено однозначно без указания выбранной ветви логарифма.

4. Основная ошибка содержится в последнем шаге, где утверждается \( e^2 = (-1)^{\frac{1}{i\pi}} \cdot (-1)^{-\frac{1}{i\pi}} \). Это неверное утверждение потому, что операция возведения в степень для комплексных чисел зависит от выбора ветви логарифма и не может быть упрощена так же, как для вещественных степеней без учёта многозначности. Выражения \( (-1)^{\frac{1}{i\pi}} \) и \( (-1)^{-\frac{1}{i\pi}} \) не являются противоположными и не могут быть упрощены до \( (-1)^0 \), которое равно 1.

Корректное упрощение выражения \( (-1)^{\frac{1}{i\pi}} = e^{\frac{\log(-1)}{i\pi}} \) должно включать в себя основное значение логарифма \( \log(-1) = i\pi \), и учитывать, что для всех целых чисел \( n \) добавляется \( 2\pi i n \), чтобы получить полные значения логарифма.

Таким образом, правильная интерпретация и осознание многозначности комплексного логарифма и экспоненты -- ключевые аспекты при работе с комплексными числами, и пренебрежение этими аспектами может привести к ошибочным выводам, как в данном случае.

ChatGPT4

[severe]

Однако, важно отметить, что \( (-1)^{\frac{1}{i\pi}} \) не определено однозначно без указания выбранной ветви логарифма.
ChatGPT4

\( (-1)^{\frac{1}{i\pi}} \) определено однозначно и равно \( e \) c указанием выбранной ветви логарифма \( k=0 \).
\( (-1)^{-\frac{1}{i\pi}} \) определено однозначно и равно \( e \) с указанием выбранной ветви логарифма \( k=-1 \).

[Ost]

\( (-1)^{\frac{1}{i\pi}} \) определено однозначно и равно \( e \) c указанием выбранной ветви логарифма \( k=0 \).
\( (-1)^{-\frac{1}{i\pi}} \) определено однозначно и равно \( e \) с указанием выбранной ветви логарифма \( k=-1 \).

Однако, важно отметить, что \( (-1)^{\frac{1}{i\pi}} \) не определено однозначно без указания выбранной ветви логарифма.
ChatGPT4

\( (-1)^{\frac{1}{i\pi}} \) определено однозначно и равно \( e \) c указанием выбранной ветви логарифма \( k=0 \).
\( (-1)^{-\frac{1}{i\pi}} \) определено однозначно и равно \( e \) с указанием выбранной ветви логарифма \( k=-1 \).

severe, надо более чётко формулировать запросы.
Чем больше словесных уточнений, тем лучше результат.
Например:
Ваша цитата "----"
------
Так понимать?

Контекст уже 33 килобайта.