Дёшево в космос

[Мастеров АВ]

Замечу: Цифра 0,00345 указывает на то:
во сколько раз отличается УСП на полюсах, от УСП на Экваторе.

На Экваторе меньше
(из-за вращения Земли)
на 0,345%

Т.е., если ты весишь 70 кг на Экваторе,
то на Полюсе будешь весить
на четверть кило больше.

[Мастеров АВ]

Формулу можно упростить:
\(\large{\frac{S(r)}{S_o}=e}^{\lambda\left(2\frac{R_e}{r}-0.00345\left(\frac{r}{R_e}+1\right)\right)\left(\frac{r}{R_e}-1\right)}\)


\(\frac{P_{max}}{P_{min}}=\frac{S_{max}}{S_{min}}=\large{e}^{1,55\lambda}=4,7^\lambda\)


Где \(\lambda\) относительная удельная прочность вашего троса
(по отношению к тросу из кевлара, длиной - метр, весом - 10 грамм).

Т.е. \(\lambda=1\) если метровый кусок вашего троса
имеет допустимую нагрузку в тонну.

Если ваш трос выдерживает вдвое большую нагрузку,
то \(\lambda=0,5\)

Для кевлара я брал допустимую нагрузку в 2,5 раза меньшую,
чем нагрузка, при которой трос рвётся.

Я предполагал, что 10-ти грамовый метровый кусок кевларового троса
имеет допустимую нагрузку (страшно подумать) - тонну.
(не верю !)

[Мастеров АВ]

Какой массы будет трос из кевлара ?

Допустим - первый метр троса будет весить 10 грамм.
Тогда (в конце) метр троса будет весить 47 грамм.
Длина троса 35786 км.

Сделаем грубую оценку:
\(\frac{0,01+0,047}{2}3,5786\times 10^7=10^6\) кг (1000 тонн)

Более точный подсчёт даст (процентов на 10) больше.

Лениво, но давйате будем посчитать...
(всё одно - делать нечего)

\(\large{\frac{P(r)}{P_o}=e}^{\lambda\left(2\frac{R_e}{r}-0.00345\left(\frac{r}{R_e}+1\right)\right)\left(\frac{r}{R_e}-1\right)}\)

\(P_o=1\) - вес одной тонны массы на Земле

Ёоо... Так мы это уже посчитали !
Если допустимая нагрузка - тонна, то
нагрузка на трос на ГС орбите - 4,7 тонны.
Следовательно пустой трос будет весить ...
3.7 тонны (а не 100 тонн ?)

Ааа.. понятно !
Масса троса - 1000 тонн,
о из-за того, что гравитация убывает до нуля....
вес куска тороса на ГС орбите = 0, для любой толщины.
Чё та тут не то....

Не верю !
(опять наврал)

Сколько будет весить трос из кевлара ?

Это важно знать, поскольку за пределами ГС орбиты
нужно будет сделать противовес, иначе трос упадёт на Землю.

[Мастеров АВ]

Давайте будем проверять формулу:
\(\large{\frac{S(r)}{S_o}=e}^{kg_oR_e\rho\left(\frac{R_e}{r}-\frac{0.00345}{2}\left(\frac{r}{R_e}+1\right)\right)\left(\frac{r}{R_e}-1\right)}\)
(может тут я наврал ?)

Найдём производную:
\(\frac{d}{dr}\left(\frac{S(r)}{S_o}\right)=\frac{d}{dr}\left(\large{e}^{kg_oR_e\rho\left(\frac{R_e}{r}-\frac{0.00345}{2}\left(\frac{r}{R_e}+1\right)\right)\left(\frac{r}{R_e}-1\right)}\right)\)

\(\frac{d}{dr}\left(\frac{S(r)}{S_o}\right)=kg_oR_e\large{e}^{kg_oR_e\rho\left(\frac{R_e}{r}-\frac{0.00345}{2}\left(\frac{r}{R_e}+1\right)\right)\left(\frac{r}{R_e}-1\right)}\times\\
\times\frac{d}{dr}\left[\left(\frac{R_e}{r}-\frac{0.00345}{2}\left(\frac{r}{R_e}+1\right)\right)\left(\frac{r}{R_e}-1\right)\right]\)

\(\frac{d}{dr}\left(\frac{S(r)}{S_o}\right)=kg_o\rho\large{e}^{kg_oR_e\rho\left(\frac{R_e}{r}-\frac{0.00345}{2}\left(\frac{r}{R_e}+1\right)\right)\left(\frac{r}{R_e}-1\right)}\times\\
\times\left[\frac{R_e}{r}-\frac{0.00345}{2}\left(\frac{r}{R_e}+1\right)+\left(-\frac{R_e^2}{r^2}-\frac{0.00345}{2}\right)\left(\frac{r}{R_e}-1\right)\right]\)

Чему равна скорость изменения сечения троса у поверхности Земли ?
\(\frac{d}{dr}\left(\frac{S(r=R_e)}{S_o}\right)=kg_o\rho\left[1-\frac{0.00345}{2}\left(1+1\right)+0\right]\approx kg_o\rho\)

Я это и ожидал.

Но... Мы можем оценить эту производную
из совсем простых соображений:

Метровый кусок кевларового троса (весом 10 грамм)
держит тонну, а второй кусок метрового троса
держит ту же тонну + 10 грамм первого троса.

Толщина второго троса подрастёт
с коэффициентом \(\frac{1 tonn+10 gramm}{1 tonn}=\frac{10^3+0,01}{10^3}=1+10^{-5}\)

Т.е., каждый следующий метр
(у поверхности Земли) прирастает в сечении
(по отношению к предыдущему) с коэффициентом
\(1,00001\) м^-1

И так...
\(\frac{d}{dr}\left(\frac{S(r=R_e)}{S_o}\right)=kg_o\rho=10^{-5}=0,00001\) м^-1

\(10^{-5}R_e=10^{-5}6,4\times 10^{6}=64\)
Следовательно:
\(\large{\frac{S(r)}{S_o}=e}^{64\left(\frac{R_e}{r}-\frac{0.00345}{2}\left(\frac{r}{R_e}+1\right)\right)\left(\frac{r}{R_e}-1\right)}\)

А в моих формулах фигурирует 2 (вместо 64).

Точно - наврал.

Я не первый раз подсчёты подобные делаю.
Раньше они однозначно указывали:
трос к поверхности Земли опустить нельзя,
или его удельная относительная прочность
должна быть: 32 тонны на 10 грамм метра троса.

[Мастеров АВ]

Что делать ?

Во первых исправим формулы (они у нас для кевларового троса
с допустимой нагрузкой в тонну при 10 граммах метрового куска троса)

Исправленные формулы:
\(\large{\frac{S(r)}{S_o}=e}^{32\left(2\frac{R_e}{r}-0.00345\left(\frac{r}{R_e}+1\right)\right)\left(\frac{r}{R_e}-1\right)}\)

\(\frac{P_{max}}{P_{min}}=\frac{S_{max}}{S_{min}}=\large{e}^{50\lambda}=(3,4754\times 10^{20})^\lambda\)

Нужен материал (такой же лёгкий, как кевлар, но)
прочнее кевлара в 32 раза

Либо...
Не нужно трос опускать до поверхности Земли.
Опустим трос до того места, где УСП
в 32 раза меньше, чем \(g_o\)

Т.е.: \(\frac{R_e^2}{r_1^2}-0.00345\frac{r_1}{R_e}=\frac{1}{32}\)

\(\frac{1}{x^2}-0.00345\ x=\frac{1}{32}\)

\(x^2+0.11\ x^3=32\)

\(x\approx 4,6\)

Т.е., реально трос опустить до высоты 23 000 км (3,6 радиуса Земли)
(примерно на полпути к ГС орбите)

Ниже (чуть чуть) можно, но есть риск - порвётся.

[Pribavkin]

Что делтьа ?

Во первых исправим формулы (они у нас для кевларового троса
с допустимой нагрузкой в тонну при 10 граммах метрового куска троса)

[/size]

Покамест нет смысла рассчитывать трос до синхронной орбиты,
так как нет реального троса.
Кевларовый трос не годится однозначно!
Подойдёт трос из углеродного нановолокна, про который обычно пишут,
что он в 127 раз прочнее самого прочного стального. Хотя есть сайты,
которые пишут, что он в 1000 раз прочнее стального.
Пока проводят исследования с тончайшими нитями из углеродного
нановолокна, но это ещё не трос.
Китайцы делают нити из этого материала длиной 18,5 см.
Есть пара американских фирм, которые, вроде бы, делают
нити длиной 1 км. Но подтверждений этому нет.
Пока идёт разработка технологии изготовления.
Когда трос будет в наличии, то, скорее всего, он будет
секционным по проекту профессора Юрия Садова - этот
трос невозможно разрушить. Если будет перебит один трос
(а вероятность этого весьма мала), то космический лифт не рассыплется,
так как его можно отремонтировать.  

[Мастеров АВ]

Покамест нет смысла рассчитывать трос до синхронной орбиты,
так как нет реального троса.

Чтобы заявлять подобное,
учиться долго не нужно.

Но даже ваш профессор (который учился долго, очень долго,
предлагал трос опускать в атмосферу) не способен
произвести не сложны (для профа) расчёты,
чтобы понять: его фантазии далеко зашли
за рамки здравого смысла.

От учёного требуется ответ на вопрос:
Какую конструкцию мы можем себе позволить
при имеющихся у нас технических возможностях ?

Это тот вопрос, на который я пытаюсь найти ответ.

Подойдёт трос из углеродного нановолокна, про который обычно пишут,
что он в 127 раз прочнее самого прочного стального

Эта цифра получена из расчёта
сравнения тросов одного сечения.

А нужен трос лёгкий и прочный: допустимая нагрузка:
32 тонны при 10 граммах на один погонный метр.

Трос из графеновых нанотрубок какие параметры даст ?

[Pribavkin]

Чтобы заявлять подобное,
учиться долго не нужно.

Но даже ваш профессор (который учился долго, очень долго,
и боле того: предлагал трос опускать в атмосферу)
не способен произвести не сложны (для профа) расчёты,
чтобы понять: его фантазии далеко зашли
за рамки здравого смысла.

Все проекты космического лифта предполагают опускать тросы в атмосферу,
причём намечается закреплять трос именно на судне,
который будет плавать в районе экватора. Это нужно для того случая,
чтобы уводить трос от столкновения с мусором на орбите.
Сейчас МКС тоже уводят в сторону, если возникает угроза столкновения.
Весь смысл закрепления троса на морском судне как раз в том, что трос
можно закрепить на поверхности Земли и это даст возможность
натянуть трос. Японцы намечают протянуть трос на 96 тыс. км, чтобы
этот конец натягивал. Это позволит им запускать нагрузки за счёт
центробежных сил, которые начинают работать после 36 тыс. км.
Американцы предполагают протянуть трос до 200 тыс. км от поверхности
Земли.

[Мастеров АВ]

Все проекты космического лифта предполагают опускать тросы в атмосферу...

Всё ЭТО: фантазии за пределами здравого смысла.

Не сложные (для учёного) расчёты показывают:
нет такого материала для троса, чтобы
воплотить проект в реальности.

Реально трос опустить к Земле
на расстоянии 3 радиус Земли
от поверхности.

Ниже опускать нельзя -
трос порвётся.

[Мастеров АВ]

А если якорь бросить на Луну ?

Если бросить якорь на Землю невозможно даже теоретически,
то (из-за слабой гравитации Луны) якорь можно бросить туда.

На картинке показана гравитация (с учётом ЦСУ)
на отрезке между Землёй (слева) и луной (справа.

Давайте будем посчитать...
Посчитаем УСП на этом отрезке (\(L=384\ 400\) км)
\(R_e=6\ 371 \) км - радиус Земли
\(R_m=1\ 737,1\) км - радиус Луны
\(g_o=9,81\) м/c²-  УСП на Земле
\(g_m=1,62\) м/c²-  УСП на Луне
\(g(r)=g_o\frac{R_e}{r^2}-Ar-g_m\frac{R_m}{(r-L)^2}\) м/c²-  УСП на отрезке
\(Ar\) м/c²-  ЦСУ
\(AL=g_o\frac{R_e^2}{L^2}\) м/c² -  на орбите Лунцы ЦСУ равно притяжению Земли
\(A=g_o\frac{R_e^2}{L^3}\) c^-2

\(g(r)=g_o\frac{R_e^2}{r^2}-g_o\frac{R_e^2}{L^3}r-g_m\frac{R_m^2}{(r-L)^2}\) м/c²-  УСП на отрезке

\(g(r)=\frac{g_oR_e^2}{L^2}\left(\left(\frac{L}{r}\right)^2-\frac{r}{L}\right)-g_m\frac{R_m^2}{L^2(r/L-1)^2}\) м/c²

\(g(r)=\frac{g_oR_e^2}{L^2}\left(\left(\frac{L}{r}\right)^2-\frac{r}{L}\right)-g_m\frac{R_m^2}{L^2}\frac{1}{(r/L-1)^2}\) м/c²

\(\frac{g(r)}{g_o}=\frac{R_e^2}{L^2}\left(\frac{1}{x^2}-x\right)-\frac{g_m}{g_o}\frac{R_m^2}{L^2}\frac{1}{(x-1)^2}\) м/c²


\(\frac{g(r)}{g_o}=2,74694\times 10^{-4}\left(\frac{1}{x^2}-x\right)-0,163648\frac{1}{(x-1)^2}\)

\(x=\frac{r}{L}=\frac{R_e}{L}..\frac{L-R_m}{L}=0,016574\ .. \ 0,99548\)

\(\frac{g(r)}{g_o}=A\left(\frac{1}{x^2}-x\right)-B\frac{1}{(x-1)^2}\)
\(A=2,74694\times 10^{-4}\)
\(B=0,163648\)

[Pribavkin]

   
Сообщение Re: Космические тросовые системы
Отрывок из статьи в журнале США "Популярная механика", 2014 г.:
https://polymus.ru/ru/pop-science/news/ ... hivaetsya/
...Лифт задерживается
14 октября 2014
Чем привязать Луну
«Мы предлагаем использовать уникальное природное обстоятельство — наличие возле Земли массивного природного спутника, постоянно обращенного к нам одной стороной, — объясняет Александр Багров. — Если от Луны до Земли протянуть трос, то под действием земного тяготения он вытянется вдоль оси, соединяющий их центры масс». До самой поверхности планеты эта «привязь» доходить не должна, оставаясь где-нибудь на спокойной высоте, под сотню километров. Подняться на расположенную здесь посадочную платформу можно будет обычными стратосферными самолетами. Дальше груз будет ехать в кабине, причем чем дальше от Земли — тем быстрее, «питаясь» энергией орбитального движения Луны, передаваемой на нее по туго натянутому тросу. Такой трос должен выдерживать вес не только подвижной платформы с грузом, но и свой собственный, причем на разных участках нагрузка эта будет разной. Поэтому толщина троса должна меняться, сперва вырастая быстро, затем медленней, и лишь у Луны становясь постоянной. Расчеты, проведенные Александром Багровым и его коллегами для промышленного кевлара, показали, что трос длиной 384 тыс. км с нижним начальным сечением 2 мм (выдерживает нагрузку 10 т) и верхним 35 км будет иметь массу 1,5 миллиона триллионов тонн. Значит, кевлар не подойдет: нужно нечто и прочнее, и легче. Удельная прочность кевлара на разрыв составляет 2500 кг/мм2. Если б найти материал в 10 раз прочнее, достаточно было бы троса намного меньшей толщины — у Луны он был бы всего в 5,7 раз шире, чем у Земли. А если б еще и плотность его при этом была не слишком выше, чем у воды — скажем, 3 т/м3 — масса троса составила бы всего 100 т. Самое странное, что такой материал есть.

[Мастеров АВ]

Фантазии за пределами здравого смысла это...
Ближе 20 тысяч км к поверхности Земли
(пусть 15 ткм) трос от Луны r Ptvkt
опустить не получится -
гравитация порвёт трос.

И трос  (от Луны до Земли)
очень длинным должен быть -
проблема.

[Мастеров АВ]

Продолжим считать...

\(\frac{1}{S(r)}\frac{dS(r)}{dr}=\frac{g(r)}{g_o}\frac{10 gramm 1 meter}{1 tonn}=10^{-5}\frac{g(r)}{g_o}\) м^-1

\(\frac{1}{S(r)}\frac{dS(r)}{dr}=10^{-5}\frac{g(r)}{g_o}=k\left(A\left(\frac{1}{x^2}-x\right)-B\frac{1}{(x-1)^2}\right)\)

\(k=10^{-5}\)
\(x=\frac{r}{L}=\frac{R_e}{L}..\frac{L-R_m}{L}=0,016574\ .. \ 0,99548\)
\(A=\frac{R_e^2}{L^2}=2,74694\times 10^{-4}\)
\(B=\frac{g_m}{g_o}\frac{R_m^2}{L^2}=0,163648\)

\(\frac{dS(r)}{S(r)}=kL\left(A\left(\frac{1}{x^2}-x\right)-B\frac{1}{(x-1)^2}\right)dx\)

\(\log{S(r)}=kL\left(A\left(-\frac{1}{x}-\frac{x^2}{2}\right)+B\frac{1}{x-1}\right)+C\)

\(\frac{S(r)}{S_o}=EXP\left[kL\left(A\left(-\frac{1}{x}-\frac{x^2}{2}\right)+B\frac{1}{x-1}\right)\right]\)

[Мастеров АВ]

Найдём точку Лагранжа
(в ней толщина троса максимальная)

\(\frac{g(r)}{g_o}=\frac{R_e^2}{L^2}\left(\frac{1}{x^2}-x\right)-\frac{g_m}{g_o}\frac{R_m^2}{L^2}\frac{1}{(x-1)^2}\) =0

\(\left(\frac{1}{x^2}-x\right)(x-1)^2=\frac{g_m}{g_o}\frac{R_m^2}{R_e^2}=0,012276666\)

Точка Лагранжа: 61500 км от Луны
\(x=\frac{384400 - 61500+1737,1}{384400}=0,84453\)

\(\left(\frac{1}{0,849^2}-0,849\right)(1-0,849)^2=0,012275\)

[Мастеров АВ]

Самая большая проблема - длина троса.

Между точкой Лагранжа и Землёй -
четверть миллиона километров,
где УСП = 0.

Как будем противовес тросу делать ?

[Pribavkin]

Самая большая проблема - длина троса.

Между точкой Лагранжа и Землёй -
четверть миллиона километров,
где УСП = 0.

Как будем противовес тросу делать ?

Сначала из точки Лагранжа опускаем трос до Луны и закрепляем его в Луне.
То есть Луна будет противовесом. Такой трос можно строить уже сейчас -
надо 800 млн. долл. и старт 1 ракеты. Материал для троса уже имеется.
Затем наращиваем трос в сторону Земли.
Полагают, что для этого троса нужен
материал прочнее лучшей стали в 50 раз.
Сейчас отрабатывают технологию получения троса из углеродного
нановолокна, который прочнее стали в 127 раз.
Англичане из этих волокон уже ткут ткань, из которой хотят шить
пуленепробиваемые штаны для солдат. Если у них это получится,
то будет развито массовое производство волокон, что удешевит трос.

 

[Мастеров АВ]

Сначала из точки Лагранжа опускаем трос до Луны и закрепляем его в Луне.
То есть Луна будет противовесом.

Нуда-нуда...

Один конец троса ты закрепишь за Луну, а другой его конц
ты закрепишь за "Точку Лагранжа".

Так ?

[Мастеров АВ]

Какой толщины будет трос в Точке Лагранжа ?
\(\frac{S(r)}{S_o}=EXP\left[kL\left(A\left(-\frac{1}{x}-\frac{x^2}{2}\right)+B\frac{1}{x-1}\right)\right]\)
\(x=0,849\)

\(L=384\ 400\) км
\(k=10^{-5}\)
\(A=\frac{R_e^2}{L^2}=2,74694\times 10^{-4}\)
\(B=\frac{g_m}{g_o}\frac{R_m^2}{L^2}=0,163648\)


\(\frac{S(r)}{S_o}=EXP\left[10^{-5}\times 384400\times 10^{3}\left(2,74694\times 10^{-4}\left(-\frac{1}{0,849}-\frac{0,849^2}{2}\right)+0,163648\frac{1}{0,849-1}\right)\right]\)

\(\frac{S(r)}{S_o}=EXP\left[3844\left(2,74694\times 10^{-4}\left(-1,5382568\right)-1,09\right)\right]\)

\(\frac{S(r)}{S_o}=EXP\left[3844\left(-4,2255\times 10^{-4}-1,09\right)\right]\)

Первое слагаемое в экспоненте очень мало (можно пренебречь).
Это слагаемое - влияние Земли, которое почти полностью
компенсируется ЦСУ.

Остаётся только влияние Луны, но
(почему-то) знак отрицательный
(наврал ?)

Иии... Показатель степени ...
Ну очень большой.

[Pribavkin]

Нуда-нуда...

Один конец троса ты закрепишь за Луну, а другой его конц
ты закрепишь за "Точку Лагранжа".

Так ?

Последовательность строительства Лунного Лифта такая:
1. Выводим в точку Лагранжа ракету с зайлоновым тросом.
2. Выпускаем трос в направлении Луны и одновременно сдвигаем центр масс
самой ракеты в сторону Земли. Следим за тем, чтобы центр масс всей системы
оставался в точке Лагранжа.
3. Когда конец троса достигнет поверхности Луны - закрепляем его в грунте.
Для этого можно использовать разные средства. Например, опустить на тросе
буровое устройство.
4. Когда конец троса будет закреплен на Луне - сдвигаем центр масс ракеты к
Земле и натягиваем трос.
5. После этого можно опускать следующие нити троса, доставленные другой ракетой.

[Мастеров АВ]

Последовательность строительства Лунного Лифта такая:
1. Выводим в точку Лагранжа ракету с зайлоновым тросом.
2. Выпускаем трос в направлении Луны и одновременно сдвигаем центр масс
самой ракеты в сторону Земли. Следим за тем, чтобы центр масс всей системы
оставался в точке Лагранжа.

Ещё раз на график посмотри:

На нём видно, сто от Точки Лагранжа (в направлении Земли)
Гравитация практически отсутствует на
протяжении четвертим миллиона км.

(из гравитации вычитается ЦСУ)

Чтобы сделать противовес, груз придётся отпускать
на эти самые четверть миллиона км.

3. Когда конец троса достигнет поверхности Луны - закрепляем его в грунте.
Для этого можно использовать разные средства. Например, опустить на тросе
буровое устройство.
4. Когда конец троса будет закреплен на Луне - сдвигаем центр масс ракеты к
Земле и натягиваем трос.
5. После этого можно опускать следующие нити троса, доставленные другой ракетой.[/size]

Допустим - один погонный метр троса весит 1 грамм.

Сколько будет весить (на Земле) трос,
длинною четверть миллиона км ?
\(250\ 000\ 000\times 0,001 = 250\) тонн

Это - очень (ОЧЕНЬ!) тонкий трос постоянного сечения.
А в точке Лагранжа каким должен быть он должен быть ?
А ведь все четверть миллиона км трос должен быть
таким же толстым, как и в ТЛ.