О формализме Лагранжа

[Gravio]

Ну а Цветаева тут при чем?
Безобразничаешь ты, а как к ответу тебя, так Цветаеву подставляешь?

Так она же сынок на таком же пароходе уплывала...
Ну тот что ты мне предоставил.
Учил бы ты лучше учебник и вел бы - вменяемый разговор.
Все польза была была бы.

[Вашкевич Виктор]

Так она же сынок на таком же пароходе уплывала...
Ну тот что ты мне предоставил.
Учил бы ты лучше учебник и вел бы - вменяемый разговор.
Все польза была была бы.

А ты эту ссылку читать не хочешь?

http://www.ihst.ru/projects/sohist/document/vs1949pr.htm

Думаешь, тебя не касается?

[Петров А. М.]

«Мавры посчитали, что уже сделали своё чёрное дело и теперь хотят тихо уйти». Замысел понятен: тему –  закрыть, чтобы сосредоточить силы на других направлениях…
Однако, разговор по теме не окончен. Да и Модератор обещал, но, видимо, ещё не успел освежить свои знания по томику Ландау, поэтому не готов высказать свою позицию. Для объективного подведения итогов напомню о сути разногласий. Какую позицию, как единственно научную, отстаивают оппоненты?
«Разделение механических систем на голономные и неголономные весьма существенно, так как к голономным системам применимы многие сравнительно простые уравнения механики и общие принципы, которые не справедливы для неголономных систем. Движение голономных систем может изучаться с помощью Лагранжа уравнений механики, Гамильтона уравнений, Гамильтона-Якоби уравнения, а также с помощью наименьшего действия принципа в форме Гамильтона-Остроградского или Мопертюи-Лагранжа» («Физическая энциклопедия»).
http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0832.html
Ну, а как быть с неголономными системами? И для чего в этой теме мною приводились сведения об экспериментах с движителями без выброса реактивной массы? Можно по-разному относиться к тому или иному способу теоретического обоснования подобных экспериментов. Однако вспомним слова О.Хевисайда:
«Буду ли я отказываться от обеда потому, что не понимаю полностью процесс пищеварения?»
http://vivovoco.rsl.ru/VV/BOOKS/HEAVISIDE/CHAPTER_03.HTM
Оставим пока в стороне довольно сложное явление электромагнетизма и рассмотрим более простой и очевидный для всех эффект притяжения тел с ускорением свободного падения g=9,81 м/с² на поверхности Земли. Какие пределы возможности оперирования с массой m ставит здесь теория голономных систем?
Вспомним классическую вариационную задачу о брахистохроне, но только исключим в ней перепад высот для отстоящих друг от друга двух точек. Пусть расстояние по горизонтали между точками А и В равно s. Тогда по кривой, представляющей собой циклоиду в вертикальной плоскости, или, совершая путь на ободе катящегося без скольжения колеса (производящего круга) радиусом r=s/(πи), масса m перемещается силой гравитации без каких-либо энергетических затрат из пункта А в пункт В за время t=2(πи)/ω, где ω=√(g/r) – угловая скорость вращения производящего круга (Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Физматлит, 1995, с. 802).
Как видим, сила гравитации способна беззатратно перемещать массу m из одной в любую другую точку на поверхности Земли, лишь бы в итоге у массы сохранялся исходный гравитационный потенциал. Во всяком случае, теория консервативных голономных систем такой беззатратный процесс разрешает. А что разрешает сверх этого теория неконсервативных (открытых) неголономных систем?
Представим себе движение по циклоиде на комплексной плоскости, направив действительную ось вертикально вниз, а мнимую ось – по горизонтали в сторону поступательного движения производящего круга. Начало координат поместим в верхнюю точку производящего круга в момент времени t=0 (направляющую располагаем вверху производящего круга, чтобы сила притяжения не тормозила, а поддерживала поступательное движение). Тогда параметры движения (координаты, скорость и ускорение) массы m будут описываться функциями времени:
z=r+irωt–rexp(iωt),    dz/dt=irω–irωexp(iωt),    d²z/dt²=rω²exp(iωt).  
Заменим воображаемый производящий круг реальным маховиком, на ободе которого со сдвигами на 90°, на пружинных динамических подвесах, разместим четыре массы m таким образом, чтобы в установившемся режиме движения полностью компенсировались центробежные силы, равные по модулю величине mrω² и, кроме того, возвратные пружины имели жёсткость, равную F/mω² (F – произвольная внешняя сила, отклоняющая массу m от положения равновесия).

[Петров А. М.]

Имея в виду появление дополнительной горизонтальной тяги, введём противодействующую ей силу сопротивления, пропорциональную скорости колебательного движения масс, с коэффициентом сопротивления b (размерность 1/сек), учитывающим совместно как диссипативные потери, так  и полезную нагрузку (работу гравитационной силы).
Тогда, во вращающейся с угловой частотой ω системе координат, уравнение движения динамически подвешенной массы под действием силы тяжести будет иметь следующий вид (вектор силы тяжести вращается в обратном направлении):
d²α/dt² + bdα/dt + ω²α = g exp(–iωt).  
Решая уравнение, находим:
α = (ig/ωb)exp(–iωt),   dα/dt=(g/b)exp(–iωt),   d²α/dt²= –i(gω/b)exp(–iωt).
Добавление этих векторных величин (без множителей обратного вращения) в исходные функции времени, описывающие движение по циклоиде, естественно, изменяет характеристики этой кривой и также может влиять на исходную величину ω угловой скорости вращения производящего круга (маховика). Однако мы ставим целью сохранить эту величину ω неизменной и поэтому лишь выясняем, каких затрат (энергии, импульса или момента импульса) требует соблюдение такого условия.
Итак, имеем следующие функции времени x(t), y(t), p(t), q(t), а также их производные по времени, описывающие движение четырёх рабочих масс (со сдвигами по фазе вращения на четверть периода):
x*=r+irωt–rexp(iωt)+(ig/ωb),      dx/dt*=irω–irωexp(iωt)+(g/b),  
d²x/dt²*=rω²exp(iωt)–i(gω/b);
y*=r+ir(ωt+π/2)–rexp(iωt+π/2)+(ig/ωb),      dy/dt*=irω–irωexp(iωt+π/2)+(g/b),  
d²y/dt²*=rω²exp(iωt+π/2)–i(gω/b);
p*=r+ir(ωt+π)–rexp(iωt+π)+(ig/ωb),      dp/dt*=irω–irωexp(iωt+π)+(g/b),  
d²p/dt²*=rω²exp(iωt+π)–i(gω/b);
q*=r+ir(ωt+3π/2)–rexp(iωt+3π/2)+(ig/ωb),      dq/dt*=irω–irωexp(iωt+3π/2)+(g/b),  
d²q/dt²*=rω²exp(iωt+3π/2)–i(gω/b);
В статике сдвиг рабочих масс в направлении поступательного движения приводил бы к дополнительному вращающему моменту, тормозящему вращение маховика. Однако в динамике существенно лишь положение точки подвеса (опоры) массы m, на которую полностью переносится действующая на неё сила тяжести подобно тому, как это происходит в прецессии волчка.
Более важна неодинаковость дополнительных моментов импульсов на левой и правой полуарках видоизменившейся циклоиды. Однако всё-таки речь идёт о реактивной мощности, равной нулю за период вращения и поэтому вполне поддающейся нейтрализации.
К полезному эффекту относится постоянная (равная величине 4mgω/b) горизонтальная сила тяги и некоторая часть силы сопротивления, уравновешивающей силу тяги и развивающей активную мощность 4mg²/b. Какую часть этой активной мощности следует отнести к полезной, реализуемой в полезную работу силы тяжести? Исходя из требования оптимальности соотношения между внутренней (затратной) и внешней (полезной) нагрузкой системы, эту величину необходимо уменьшить вдвое. А с учётом балластных свойств маховика, выполняющего функцию стабилизации скорости вращения (или равномерности поступательного движения), следует уменьшить эту мощность ещё вдвое (всего вчетверо). Таким образом, максимальная полезная мощность, развиваемая силой тяготения в предлагаемом варианте гравитационного двигателя (движителя), определяется величиной:
Pmax=mg²/b.
В заключение отметим, что, к великому сожалению, безопорное движение и гравитационная энергетика всё ещё остаются вне сферы интересов официальной науки, что теперь уже нельзя не признать преступлением перед обществом и государством, совершаемым как руководителями отечественной науки, так и теми, кто их в этом поддерживает.  Но история спросит со всех.  

[Старик]

«Мавры посчитали, что уже сделали своё чёрное дело и теперь хотят тихо уйти». Замысел понятен: тему –  закрыть, чтобы сосредоточить силы на других направлениях…
Однако, разговор по теме не окончен. <...> Для объективного подведения итогов напомню о сути разногласий.

Никаких разногласий нет.
Вам единодушно выставили кол с минусом за ваши знания
/1-

Какую позицию, как единственно научную, отстаивают оппоненты?
«Разделение механических систем на голономные и неголономные весьма существенно, так как к голономным системам применимы многие сравнительно простые уравнения механики и общие принципы, которые не справедливы для неголономных систем. Движение голономных систем может изучаться с помощью Лагранжа уравнений механики, Гамильтона уравнений, Гамильтона-Якоби уравнения, а также с помощью наименьшего действия принципа в форме Гамильтона-Остроградского или Мопертюи-Лагранжа» («Физическая энциклопедия»).
http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0832.html
Ну, а как быть с неголономными системами?

Как быть? - Забудьте и про те и про другие. Ведь вы всё равно не понимаете, что это такое. Совсем не понимаете. Вы пишете и публикуете лишённые всякого смысла тексты:

Поскольку лагранжев формализм, оперируя произведением функций x(t)•F(t), предполагает возможность, при частном дифференцировании этого произведения по его сомножителям, проигнорировать установленную уравнением движения связь между ними, то мы попробуем оценить погрешность этой процедуры на примере частного дифференцирования самого уравнения движения (Ландау-Лифшиц, с. 83):
d²x/dt²+ω²x=(1/m)F(t).
Соблюдая требования лагранжева формализма, частным дифференцированием уравнения движения по х получаем следующий результат: ω²=0. Аналогичным образом, дифференцируя уравнение движения по F(t), получаем: 0=1/m.
Из абсурдности обоих полученных результатов следует некорректность применения лагранжева формализма для решения данной задачи.

Из этого вашего текста следует, что вы не имеете ни малейшего понятия о формализме Лагранжа.
То, что вы сделали с уравнением, никакого отношения к Лагранжу не имеет. 
С таким же успехом вы могли поменять цвет чернил, которым написано уравнение, и объявить это действие "формализмом Лагранжа".
Разумность ваших действий - на уровне одной е... (ладно, не буду aid'а огорчать) загадки из Одессы, широко известной в послевоенные годы (думаю, вы её знаете):
"Длинное, зелёное, висит в углу на гвоздике и пищит. Что это?"

[Вашкевич Виктор]

Никаких разногласий нет.
Вам единодушно выставили кол с минусом за ваши знания
/1-

Старик, не шельмуйте. Сравните рейтинги свой и Петрова:
у Петрова на этот момент рейтинг выше Вашего.

[Петров А. М.]

В патефоне «Старика» явно заело пластинку, он повторяет одно и то же: «Мальбрук в поход собрался…». А мы сейчас говорим уже не о формализме Лагранжа, а о том, что, по свидетельству «Физической энциклопедии», находится за его пределами. Но даже, оказывается, за пределами понимания преподавателей высшей школы! Так что у нашего «педагога» из Питера вполне достойный его эрудиции министр-математик (доктор физ.-мат. наук), который, по его же словам, «высшую математику в школе не изучал и от этого дурее других не стал».
А ещё приходят на ум слова героя Н.В.Гоголя:
– Вот граница! – сказал Ноздрёв. – Всё, что ни видишь по эту сторону, всё это моё, и даже по ту сторону … всё моё.
Это – про лагранжев формализм в руках нынешних педагогов-ноздрёвых! Под руководством им же подобного министра-верхогляда они окончательно добьют отечественную систему образования и науки. А из выступлений «Старика» можно вынести твёрдое убеждение в том, что самой нелепой ошибкой было бы сейчас начать широкое финансирование этой рукотворной «чёрной дыры».

[aid]

Старик, не шельмуйте. Сравните рейтинги свой и Петрова:
у Петрова на этот момент рейтинг выше Вашего.

 У Старика низкий рейтинг не за знания.

[Старик]

<...>А мы сейчас говорим уже не о формализме Лагранжа, а о том, что, по свидетельству «Физической энциклопедии», находится за его пределами. <...>
Это – про лагранжев формализм в руках нынешних педагогов <...>

Петров, вы в пределах одного поста не способны запомнить, говорите ли вы о формализме Лагранжа или же не о нём. Бессвязность мышления. Надо бы вам заняться своим здоровьем.

[Альфа]

Надо бы вам заняться своим здоровьем.

опять заговор мерещится? +@>

[Старик]

У Старика низкий рейтинг не за знания.

aid, извините, всё же коснусь нелюбимой вами темы: здесь форум такой, специфический, политизированный.
Рейтинги ставят не за знания и не за порядочность.
Самые высшие рейтинги можно видеть у самых упёртых сионофилов, которые запредельно хулиганят, хамят, ляпают скабрезности или, на худой конец, хотя бы производят впечатление умалишённых.
Одного сионофильства для высокого рейтинга здесь недостаточно.

[Петров А. М.]

Ф.Ф. Менде: «...Вопрос, который касается математической схоластизации физики, касается введения в курсе Ландау лагранжиана движущегося заряда и его обобщённого импульса.
Мало того, что  лагранжиан можно ввести только для консервативной системы, а система таковой не является, поскольку заряд движется в поле векторного потенциала и таким образом в обязательном порядке оказывает влияние на это поле. Так, вдобавок к этому, в лагранжиане перепутана потенциальная и кинетическая энергия, а сам лагранжиан вводится не понятно из каких физических соображений, т.е. просто угадан, да ещё и с ошибками».
В.А.Кулигин: «Философии естествознания и физике необходимо вернуть ЛОГИКУ и ЗДРАВЫЙ СМЫСЛ».. http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/10188.html

Лагранжев формализм (как конкретная математическая реализация принципа наименьшего действия) естественным образом перенесён в электродинамику из теоретической механики. Но как он появился и что, на самом деле, собой представляет? Приведём на этот счёт развёрнутую цитату, подтверждающую обоснованность нижеследующей критики.

[Петров А. М.]

И.З.Цехмистро, В.И.Штанько и др. «КОНЦЕПЦИЯ ЦЕЛОСТНОСТИ». – Харьков: Изд-во Харьковского гос. ун-та, 1987. http://psylib.org.ua/books/koncelo/txt01.htm
«История возникновения понятия действия столь же своеобразна, как и его последующая судьба в физике, нынешнее положение и значение. Впервые оно было сформулировано Г.Лейбницем в 1669 г. в не опубликованном при жизни и оставшемся незавершённым большом произведении. Лейбниц называет действие “actio formalis” и определяет его как величину, мерой которой служит “определённое количество” материи, передвинувшееся на определённое расстояние (при поступательном равномерном движении) в течение определённого времени... Формальные действия движений “пропорциональны... произведению количества материи, расстояний, на которые они передвигаются, и скоростей”. Тут же он даёт и второе определение действия через произведение “движущихся тел, пройденных промежутков времени и квадратов скоростей”. Оба определения являются строго эквивалентными и могут быть выражены как mvs или mv²t, что вполне совпадает с современным пониманием величины действия.
Обращает на себя внимание определение “formalis”, которое Лейбниц прилагает к понятию действия. По-видимому, с помощью данного термина Лейбниц хотел подчеркнуть всеобщность вводимого им понятия и его важность не только для механики, но и для философии… И хотя непосредственная цель, ради которой ему потребовалось ввести понятие действия, остаётся до сих пор не выясненной ввиду незавершённости указанной работы, можно предположить, что Лейбниц хотел использовать свои исследования по механике, связанные с понятием действия, для обоснования выдвинутого им миропонимания. В основу последнего он положил своеобразный вариационный принцип: истинным миром среди всех возможных миров должен быть тот, который одновременно с неизбежным злом содержит в себе максимум добра. Тогда обнаруживаемое механикой устройство природы, исходя из которого во всех её процессах достигается максимум результатов при минимуме действия, должно было бы служить своеобразным естественнонаучным подтверждением этой философской концепции.
Согласно опубликованному С.Кенигом в 1751 г. отрывку из утерянного письма Лейбница, он первым (его письмо датировано 1707 г.) обнаружил, что в истинных движениях физических систем действие может быть как минимальным, так и максимальным. Это в корне подрывало телеологические мотивы его замысла… В свете этого открытия “наилучший из миров” Лейбница с равной степенью вероятности мог оказаться и наихудшим, в котором содержался бы лишь минимум добра при максимуме зла...
 
 
 
 

[Петров А. М.]

Можно предположить, что исторически генезис понятия действия связан с рассмотрением задач о моментах количества движения в поведении простейших механизмов (рычага, винта), в особенности при нахождении условий равновесия для них. Момент количества движения материальной точки относительно некоторого центра равен векторному произведению радиуса-вектора r на её количество движения mv (mvr), что даёт величину, совпадающую с действием по её размерности. Однако поскольку момент количества движения является вектором, физический смысл этих понятий различен. Возможно, что общее изменение, связанное с актом полного опускания или подъёма плеча рычага, могло дать некоторые представления о произведённом действии и побудить к введению соответствующего понятия...
В эпистемологическом отношении эпоха математической разработки принципа наименьшего действия ознаменовалась важным открытием, согласно которому в истинных движениях физических систем действие, чаще всего минимальное, не обязательно должно быть таким, т.е. оно может быть и максимальным. Даже если в отдельных случаях действие не принимает ни максимума, ни минимума, оно обязательно должно отличаться стационарностью. Иными словами, было найдено существенное уточнение признака истинности движения системы: истинной траекторией является та, на которой вариация действия равна нулю. Данный факт непосредственно указывает на стационарный характер действия в реальных процессах, а то, что за ним скрывается (максимум или в отдельных случаях даже не максимум и не минимум), может быть установлено дополнительными исследованиями. В свете этого открытия разнообразные телеологические привески в работах Лейбница, Мопертюи, а также Эйлера оказались излишними, поскольку природа не ставит перед собой никаких целей и не стремится в своём движении ни к максимуму, ни к минимуму действия (правда, удивительным образом всегда следует стационарности действия)…
 Со временем всё большее число физиков сходится во мнении, что в принципе стационарности действия “заключена вся механика” (А.Зоммерфельд), что он есть “высший физический закон”, “венец всей системы” (М.Планк) и т.д. Таким образом, принцип стационарности действия никого не оставляет равнодушным — ни физика, ни математика, ни историка науки, и для этого есть особые причины. Тот факт, что истинное движение системы не всегда совершается с минимумом действия, но имеются случаи максимума данной величины, в корне подрывает телеологическое истолкование принципа наименьшего действия, хотя экстремальный характер действия в истинных движениях не становится менее загадочным, а эпистемологический смысл и основания экстремальности в поведении физических систем остаются столь же непонятными и сегодня. Несмотря на всю исключительность принципа стационарности действия, в настоящее время не существует никаких теоретических разъяснений поразительной успешности и плодотворности его применения, им просто пользуются, ибо реальное движение в физических системах всегда подчиняется ему, а почему — неизвестно.

[Петров А. М.]

…Дифференциальные принципы механики считаются само собою разумеющимися: в каждый момент движущаяся частица испытывает ускорение и ведёт себя в этот момент в соответствии с испытываемым ускорением. Однако, как замечает Р.Фейнман, все наши инстинкты причин и следствий “встают на дыбы”, как только мы переходим к интегральным принципам и обнаруживаем, что уже в момент, непосредственно предшествовавший движению, частица каким-то образом взвешивает все возможные пути движения и выбирает тот из них, на котором движение совершается с минимумом действия. Такой характер поведения частицы непостижим для нашего разума. Иногда от этой трудности пытаются “заслониться” поиском какого-нибудь эквивалентного дифференциального принципа, при котором подобной трудности не возникает. Однако применимость дифференциальных принципов ограничена рамками классической механики, поскольку их выражение всегда связано с определённой системой координат и неинвариантно относительно преобразований этих координат. Релятивистски инвариантную форму можно придать только интегральным вариационным принципам стационарности действия (столь счастливым образом избрана Лейбницем величина действия!). Поэтому в эпистемологическом отношении дифференциальные и интегральные принципы отнюдь не являются эквивалентными, и интегральные принципы заслуживают предпочтения и особого изучения. Но именно интегральные принципы отличаются наибольшей загадочностью и таят в себе наибольшие трудности для осмысления...
Можно смириться с квантовой механикой (которую, по словам Р.Фейнмана, и сегодня никто не понимает), если она позволяет всё понять в классической механике и делает особенно прозрачной её “разумность”, вскрывая основания стационарности действия в природе».

[Петров А. М.]

Приведённый выше текст содержит противоречия, которые, будучи не раскрытыми, затуманивают существо дела.
1.Выяснилось, что «принцип наименьшего действия», означающий в лагранжевом формализме равенство нулю вариации действия, строго говоря, следует называть «принципом наименьшего, наибольшего или стационарного действия». Объединяя в один три разных случая  равенства нулю вариации действия (иначе говоря, не придавая значения принципиальным различиям между минимумом, максимумом и постоянным значением действия), теоретики «делают хорошую мину при плохой игре», убеждая себя и других в том, что они владеют и оперируют всеобщим критерием "разумности действий" Природы. Естественно, действия, не удовлетворяющие этому критерию, признаются «неразумными», Природе не свойственными и поэтому невозможными.
Но исчерпываются ли лагранжевым формализмом все виды «разумных действий» Природы? Прежде всего, не однозначной и субъективной остаётся сама трактовка понятия действия. В разных вариантах при определении этого понятия используются (вступают во взаимодействие) как скалярные, так и векторные величины, для которых единой обобщающей формы представления в понятии действия теоретики не находят. Уже по этой причине ручаться за то, что вне теоретического анализа не остались какие-то важные аспекты движения, нет оснований.
А, кроме того, при введении лагранжева формализма добросовестные исследователи прямо оговаривают условия его корректного применения – только для консервативных голономных систем. В консервативных, т.е. сохраняющих свою энергию, системах нет ни диссипативных потерь, ни поступающей извне энергии. В голономных же системах имеют место лишь геометрические, т.е. зависящие от координат, но не от скоростей и ускорений, связи (неголономные связи тоже допускаются, но только если они поддаются интегрированию и приводятся таким образом к голономным, в чём легко усматривается явный субъективный момент).
С учётом этих, вполне очевидных и достаточно известных, обстоятельств, в новейших курсах теоретической механики как отечественных, так и зарубежных авторов (см., например, http://www.teoretmeh.ru/ и http://www.springer.com/978-3-540-36804-5) лагранжев формализм вводится лишь в завершающих главах и параграфах, представляясь в качестве одного из удобных средств решения динамических задач в тех случаях, когда исследуемые системы поддаются физически и математически корректному представлению в виде консервативных голономных систем.

[Петров А. М.]

А что мы видим, например, в курсе «Механики» Ландау-Лифшица, рекомендованном Министерством образования РФ для студентов физических специальностей университетов и принятом к руководству и неуклонному исполнению ведущими вузами страны, в первую очередь, МГУ имени Ломоносова, который с 1992 года возглавляет профессиональный математик, академик РАН (с 2008 года – вице-президент РАН) В.А.Садовничий?
Сразу скажем, что В.А.Садовничий к первым трём изданиям «Механики» Ландау-Лифшица (1940, 1958 и 1973 гг.) отношения не имеет. Но с 1982 года он является (и по настоящее время остаётся) заведующим кафедрой математического анализа механико-математического факультета (одновременно выполняя с 1982 года обязанности проректора, с 1984 года – первого проректора и с 1992 года – ректора) МГУ. Поэтому за ошибки 4-го издания 1988 года и, тем более, 5-го издания 2001, 2004 и 2007 годов указанного курса «Механики», осуществлённых под профессиональным и административным контролем В.А.Садовничего, последний несёт полную, прямую и непосредственную, личную ответственность.
Как ни странно, но в «Механике» Ландау-Лифшица лагранжев формализм вводится с первых же параграфов курса как единственно возможное и универсальное средство решения любых динамических задач. Естественно, для оправдания такого подхода далее осуществляется «насильственная подгонка» реальных задач под случай консервативных голономных систем. В итоге, решение важнейших задач динамики (в первую очередь, об осцилляторе, о вращающемся волчке, кеплеровой задачи) осуществляется с грубыми искажениями их физического смысла и даже с откровенными фальсификациями.
Достаточно сказать, что для осциллятора в режиме резонанса, при гармоническом входном  воздействии F(t) и линейно возрастающей во времени реакции системы х(t), лагранжев формализм оперирует не имеющей физического смысла и реально не существующей величиной «потенциальной энергии системы х(t)F(t)», возрастающей линейно во времени, тогда как реальная энергия осциллятора возрастает во времени по квадратичному закону.
Прецессия волчка, представляющая собой особый вид безынерционного движения, трактуется как обычное «свободное вращение волчка», для которого считается допустимой процедура векторного сложения угловых скоростей прецессии и вращения волчка вокруг своей оси, сопровождаемая абсурдными расчётными формулами.
В кеплеровой задаче открытый внешний энергообмен небесного тела искусственно подгоняется под фиктивный «закон сохранения энергии», в результате чего общая энергия системы принимает физически абсурдные отрицательные значения. К тому же, задача становится аналитически неразрешимой,  доступной лишь машинному счёту.

[Петров А. М.]

2. К достоинствам лагранжева формализма относят применение интегральных методов анализа, якобы имеющих перед дифференциальными методами преимущество ковариантности (независимости от выбора системы координат). Указанная ковариантность достигается применением тензорного исчисления, о чём прямо не говорится и даже скрывается, дабы создать впечатление полной согласованности с законами ньютоновой механики. С этой целью искусственно применяется терминология векторного исчисления там, где уже оперируют не векторами, а тензорами (так, продолжают говорить о первой и второй производных по времени от координат как векторах скоростей и ускорений в трёхмерном пространстве, хотя фактически имеют дело с первой и второй дифференциальными формами, являющимися не векторами, а тензорами). В этом видится сознательное дезинформирование, прежде всего, студенческой аудитории, а затем и научно-технической интеллигенции в целом, имеющее целью скрыть неисправимые пороки лагранжева формализма и как можно дольше удерживать безальтернативно монопольное положение этой методологии  в теоретической физике.
Но, сколь бы долгим ни было полное загадок и тайн ковариантное оперирование виртуальными траекториями и характеристиками движения, приходит время каким-о образом увязать его итоги с дифференциальными методами и характеристиками, имеющими реальный физический смысл. Как этот процесс осуществляется?
Приравнивание вариации действия к нулю приводит к уравнению Лагранжа, в котором фигурируют частные производные от функции Лагранжа по обобщённым координатам и скоростям. То, что, на самом деле, это не производные и не скорости, а 1-дифференциальные формы, не обладающие никаким физическим смыслом, уже никого не интересует. Выдвигается (постулируется) единственное условие: абстрактное манипулирование символами должно завершиться получением дифференциального уравнения в виде ньютонова баланса сил! Никаких усилий для выполнения этого условия не требуется: просто сообщается, что функция Лагранжа и обобщённые координаты заведомо были «угаданы» так, чтобы частные производные от функции Лагранжа по обобщённым координатам и скоростям соответствовали реальным векторным величинам действующих внешних и внутренних сил.
Закономерен вопрос: если реальные силы можно определить с помощью виртуальных интегральных характеристик, то должен существовать и обратный процесс определения интегральных характеристик движения из реального ньютонова силового баланса? Ответ на этот вопрос парадоксален: процесса, обратного по отношению к частному дифференцированию функции Лагранжа, данная методология не предусматривает! Конечно, интегрированием ньютонова баланса мы получаем реальные энергетические характеристики движения, но с виртуальными энергетическими характеристиками лагранжево-гамильтонова формализма (включая функцию Гамильтона, призванную представлять энергию системы)  они ничего общего не имеют.
Например, для осциллятора лагранжев формализм «угадывает» величину «потенциальной энергии системы» в виде величины xF(t), частным дифференцированием которой по х получают величину внешней силы F(t). Однако обратный процесс получения «потенциальной энергии системы», на основе известной величины внешней силы, лагранжев формализм не предусматривает: эта энергия просто «угадывается» в виде величины xF(t).

[Петров А. М.]

Ясно, что никакого физического смысла эти манипуляции не имеют, поскольку реальная величина поступающей в осциллятор энергии определяется интегралом ∫F(t)dx.
В этом проявляется коренной порок векторно-тензорного математического аппарата, представляющего собой алгебру без векторного деления. Необходимость использования алгебры с делением, казавшаяся на рубеже ХIХ-ХХ веков неактуальной и поэтому полностью проигнорированная тогда теоретиками, обернулась тяжелейшими методологическими издержками на протяжении всего ХХ века.
3. Лишённая передовой методологии, теоретическая физика стала лёгкой добычей научных аферистов, которые вместо решения актуальных научно-технических проблем стали паразитировать на скрытых изъянах лагранжево-гамильтонова формализма. К числу самых заметных научных афёр ХХ века, тяжкие последствия которых ещё долгое время предстоит преодолевать, относятся обе, противоречащие друг другу и вместе – здравому смыслу,  теории относительности Эйнштейна. В них широко представлены допускаемые лагранжево-гамильтоновым формализмом, но физически не контролируемые, частные производные (фактически представляющие тензорные операции) дифференцирования скалярных величин по векторам (например, знергии – по скорости), результатом которых выступают якобы векторные (на самом деле, тензорные) величины и т.д.
В настоящее время характерная для лагранжева формализма абсолютизация законов сохранения энергии встаёт реальной преградой на пути развития альтернативных видов энергетики (в частности, вихревой и гравитационной) и транспорта (включая системы безопорного движения). Методологически порочной оказывается процедура суммирования конечной величины энергии динамической системы с бесконечно большой энергией внешнего источника в некую единую величину на основе абстрактного (в данном случае, абсурдного) «закона сохранения энергии», якобы препятствующего накоплению динамической системой ничем (кроме технологических возможностей) не ограниченных количеств энергии из внешних источников в резонансном режиме. В частности, постоянное по направлению в пространстве внешнее гравитационное воздействие может автоматически преобразовываться в переменное для данной динамической системы за счёт собственного вращения самой системы. При настройке внутреннего колебательного процесса в резонанс с частотой вращения системы и благодаря сочетанию инерционного и безынерционного видов движения величина поступающей в систему гравитационной энергии может значительно превышать внутренние затраты на поддержание требуемого резонансного процесса и, следовательно, обеспечивать выполнение динамической системой полезной работы.
Естественно, уже давно назревшему новому этапу научно-технической революции должна предшествовать коренная методологическая модернизация теоретической физики.

[Herodotus]

Вот за что я люблю альтов, так это за умение не просто сесть в лужу, а сначала её напустить, а потом поплескаться. В данном случае автор заявляет:

в новейших курсах теоретической механики как отечественных, так и зарубежных авторов (см., например, http://www.teoretmeh.ru/ и http://www.springer.com/978-3-540-36804-5) лагранжев формализм вводится лишь в завершающих главах и параграфах, представляясь в качестве одного из удобных средств решения динамических задач в тех случаях, когда исследуемые системы поддаются физически и математически корректному представлению в виде консервативных голономных систем,

воображая, что это каким-то образом поддерживает его фантазии на тему того, как плохой лагранжев формализм мешает развивать вечные двигатели и безопорное движение.

К сожалению, автор явно не ознакомился с содержанием цитируемых источников. (1) - курс лекций по "теоретической механике для студентов очной и заочной форм обучения инженерных специальностей", (2) "Basic Theoretical Physics" - "This concise treatment ... summarizes the material that every graduate student, physicist working in industry, or physics teacher should master during his or her degree course." ("Основы теорфизики" - "Этот краткий курс ... подытоживает материал, которым каждый старшекурсник/аспирант, физик, работающий в промышленности, или учитель физики должен овладеть в процессе обучения." Как видим, автор не в состоянии отличить "новейший курс теоретической механики" от учебника для инженеров или обзорного курса для учителей. Поэтому не будем принимать всерьёз и его догадки о том, почему лагранжев формализм не был использован в них более широко. Просто-напросто каждая из этих книг рассчитана на свою аудиторию (в которой, будем надеяться, не окажется слишком много А.М. Петровых).