В Генеральную Прокуратуру Российской Федерации (проект)

[aid]

Формула (2.129) (изд. 1978 г., с.109) определяет «потенциальную энергию системы как сумму её потенциальной энергии во внешних полях и внутренней потенциальной энергии».
Последняя в нашем случае задана в виде «энергии сжатой пружины» kx²/2. А вот никакой «потенциальной энергии во внешних полях» в нашей задаче нет. Дана внешняя сила F(t), которую Ландау и Лифшиц почему-то хотят подменить неким «эквивалентом» в виде фиктивной «дополнительной потенциальной энергии системы -хF(t)».

 Для потенциальных сил без разницы, описываем мы ситуацию через силы или через энергии. Можно точно также сказать, что нет никакой потенциальной энергии kx²/2, а есть сила F_х=-kx. Вот какая разница - говорить, что есть силовое поле F(t)=A*Sin(Wt) или есть потенциальное поле U(x,t)=-x*A*Sin(Wt)? Нет, также, как нет разницы - говорить - есть силовое поле  F_x=-kx  или есть потенциальное поле kx²/2. Это эквивалентно, учитывая связь силового поля и поля потенциальных энергий. Странно, что такое надо объяснять

Для чего это делается? Вовсе не для поиска адекватного решения задачи об осцилляторе, ибо такое решение уже дано ньютоновым балансом сил.

Естественно. Любую задачу механики в принципе можно решить ньютоновским балансом сил. И задача об осцилляторе дана просто для иллюстрации, т.к. очень удобно и методически полезно рассматривать новый способ решения задачи, решение которой старым способом хорошо знакомо. В частности полезно показать, что из ф. (2.132) с потенциальной энергией -хF(t) следует баланс энергий в виде изменение энергии равно работе внешних сил, если в энергию включить сумму кинетической энергии и кх²/2.

А для того, чтобы оправдать применение лагранжево-гамильтонова формализма, который якобы способен и для открытой системы дать решение «не хуже», даже если авторам приходится для этого откровенно «мухлевать» (интегрируя внешнюю силу не по реальному пути движения системы, а по абстрактной независимой переменной) в расчёте на то, что никто не заметит совершаемого ими подлога…

Ну так скажите, что Ольховский тоже врет - применяет ф. 2.132 к открытым системам. Или до Вас и впрямь не доходит, что энергия mv²/2+kx²/2 -xF(t) у ЛЛ - это частный случай 2.130, записанной для открытых систем?

Ну, а формула (2.132) для мощности системы (производной по времени от энергии) к теме нашего разговора никакого отношения не имеет.

Здрасте- приехали. Вы же всю дорогу рассказываете про энергетический баланс, который означает, что приращение энергии равно работе внешних сил. А приращение энергии в единицу времени равно мощности внешних сил. Для открытой системы приращение энергии в единицу времени равно частной производной от энергии по времени плюс мощность диссипативных сил. Это именно случай вынужденных колебаний при наличии сопротивления.

[Петров А. М.]

aid:
Вот какая разница – говорить, что есть силовое поле F(t)=A*Sin(Wt) или есть потенциальное поле U(x,t)=-x*A*Sin(Wt)? Нет, так же, как нет разницы – говорить – есть силовое поле  F=-kx  или есть потенциальное поле kx²/2. Это эквивалентно, учитывая связь силового поля и поля потенциальных энергий. Странно, что такое надо объяснять…
Ну, так скажите, что Ольховский тоже врёт – применяет ф. (2.132) к открытым системам. Или до Вас и впрямь не доходит, что энергия mv²/2+kx²/2–xF(t) у ЛЛ – это частный случай ф. (2.130), записанной для открытых систем?
…Для открытой системы приращение энергии в единицу времени равно частной производной от энергии по времени плюс мощность диссипативных сил. Это именно случай вынужденных колебаний при наличии сопротивления.

По-моему, это уже «ни в какие ворóта …».
«Потенциальная энергия (от латинского potentia – возможность) определяется взаимным расположением тел или частей  тела, т.е. расстояниями между ними»
(http://www.edu.delfa.net/CONSP/meh13.htm).
Совершенно естественно, сила упругости «пружины», зависящая от координаты, F=-kx, путём интегрирования по этой же координате преобразуется в потенциальную энергию kx²/2. Но внешняя сила F(t)=A*Sin(Wt) связана с координатой х(t), как реакцией системы на это внешнее воздействие, более сложной функциональной зависимостью, которая становится известной только после решения задачи на основе ньютонова баланса сил, но никак не ранее. Поэтому так называемое «поле» U(x,t), во-первых, никакое не «потенциальное» (т.е. не представляющее потенциальную энергию системы), а, во-вторых, в качестве работы внешней силы, определяется интегрированием по х(t), т.е. имеет вид ∫F(t)dx=∫F(t)v(t)dt. «Перехитрить» (в смысле – обмануть) можете только простачков, слепо верящих «научным авторитетам». Но время, когда им верили «на слово», уже прошло!
Формула (2.132) у Ольховского имеет словесное выражение: «полная производная механической энергии системы по времени равна сумме частной производной потенциальной энергии системы во внешних полях по времени и мощности диссипативных внутренних и внешних сил, действующих на точки системы».
Она используется автором для того, чтобы, приравняв это выражение нулю, получить «закон сохранения механической энергии системы». Какое отношение это имеет к нашему случаю? Нет в нашем примере ни диссипативных сил, ни закона сохранения механической энергии системы. Опять пытаетесь «схитрить», оппонент?!
Ещё один отвлекающий манёвр – перевод разговора на тему «приращения энергии в единицу времени». Умножайте ньютонов силовой баланс на скорость v(t), и получайте баланс мощностей! Но ведь таковой вычисляется тоже только после решения задачи, когда становятся известны величины х(t) и v(t) как функции времени. Следовательно, составление баланса мощностей тоже находится вне компетенции лагранжево-гамильтонова формализма.
А вот об «энергии mv²/2+kx²/2–xF(t) у ЛЛ» – прошу поподробнее! Это ведь не что иное, как  «изуродованный гамильтониан» по Ландау-Лифшицу, в то время как гамильтониан по Ольховскому и другим авторам, не пытающимся обмануть читателей, должен был бы иметь вид «mv²/2+kx²/2–∫F(t)dx=0» (или =const, при ненулевом начальном уровне энергии в системе) и называться «нулевым энергетическим балансом системы».
Не уходите от ответственности за введённую в анализ ЛЛ (не понимаю только, зачем вам так упорно солидаризироваться с научными жуликами?!) математическую и физическую фикцию xF(t)!

[aid]

«Потенциальная энергия (от латинского potentia – возможность) определяется взаимным расположением тел или частей  тела, т.е. расстояниями между ними»
Совершенно естественно, сила упругости «пружины», зависящая от координаты, F=-kx, путём интегрирования по этой же координате преобразуется в потенциальную энергию kx²/2. Но внешняя сила F(t)=A*Sin(Wt) связана с координатой х(t), как реакцией системы на это внешнее воздействие, более сложной функциональной зависимостью, которая становится известной только после решения задачи на основе ньютонова баланса сил, но никак не ранее. Поэтому так называемое «поле» U(x,t), во-первых, никакое не «потенциальное» (т.е. не представляющее потенциальную энергию системы)

Пора отходить от школьных словесных формулировок. См. Ольховского &2.2. определение потенциальных сил.
Сила, явно зависящая не только от положения, но и от времени, также может удовлетворять условию потенциальности (2.19)
(в этом случае сила называется нестационарной потенциальной силой). Тогда выражение (2.20) F = — gradU также имеет место,
а потенциальная энергия определяется по заданной силе интегралом (2.23), причем интегрирование производится при фиксирован-
ном времени.  (вот Вам и "частное интегрирование" прим. aid) Что касается соотношения (2.21) dA =—dU. , то оно не имеет
места.

Т.е. в более общем случае нестационарных полей потенциальная энергия не определяется через работу, а определяется интегралом от силы при фиксированном времени.

Формула (2.132) у Ольховского имеет словесное выражение: «полная производная механической энергии системы по времени равна сумме частной производной потенциальной энергии системы во внешних полях по времени и мощности диссипативных внутренних и внешних сил, действующих на точки системы».
Она используется автором для того, чтобы, приравняв это выражение нулю, получить «закон сохранения механической энергии системы».

Каким образом можно приравнять к нулю выражение, если частная производная потенциальной энергии системы во внешних полях в общем случае отлична от нуля? Что Вы снова приписываете Ольховскому свои фантазии?

 

Какое отношение это имеет к нашему случаю? Нет в нашем примере ни диссипативных сил, ни закона сохранения механической энергии системы. Опять пытаетесь «схитрить», оппонент?!

Потому я и пишу, что наш случай является частным по отношению к более общему случаю, описывемому ф. (2.132). Приравняйте диссипативные силы к нулю и получите, что «полная производная механической энергии системы по времени равна частной производной потенциальной энергии системы во внешних полях». Учитывая при этом, что в механическую энергию при этом включается нестационарная потенциальная энергия, легко получить, что ф.  (2.132) или (2.44) приводит к энергетическому балансу - изменение суммы кинетической энергии и стационарной потенциальной энергии упругих сил равно работе внешней силы.

Ещё один отвлекающий манёвр – перевод разговора на тему «приращения энергии в единицу времени». Умножайте ньютонов силовой баланс на скорость v(t), и получайте баланс мощностей! Но ведь таковой вычисляется тоже только после решения задачи, когда становятся известны величины х(t) и v(t) как функции времени. Следовательно, составление баланса мощностей тоже находится вне компетенции лагранжево-гамильтонова формализма.

Так энергетический баланс доказывается в общем виде - изменение энергии равно интегралу от силы.

А вот об «энергии mv²/2+kx²/2–xF(t) у ЛЛ» – прошу поподробнее! Это ведь не что иное, как  «изуродованный гамильтониан» по Ландау-Лифшицу, в то время как гамильтониан по Ольховскому и другим авторам, не пытающимся обмануть читателей, должен был бы иметь вид «mv²/2+kx²/2–∫F(t)dx=0» (или =const, при ненулевом начальном уровне энергии в системе) и называться «нулевым энергетическим балансом системы».

Это либо ложь, либо непонимание прочитанного. См. ф. (2.35) у Ольховского - это математически полностью эквивалентно случаю нашей задачи - это и есть -xF(t). См. также (2.43) и (2.44).

[Петров А. М.]

Абстрактные рассуждения о чём угодно, только не о сути дела. А суть - в математической, физической и любой иной фиктивности величины -xF(t). Это "оселок", на котором можно проверять работника науки и высшего образования: "человек разумный" или ещё "недопроизошёл"?!
Лично мне уже давно всё ясно: ведь сразу видно, кто заинтересован выяснять истину, а кто "ангажирован" настолько, что заряжен только на её сокрытие и выгораживание жуликов.
Но пусть не надеются, что это зло останется безнаказанным: в  какой-то форме суд над ним состоится!

[aid]

Абстрактные рассуждения о чём угодно, только не о сути дела. А суть - в математической, физической и любой иной фиктивности величины -xF(t).

Вот уж действительно - хоть плюй в глаза. Я же Вам ссылку дал на ф. (2.35) - а это и есть -xF(t). Это непонятно? Я Вам процитировал, что могут быть потенциальные силы, зависящие явно от времени.
Были бы Вы последовательным, Вы бы и Ольховского записали бы в одну банду к ЛЛ, либо признали бы свою ошибку. Но Вы даже не можете понять, что у Ольховского то же самое.

[Herodotus]

Вот уж действительно - хоть плюй в глаза. Я же Вам ссылку дал на ф. (2.35) - а это и есть -xF(t). Это непонятно? Я Вам процитировал, что могут быть потенциальные силы, зависящие явно от времени.
Были бы Вы последовательным, Вы бы и Ольховского записали бы в одну банду к ЛЛ, либо признали бы свою ошибку. Но Вы даже не можете понять, что у Ольховского то же самое.

А я ведь вас предупреждал. Человек и так изуродован кватернионами так, что смотреть неприятно, а вы его пытаетесь дополнительно нагрузить теоретической механикой. Неудивительно, что бедняга издаёт канонический стон затравленного альта: тут тебе и "физическая суть" в противовес "математической абстракции", и "ангажированность", и "сокрытие истины", и "зло будет наказано", и "суд состоится". Бросьте это дело. Пациент неоперабелен.

[Вашкевич Виктор]

Абстрактные рассуждения о чём угодно, только не о сути дела. А суть - в математической, физической и любой иной фиктивности величины -xF(t). Это "оселок", на котором можно проверять работника науки и высшего образования: "человек разумный" или ещё "недопроизошёл"?!
Лично мне уже давно всё ясно: ведь сразу видно, кто заинтересован выяснять истину, а кто "ангажирован" настолько, что заряжен только на её сокрытие и выгораживание жуликов.
Но пусть не надеются, что это зло останется безнаказанным: в  какой-то форме суд над ним состоится!

Товариш Петров!
Вы, вместо того чтоб ясно и корректно показать, что при резонансе энергия
в колебательной системе растет от квадрата роста амплитуды,
зачем-то пустились в риторические лозунги.
Лозунги в математике не работают.

[Вашкевич Виктор]

Вот уж действительно - хоть плюй в глаза. Я же Вам ссылку дал на ф. (2.35) - а это и есть -xF(t). Это непонятно? Я Вам процитировал, что могут быть потенциальные силы, зависящие явно от времени.
Были бы Вы последовательным, Вы бы и Ольховского записали бы в одну банду к ЛЛ, либо признали бы свою ошибку. Но Вы даже не можете понять, что у Ольховского то же самое.

Аид, это Вы Петрова умышленно сбиваете с толку?
Внешняя сила зависит не от времени, а от "добротности контура"
Время там ни при чем.
И Вы правы, и Ольховского следует причислить к банде заговора белогвардейщины.
Не  видеть, что при резонансе энергия системы растет - это надо хотеть.
Этот Ольховский либо дурак, либо заговорщик.

[aid]

Аид, это Вы Петрова умышленно сбиваете с толку?
Внешняя сила зависит не от времени, а от "добротности контура"
Время там ни при чем.

В случае контура имеется переменное напряжение, приложенное к контуру, зависящее от времени.

И Вы правы, и Ольховского следует причислить к банде заговора белогвардейщины.
Не  видеть, что при резонансе энергия системы растет - это надо хотеть.
Этот Ольховский либо дурак, либо заговорщик.

То, что энергия растет, не отрицает ни Ландау, ни Ольховский, ни Петров. Вообще никто не отрицает. Но растет она именно на величину произведенной работы

[ival]

В случае контура имеется переменное напряжение, приложенное к контуру, зависящее от времени.


То, что энергия растет, не отрицает ни Ландау, ни Ольховский, ни Петров. Вообще никто не отрицает. Но растет она именно на величину произведенной работы

Факт работы отрицает Вашкевич, а Ландау, Ольховский, и Петров с aid отрицают прямое участие в работе самого времени. Поэтому кроме наукообразной болтовни здесь ничего разумного не происходит, а куры так и смеются над БАК, ИТЕР, и причими глупостями остепененных дураков.

[комукак]

Факт работы отрицает Вашкевич, а Ландау, Ольховский, и Петров с aid отрицают прямое участие в работе самого времени. Поэтому кроме наукообразной болтовни здесь ничего разумного не происходит, а куры так и смеются над БАК, ИТЕР, и причими глупостями остепененных дураков.

Первым под дверью прокуроа  -  ival

[aid]

Факт работы отрицает Вашкевич, а Ландау, Ольховский, и Петров с aid отрицают прямое участие в работе самого времени. Поэтому кроме наукообразной болтовни здесь ничего разумного не происходит, а куры так и смеются над БАК, ИТЕР, и причими глупостями остепененных дураков.

Я попросил подтвердить байку про кур. А то сильно напоминает один фантастический рассказ про курицу, которая несла золотые яйца

[Вашкевич Виктор]

В случае контура имеется переменное напряжение, приложенное к контуру, зависящее от времени.


То, что энергия растет, не отрицает ни Ландау, ни Ольховский, ни Петров. Вообще никто не отрицает. Но растет она именно на величину произведенной работы

Сам то Вы понимаете, что Вы говорите?

[aid]

Сам то Вы понимаете, что Вы говорите?

Что конкретно?

[Вашкевич Виктор]

Факт работы отрицает Вашкевич, а Ландау, Ольховский, и Петров с aid отрицают прямое участие в работе самого времени. Поэтому кроме наукообразной болтовни здесь ничего разумного не происходит, а куры так и смеются над БАК, ИТЕР, и причими глупостями остепененных дураков.

Ивал, так ты вообще не соображаешь, что читаешь?
Как же это я отрицаю факт работы, если мост под сапогами солдат разрушился?
Отрицать факт свершившейся работы невозможно, спор идет о том, откуда взялась эта работа?

[Петров А. М.]

aid:
См. ф. (2.35) у Ольховского – это математически полностью эквивалентно случаю нашей задачи – это и есть -xF(t)…
Я же Вам ссылку дал на ф. (2.35) – а это и есть -xF(t)…
Но Вы даже не можете понять, что у Ольховского то же самое.

Даже если бы было «у Ольховского то же самое», что у Ландау-Лифшица, то это – вовсе не решающий аргумент в пользу истинности «того же самого». Конечно, Ольховский в своём учебнике «Курс теоретической механики для физиков» (для студентов вузов, обучающихся по специальности «Физика»), применяет (в отличие от Ландау-Лифшица – наряду с другими методами и средствами) методологию лагранжианов-гамильтонианов и, следовательно, векторно-тензорную алгебру со всеми её недостатками. Но посмотрите, как умело он обходит «ловушки» этой ущербной и, в общем-то, давно изжившей себя методологии! По крайней мере, в «§ 6.5. Вынужденные колебания» о лагранжианах-гамильтонианах, ввиду их полной бесполезности для этого раздела, вообще не упоминается: автор сразу представляет силовой баланс колебательной системы в комплексной форме и обычным методом находит амплитудную и фазовую характеристики колебательной системы. Уже по одному этому можно заключить, что у Ольховского  никак  не «то же самое»!
Но оппонент находит-таки у Ольховского  формулу (2.35), «похожую на почерк Ландау-Лифшица»! Ну, хорошо, давайте посмотрим, о чём идёт речь.
Ещё раз бегло пройдёмся по тексту И.И.Ольховского (М.: МГУ, 3-е изд. – 1978).
Сс. 66-70: «Понятие о потенциальных силах тесно связано с понятием о силовом поле… Силовое поле можно задать с помощью напряжённости поля или силы как функций точки пространства… Силу называют потенциальной, если она зависит только от координат… Работа на конечном перемещении точки из положения r0 в положение r1 равна определённому интегралу:
А=–∫dU=U(r0)–U(r1).                                                                       (2.22)
Скалярную функцию U называют потенциальной энергией точки, т.е. энергией, зависящей от расположения точки в потенциальном поле… Потенциальную энергию можно найти по заданной потенциальной силе с помощью неопределённого интеграла:
U=–∫Fdr+С                                                                                       (2.23)
(здесь С – постоянная, определяющая «нулевой уровень»  потенциальной энергии …).
…Сила, явно зависящая не только от положения, но и от времени, также может удовлетворять условию потенциальности (в этом случае она называется  нестационарной потенциальной силой). Тогда … потенциальная энергия определяется по заданной силе интегралом (2.23), причём интегрирование производится при фиксированном времени… Так как свойство (2.22) в этом случае не выполняется, то для определения работы, совершённой на конечном пути, нужно знать закон движения точки, т.е. функцию r(t).
Рассмотрим в качестве примера заряд ℮ в переменном электрическом поле напряжённостью Εcosωt. Направляя ось Ох вдоль вектора Е, согласно (2.23) получим:
U=–℮Εхcosωt+С.                                                                             (2.35)».
На первый взгляд, автор получает формулу (2.35) простым перемножением величин напряжённости Εcosωt, заряда ℮ и координаты х(t)=r(t). Но ведь автор утверждает, что он получил эту формулу путём интегрирования согласно (2.23), подчеркнув, что такое интегрирование выполнить можно лишь тогда, когда задача уже решена, и функция r(t) известна. И это – не пустые слова: автор показывает, как он эту задачу решает и как находит функцию r(t).

[Петров А. М.]

Читаем на с.43:
«…На заряд действует сила
F=℮Εcosωt,
а уравнением движения является уравнение
md²r/dt²=℮Εcosωt.
…В результате интегрирования уравнения найдём
dх/dt=(℮Ε/mω)sinωt+С1,  х=–(℮Ε/mω²)cosωt+С2 …
Подставляя в эти функции t=0 и используя начальные условия …, получим решение для v(t) и r(t) в виде
v(t)=(℮Ε/mω)sinωt,  r(t)= –(℮Ε/mω²)cosωt».
В этих выкладках мы опустили (за ненадобностью и по причине равенства нулю в интересующем нас варианте задачи) выражения для проекций аналогичных функций на оси координат у и z, а начальные условия выбрали так, чтобы движение, в установившемся режиме, начиналось в момент времени  t=0 из крайнего левого (отрицательного) значения координаты, и тогда среднее значение координаты будет в начале координат. Соответственно, в момент t=0 скорость будет равна нулю, а в начале координат достигнет максимума.
Теперь выполним интегрирование согласно формуле (2.23):
U=–∫Fdr+С=–∫Fv(t)dt+С=–∫(℮Εcosωt)(℮Ε/mω)sinωtdt+С=(℮²Ε²/mω²)sin²ωt+С=
=(℮²Ε²/mω²)cos²ωt=[(℮Ε/mω²)cosωt](℮Εcosωt)=–х(t)F(t).
Постоянная С в данном случае выбирается так, чтобы отсчёт выполняемой внешней силой работы начинался с нулевого уровня в начале координат, а максимальных значений величина работы внешней силой достигала при максимальных отклонениях заряда от начала координат. Напротив, скорость движения заряда (и, соответственно, его кинетическая энергия) на максимальных удалениях от начала координат равняется нулю, а в начале координат максимальна. Сумма величины работы внешней силы и кинетической энергии заряда остаётся постоянной.
Баланс мощности, развиваемой внешней силой, и мощности процесса (скорости изменения энергии заряда во времени) имеет вид тождества:
(md²r/dt²)v(t)≡F(t)v(t)=(℮²Ε²/2mω)sin2ωt.
Поскольку в начале координат и при максимальных отклонениях от начала координат одна из двух величин (ускорение или скорость) обращается в ноль, мощность в этих точках равняется нулю, а её изменение происходит с удвоенной частотой.
Итак, подозревать И.И.Ольховского в том, что он такой же научный жулик, как Ландау и Лифшиц, нет никаких оснований!

[aid]

Даже если бы было «у Ольховского то же самое», что у Ландау-Лифшица, то это – вовсе не решающий аргумент в пользу истинности «того же самого».

Да, но последовательным с Вашей стороны было бы причислить их к одной банде.

По крайней мере, в «§ 6.5. Вынужденные колебания» о лагранжианах-гамильтонианах, ввиду их полной бесполезности для этого раздела, вообще не упоминается: автор сразу представляет силовой баланс колебательной системы в комплексной форме и обычным методом находит амплитудную и фазовую характеристики колебательной системы. Уже по одному этому можно заключить, что у Ольховского  никак  не «то же самое»!

Ну во-первых, вполне мог бы брать тот же самый подход, а во-вторых, имейте в виду, что за исключением простейших случаев типа пружинного или математического маятника в уравнение для силового баланса будут входить обобщенные координаты и обобщенные силы, которые будут получаться опять же из лагранжевого подхода (я приводил пример и Вы соглашались).

…Сила, явно зависящая не только от положения, но и от времени, также может удовлетворять условию потенциальности (в этом случае она называется  нестационарной потенциальной силой). Тогда … потенциальная энергия определяется по заданной силе интегралом (2.23), причём интегрирование производится при фиксированном времени… Так как свойство (2.22) в этом случае не выполняется, то для определения работы, совершённой на конечном пути, нужно знать закон движения точки, т.е. функцию r(t).
Рассмотрим в качестве примера заряд ℮ в переменном электрическом поле напряжённостью Εcosωt. Направляя ось Ох вдоль вектора Е, согласно (2.23) получим:
U=–℮Εхcosωt+С.                                                                             (2.35)».
На первый взгляд, автор получает формулу (2.35) простым перемножением величин напряжённости Εcosωt, заряда ℮ и координаты х(t)=r(t). Но ведь автор утверждает, что он получил эту формулу путём интегрирования согласно (2.23), подчеркнув, что такое интегрирование выполнить можно лишь тогда, когда задача уже решена, и функция r(t) известна. И это – не пустые слова: автор показывает, как он эту задачу решает и как находит функцию r(t).

Я выделил фразы жирным, чтобы показать Ваше передергивание. Работу можно найти, когда задача решена, а не выражение для потенциальной энергии, которое определяется точно также, как в ЛЛ - интегралом в фиксированный момент времени.

[Вашкевич Виктор]

Теперь выполним интегрирование согласно формуле (2.23):
U=–∫Fdr+С=–∫Fv(t)dt+С=–∫(℮Εcosωt)(℮Ε/mω)sinωtdt+С=(℮²Ε²/mω²)sin²ωt+С=
=(℮²Ε²/mω²)cos²ωt=[(℮Ε/mω²)cosωt](℮Εcosωt)=–х(t)F(t).
Постоянная С в данном случае выбирается так, чтобы отсчёт выполняемой внешней силой работы начинался с нулевого уровня в начале координат, а максимальных значений величина работы внешней силой достигала при максимальных отклонениях заряда от начала координат. Напротив, скорость движения заряда (и, соответственно, его кинетическая энергия) на максимальных удалениях от начала координат равняется нулю, а в начале координат максимальна. Сумма величины работы внешней силы и кинетической энергии заряда остаётся постоянной.
Баланс мощности, развиваемой внешней силой, и мощности процесса (скорости изменения энергии заряда во времени) имеет вид тождества:
(md²r/dt²)v(t)≡F(t)v(t)=(℮²Ε²/2mω)sin2ωt.
Поскольку в начале координат и при максимальных отклонениях от начала координат одна из двух величин (ускорение или скорость) обращается в ноль, мощность в этих точках равняется нулю, а её изменение происходит с удвоенной частотой.
Итак, подозревать И.И.Ольховского в том, что он такой же научный жулик, как Ландау и Лифшиц, нет никаких оснований!

Рассмотрим случай механического резонанса, который столетие приводится в школьном учебнике:
по мосту идет рота солдат. Допустим солдаты идут толпой не в ногу.
Рота прошла по мосту, и ничего не произошло и он7и пошли вдаль, вздымая сапогами пыль...
Но допустим они пошли в ногу, и частота шага совпала с собственной частотой колебаний моста.
Мост вошел в резонанс, заходил под ногами солдат ходуном. Налицо  возникновение энергии "ни откуда".
Откуда взялась у моста эта энергия?

Вот это должна показать математика, - математика должна показать возрастание энергии.
Но ни математика  Ландау, ни математика Ольховского этого не показывает.
Значит, одно из двух: либо принятая Ландау и Ольховским математика в принципе не может
показать процесс резонанса, а значит она непригодна для решений проблемы резонанса;
либо вы там запутались в своих закорючках и сами не знаете, что там к чему.

[aid]

«…На заряд действует сила
F=℮Εcosωt,
v(t)=(℮Ε/mω)sinωt,  r(t)= –(℮Ε/mω²)cosωt».
Теперь выполним интегрирование согласно формуле (2.23):
U=–∫Fdr+С=–∫Fv(t)dt+С=–∫(℮Εcosωt)(℮Ε/mω)sinωtdt+С=(℮²Ε²/mω²)sin²ωt+С=
=(℮²Ε²/mω²)cos²ωt=[(℮Ε/mω²)cosωt](℮Εcosωt)=–х(t)F(t).

Во-первых, у Ольховского ясно сказано, и я это подчеркивал, что интегрирование ведется при фиксированном времени. Во-вторых, Вы неправильно проинтегрировали - потеряли двойку в знаменателе. Это принципиально. В данном частном примере движение есть просто гармонические колебания, поэтому ясно, что, как и для случая движения под действием квазиупругой силы будет сохраняться величина mv²/2+kx²/2, а не mv²/2+kx².