Рассмотрим вопрос о наиболее вероятном распределении точек системы по ячейкам пространства. Всякое конкретное распределение определяется заданием чисел заполнения во всех ячейках
n1+ n2 +…. ni+... = N
Обозначим отношение объема i-ой ячейки как v
i, к полному объему занимаемого пространства V, как g
i:
\[ g_i = \frac {v_i}{V} \]
тогда
gi+ gi+…+ gi+… = 1
.
Из теории вероятностей известно, что количество состояний системы из N членов, равно количеству перестановок N!. Но из этого количества должны быть исключены перестановки внутри ячейки, которые есть простые перестановки внутри ячейки n
1!, n
2!, \cdots, n
i!, и т.д. до конца.
Т.о. полное количество перестановок (равное количеству состояний системы) равно:
\[ \frac {N!}{ n_1! n_2! \cdots } \]
Чтобы получить вероятность отдельного распределения, необходимо (опять же из теории вероятности) умножить на вероятность попадания в i-ую ячейку n
i членов системы. Вероятность попадания одного члена системы в i-ую ячейку равна g
i, а вероятность попадания в ту же ячейку уже n
i членов системы уже равна g
ini.
Т.о. вероятность распределения оказывается равной:
\[W = \frac {N!}{n_1! n_2! \cdots n_i!} g_1^{n_1} g_2i^{n_2} \cdots g_i^{n_i} \cdots \]
Применим формулу Стирлинга (для больших чисел, вот для чего надо было, чтобы объем элементарной ячейки был намного больше, чем размеры одного члена системы)
\[ ln (n!) = n (ln (n) – 1) \]
Тогда логарифмируя выражение для W, и приводя подобные члены, получим
\[\ln W = const +n_1 \ln \frac {g_1}{ n_1}+ n_2 \ln \frac {g_2}{n_2} + \cdots \]
Используя метод неопределенных множителей Лагранжа, получим уравнения, опять же при условии, что n
i достаточно велики, чтобы с ними можно было обращаться, как с непрерывными величинами:
\[ \frac {\partial \ln W}{\partial n_1} = \ln \frac {g_1}{n_1} - 1 = \lambda, \frac {\partial \ln W}{\partial n_2} = \ln \frac {g_2}{n_2} - 1 = \lambda, \cdots \frac {\partial \ln W}{\partial n_i} = \ln \frac {g_i}{n_i} - 1 = \lambda \cdots \]
Определяющие искомый максимум
Отсюда следует
\[ \frac {g_1}{n_1} = \frac { g_2}{n_2} = \cdots = e^{\lambda +1} = const\]
или
\[ n_1 = n g_1= n \frac { v_1}{V}, n_2 = n g_2= n \frac {v_2}{V}, \cdots \]
Значит, числа членов системы в отдельных ячейках пропорциональны размерам ячеек.Такой вывод вероятности распределения применял Больцман, желающие проверить, могут с удовольствием прочесть его избранные труды, изданные на русском языке. Желающие опровергнуть, опровергайте то, что написано в учебниках по математике, потом поговорим.
