Сама формулировка третьего закона Ньютона дана в виде баланса (т.е. равенства нулю суммы) сил "действия" и "противодействия".
Каждая же из сил "действия" и "противодействия" может, в свою очередь, включать в себя несколько составляющих. Так, в приводившемся мною уравнении движения осциллятора внешняя сила "действия" F(t) представлена в единственном числе, тогда как внутренних сил ("противодействующих" внешней силе, о чём свидетельствует знак минус в их формульных записях) три:
- пропорциональная координате х возвращающая сила (-mω²x),
- пропорциональная скорости dx/dt диссипативная сила (-λ dx/dt),
- пропорциональная ускорению d²x/dt² сила инерции (-m d²x/dt²).
Сама запись баланса сил по третьему закону Ньютона представляет собой дифференциальное уравнение движения динамической системы. Например, в случае осциллятора эта запись такова:
F(t)+(-mω²x)+(-λ dx/dt)+(-m d²x/dt²)=0.
А более привычная для того же уравнения движения математическая запись (в том виде, в каком дифференциальное уравнение преобразуется в алгебраическое, в частности, в так называемое «характеристическое», поддающееся стандартному решению) такова:
m d²x/dt² +λ dx/dt)+ mω²x=F(t).
Но здесь физический смысл каждого члена уравнения движения не столь ясен и прозрачен, как в балансе сил по третьему закону Ньютона.
Пошли на второй заход.
Уравнения движений и их решения у вас всегда правильные.
С математикой полный порядок.
Из правильно составленного дифур. уже не надо искать физический смысл.
Физический смысл станет полностью очевидным после решения.
А вот для составления уравнений лучше пользоваться физическим смыслом, и в механике использовать корректно законы Ньютона.
Можно и некорректно, как у вас.
Это не приведет к ошибке.
Это приведёт к потере физического смысла.
И к ошибке интерпретации решения.
Такую ошибку интерпретации вы уже сделали в задаче с пружиной.
Пытаясть спасти «силу инерции», вы заменили знак.
Нало было Fи=ma
А вы поставили
Fи=-ma
А это есть не сила инерции, а сила реакции стенки на пружину.
Это в вашем первом решении с пружиной.
Теперь обратно к осциллятору:
Сумма сил действующих на осциллятор:
F= F(t)-λx’- mω²x
Допустим, что эта сумма сил не равна нулю.
То есть нет баланса сил по третьему Закону:
F(t)<>λx’+ mω²x
Сумма сил, действующих на тело не равна нулю.
Не работает и первый Закон.
Вступает в действие второй Закон.
Если на тело действует сила, то тело приобретает ускорение:
a=F/m
и далее на основании этой формулы из второго Закона получаем ваше дифференциальное уравнение движения:
m d²x/dt² +λ dx/dt)+ mω²x=F(t).
или
mx'' +λx’+ mω²x=F(t)
или
x''+ λx’/m+ω²x=F(t)/m
И характеристическое уравнение однородного дуф-ур:
p
2+ λp/m+ω²=0
