В механике под импульсом понимают произведение массы частицы на её скорость. Умножая импульс на скорость, получают механическую энергию. В электродинамике, в связи с тем, что заряд имеет массу, также вводится понятие кинетического импульса. Но это не всё. Вводится также понятие обобщённого импульса
\(\vec P = m\vec v + q\vec A\) ,
когда к кинетическому импульсу добавляют произведение заряда на векторный потенциал магнитного поля, в котором движется заряд. Причём даже при незначительных магнитных полях эта добавка значительно превосходит кинетический импульс. Если обобщённый импульс скалярно умножить на скорость
\(\vec v\vec P = m{(\vec v)^2} + q\vec v\vec A\) , (2)
то кинетический импульс даст кинетическую энергию. Скалярное произведение скорости и векторного потенциала также даст энергию, вот только эта энергия оказывается не кинетической, а потенциальной. Вот и получается сборная солянка, когда в состав энергии движущегося заряда входит и кинетическая, и потенциальная энергия. С этим и связано то непонимание физической природы последнего члена в соотношении (2), имеющее место в работе [2].
Мы уже сказали, что запись лагранжиана в форме (1) не удовлетворяет условию консерватизма системы. Это связано с тем, что векторный потенциал, входящий в это соотношение, связан с движением сторонних зарядов, с которыми и взаимодействует движущийся заряд. Изменение скорости заряда, для которого находится лагранжиан, повлечёт за собой изменение скорости этих зарядов, и на это будет потрачена энергия движущегося заряда. Для того, чтобы обеспечить консерватизм системы, необходимо знать энергию взаимодействия движущегося заряда со всеми сторонними зарядами, в том числе и с теми, от которых зависит векторный потенциал. Это можно сделать путём использования скалярно-векторного потенциала [4-7].
Скалярный потенциал \(\varphi (r) \) в точке нахождения заряда определяется всеми окружающими зарядами \({g_j}\) и определяется соотношением:
\(\varphi (r) = \sum\limits_j {\frac{1}{{4\pi \varepsilon }}} \frac{{{g_j}}}{{{r_j}}}\)
Каждый движущийся заряд создаёт в точке наблюдения потенциал [4-7]
\(\varphi '(r,{v_ \bot }) = \varphi (r)ch\frac{{{v_ \bot }}}{c}\) ,
где \({v_ \bot }\) - скорость, направленная нормально к вектору, соединяющему движущийся заряд и точку наблюдения.
Если данную точку пространства окружает какое-то количество движущихся и неподвижных зарядов, то для нахождения скалярного потенциала в заданной точке необходимо произвести суммирование их потенциалов:
\(\varphi '(r) = \sum\limits_j {} \varphi ({r_j})ch\frac{{{v_{j \bot }}}}{c} = \sum\limits_j {} \frac{1}{{4\pi \varepsilon }}\frac{{{g_j}}}{{{r_j}}}ch\frac{{{v_{j \bot }}}}{c}\)
С учётом этого обстоятельством потенциальная часть лагранжиана заряда \(e\) , находящегося в окружении неподвижных и движущихся сторонних зарядов запишется следующим образом:
\(L = - e\sum\limits_j {} \frac{1}{{4\pi \varepsilon }}\frac{{{g_j}}}{{{r_j}}}ch\frac{{{v_{j \bot }}}}{c}\) (3)
В том случае, если заряд \(e\) сам движется относительно выбранной ИСО со скоростью \(v\) , то его лагранжиан, как и ранее, определяется соотношением (1) с той лишь разницей, что в качестве скоростей \({v_{j \bot }}\) берутся относительные скорости зарядов по отношению к заряду и добавляется член, определяющий кинетическую энергию самого заряда. Лагранжиан для малых скоростей при этом принимает вид:
\(L = \frac{{m{v^2}}}{2} - e\sum\limits_j {} \frac{1}{{4\pi \varepsilon }}\frac{{{g_j}}}{{{r_j}}}ch\frac{{{v_{j \bot }}}}{c}\)
Такой подход лишен указанного уже недостатка, т.к. удовлетворяет полному консерватизму системы, поскольку в лагранжиане учтены все взаимодействия заряд с окружающими его зарядами.
По этой теме читайте также [8].
Литература.
1. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М: Мир, 1977.
2. Левич В. Г. Курс теоретической физики. М: Физматгиз, 1962. - 696 с.
3. Ландау Л. Д. Лифшиц Е. М. Теория поля. М: Наука, 1988. – 509 с.
4. Менде Ф. Ф. К вопросу об уточнении уравнений элетромагнитной индукции. - Харьков, депонирована в ВИНИТИ, №774-В88 Деп., 1988.
5. Менде Ф. Ф. Существуют ли ошибки в современной физике. Харьков,
Константа, 2003.
6. Mende F. F. On refinement of certain laws of classical electrodynamics, arXiv, physics/0402084.
7. Mende F. F. Conception of the scalar-vector potential in contemporary
electrodynamics, arXiv.org/abs/physics/0506083.
8. Кулигин В.А. Корнева М.В. Обсудим книгу Ландау и Лифшица «ТЕОРИЯ ПОЛЯ»
http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001e/00162877.htm