Дополнительно.
Используя результат решения вычислить траекторию тела брошенного в центрифуге, создающей искусственную гравитацию.
Какая траектория будет при \(\Omega_z → 0\), центрифуга очень большого диаметра и находится в невесомости.
Чтобы применить полученный результат необходимо обратить внимание, что Арнольд записал не все константы в решении, а только необходимые.
Полная версия без учёта центробежной силы действующей на всю локально систему отсчёта запишется так
\(\displaystyle w=e^{-i\Omega_z t} \left(c_1 e^{i \omega t} + c_2 e^{-i \omega t} \right) + c_4~t + c_5\).
В нашем случае \(\omega = 0\), так как у нас свободное движение тела.
Угловая скорость \(\Omega_z \) будет с другим знаком, так как тело вращается вместе с центрифугой, а не качается около плоскости покоящейся в ИСО.
В результате комплексную высоту можно записать так
\(\displaystyle h=c_3~e^{i\Omega_z t} + c_4~t + c_5\).
Дифференцируем уравнение дважды. Полученное ускорение должно быть положительно и иметь значение \(g\) на уровне пола.
Поэтому \(c_3=-R_0 \).
Четвёртая константа, определяет свободное прямолинейное перемещение, связанное с начальными скоростями
\(c_4= i~(\Omega_z (R_0 - h_0)+v_0) \).
Пятая, это координата исходного положения, при \(t=0\) должно быть в остатке \(-h_0\).
Поэтому будет \(c_5=R_0-h_0\). Высота отрицательная так как отсчитывается против радиус вектора.
\(\displaystyle h=-R_0~e^{i\Omega_z t} + i~(\Omega_z (R_0 - h_0)+v_0)~t + (R_0-h_0)\).
Выберем параметры для построения графиков
На графике видно, что на траекторию влияет направление броска.
При большом диаметре центрифуги разница между бросками в разные стороны по направлению вращения будет стремится к нулю.
Кривизна пола будет незаметна. Поле будет практически параллельным. Поэтому траектория тела будет стремится к параболе.
