Маятник Фуко (2)

[Иван Горин]

У Арнольда в книге «Математические методы классической механики» есть такая задача



Решение с большой погрешностью.
Решите задачу точнее при тех же условиях.

Решение в ИСО.
Пока камень летит вертикально вниз до дна шахты, шахта повернётся на угол:
\[\varphi =\Omega t cos\lambda\]
Время падения камня
\[t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\]
Отклонение от вертикали на дне шахты
\[\Delta x=h\varphi =\frac{\pi h}{T}\sqrt{\frac{2h}{g}}\]
T=24*3600 сек
Подставим данные в конечную формулу
\[\Delta x=\frac{\pi h}{T}\sqrt{\frac{2h}{g}}=\frac{250 \pi}{24*3600}\sqrt{\frac{2*250}{9,81}}=0,0649 \,m=6,49\,cm\]

[Ost]

Решение в ИСО.
Пока камень летит вертикально вниз до дна шахты, шахта повернётся на угол:
\[\varphi =\Omega t cos\lambda\]
Время падения камня
\[t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\]
Отклонение от вертикали на дне шахты
\[\Delta x=h\varphi =\frac{\pi h}{T}\sqrt{\frac{2h}{g}}\]
T=24*3600 сек
Подставим данные в конечную формулу
\[\Delta x=\frac{\pi h}{T}\sqrt{\frac{2h}{g}}=\frac{250 \pi}{24*3600}\sqrt{\frac{2*250}{9,81}}=0,0649 \,m=6,49\,cm\]

Да, всё так.
Решение через период Шулера буду публиковать по частям.
Может кто-то и примет участие в этом.

[Ost]

У Арнольда в книге «Математические методы классической механики» есть такая задача



Решение с большой погрешностью.
Решите задачу точнее при тех же условиях.
Использовать период Шулера.
Решая эту задачу будем считать, что ось \(x\) является действительной и проходит вертикально в шахте через центр Земли.
Ось \(y\) мнимая и касательна параллели.

Запишем уравнение неинерциального ускорения для этого случая
\(\displaystyle \vec a=-\left(\frac{\gamma M}{|\vec r|^3} \right) \vec r -2\left[\vec \Omega_z \times \vec v \right] - \left[\vec Ω_z \times \left[\vec Ω_z \times \vec r \right ] \right]\), где

\(\gamma~ -\) гравитационная постоянная;

\(M~-\) масса земли;

\(\vec r ~-\) радиус вектор тела относительно центра земли в НСО;

\(\vec \Omega_z ~-\) угловая скорость вращения земли;

\(\vec v ~-\) скорость тела относительно НСО.
 
Для упрощения, решаем задачу в плоскости экватора и в конце пересчитываем на произвольную широту.

\(\displaystyle \vec a=-\left(\frac{\gamma M}{|\vec r|^3} \right) \vec r -2\left[\vec \Omega_z \times \vec v \right] + Ω_z^2~ \vec r \).

Делаем замену переменной \(\vec r\).

\(\vec r = \vec R + \vec r_q\), где

\(\vec R~-\) постоянный вектор, соединяющий центр Земли и дно шахты;

\(\vec r_q~-\) радиус-вектор камня, исходящий из центра дна шахты.

\(\displaystyle \vec a=-\left(\frac{\gamma M}{{|\vec R+ \vec r_q|}^3} \right) \left(\vec R + \vec r_q \right) -2\left[\vec \Omega_z \times \vec v_q \right] + Ω_z^2 \left(\vec R + \vec r_q \right)\).

\(\displaystyle \vec a=-\left(\frac{\gamma M}{{|\vec R+ \vec r_q|}^3} \right) \vec r_q -2\left[\vec \Omega_z \times \vec v_q \right] + Ω_z^2~ \vec r_q - \left(\frac{\gamma M}{{|\vec R + \vec r_q|}^3} \right) \vec R + Ω_z^2~ \vec R\).

Так как \(R \gg r_g\), с относительной погрешностью по координатам не более \(\displaystyle \left(\frac{R+h}{R} \right)^3 - 1 = 0,000118\)

можно записать

\(\displaystyle \vec a=-\left(\frac{g}{R} \right) \vec r_q -2\left[\vec \Omega_z \times \vec v_q \right] +Ω_z^2~ \vec r_q -\left(\frac{g}{R} \right) \vec R + Ω_z^2~ \vec R\).

\(\displaystyle ω= \sqrt{\frac{g}{R}}\) ; \(\displaystyle ~~T_s= \frac{2 \pi}{\omega} \equiv 84,4~минуты~-\) период Шулера, используется в навигации.

\(\displaystyle \vec a=-(ω^2 -Ω_z^2)~ \vec r -2\left[\vec \Omega_z \times \vec v \right] -(ω^2 -Ω_z^2) \vec R\).

Убрали индекс q, \(r\) уже в определении \(r_q\).

...
 

[Dachnik]

Да, всё так.

Что так?
Пока камень летит вертикально вниз до дна шахты, шахта повернётся на угол:
\( \varphi =\Omega t cos\lambda \)??

На экваторе Земля повернется на угол \( \varphi =\Omega t  \),
а на параллели на другой?

Откуда Горин взял решение с шахтой? Вроде была башня.

Если не учитывать разность скоростей, то камень на дне сместится в другую сторону.

Угловая скорость Земли \( \frac {2pi}{24*3600} \) 1/сек.

У Горина Земля повернется на угол \( 125*\omega*T \)
Ну и что потом?

Все тут не так.

[Ost]

Что так?
Пока камень летит вертикально вниз до дна шахты, шахта повернётся на угол:
\( \varphi =\Omega t cos\lambda \)??

На экваторе Земля повернется на угол \( \varphi =\Omega t  \),
а на параллели на другой?

Откуда Горин взял решение с шахтой? Вроде была башня.

Если не учитывать разность скоростей, то камень на дне сместится в другую сторону.

Угловая скорость Земли \( \frac {2pi}{24*3600} \) 1/сек.

У Горина Земля повернется на угол \( 125*\omega*T \)
Ну и что потом?

Все тут не так.

Не Земля, а шахта повернётся.
На экваторе ось поворота перпендикулярна шахте.
На полюсе ось проходит вдоль шахты.
Есть разница?
И это определяется множителем \(cos(\lambda)\).

[Dachnik]

Не Земля, а шахта повернётся.
На экваторе ось поворота перпендикулярна шахте.
На полюсе ось проходит вдоль шахты.
Есть разница?
И это определяется множителем \(cos(\lambda)\).

Никакой разницы для угла поворота.
И на экваторе и на полюсе угол поворота будет одинаковый.
Радиус поворота на широте 60^о \(cos(\lambda) = 125 метр\).

[tcaplin]

Никакой разницы для угла поворота.И на экваторе и на полюсе угол поворота будет одинаковый.Радиус поворота на широте 60о cos(λ)=125метр cos(\lambda) = 125 метр.

 Вы второй раз наступаете на те же грабли. Угол поворота земли - тот же, а вот шахта на полюсе становится вдоль оси вращения - то есть она поворачивается, но вокруг своей собственной оси.
                     
                  
                     
                     
                     
                        

[Dachnik]

Вы второй раз наступаете на те же грабли. Угол поворота земли - тот же, а вот шахта на полюсе становится вдоль оси вращения - то есть она поворачивается, но вокруг своей собственной оси.

Ну и сколько в метрах будет радиус вращения шахты на той широте?

[tcaplin]

Ну и сколько в метрах будет радиус вращения шахты на той широте?

На 90^о - 0 м. Ось шахты совпадает с осью земли.

[Ost]

Запишем уравнение неинерциального ускорения для этого случая
\(\displaystyle \vec a=-\left(\frac{\gamma M}{|\vec r|^3} \right) \vec r -2\left[\vec \Omega_z \times \vec v \right] - \left[\vec Ω_z \times \left[\vec Ω_z \times \vec r \right ] \right]\), где

\(\gamma~ -\) гравитационная постоянная;

\(M~-\) масса земли;

\(\vec r ~-\) радиус вектор тела относительно центра земли в НСО;

\(\vec \Omega_z ~-\) угловая скорость вращения земли;

\(\vec v ~-\) скорость тела относительно НСО.
 
Для упрощения, решаем задачу в плоскости экватора и в конце пересчитываем на произвольную широту.

\(\displaystyle \vec a=-\left(\frac{\gamma M}{|\vec r|^3} \right) \vec r -2\left[\vec \Omega_z \times \vec v \right] + Ω_z^2~ \vec r \).

Делаем замену переменной \(\vec r\).

\(\vec r = \vec R + \vec r_q\), где

\(\vec R~-\) постоянный вектор, соединяющий центр Земли и дно шахты;

\(\vec r_q~-\) радиус-вектор камня, исходящий из центра дна шахты.

\(\displaystyle \vec a=-\left(\frac{\gamma M}{{|\vec R+ \vec r_q|}^3} \right) \left(\vec R + \vec r_q \right) -2\left[\vec \Omega_z \times \vec v_q \right] + Ω_z^2 \left(\vec R + \vec r_q \right)\).

\(\displaystyle \vec a=-\left(\frac{\gamma M}{{|\vec R+ \vec r_q|}^3} \right) \vec r_q -2\left[\vec \Omega_z \times \vec v_q \right] + Ω_z^2~ \vec r_q - \left(\frac{\gamma M}{{|\vec R + \vec r_q|}^3} \right) \vec R + Ω_z^2~ \vec R\).

Так как \(R \gg r_g\), с относительной погрешностью по координатам не более \(\displaystyle \left(\frac{R+h}{R} \right)^3 - 1 = 0,000118\)

можно записать

\(\displaystyle \vec a=-\left(\frac{g}{R} \right) \vec r_q -2\left[\vec \Omega_z \times \vec v_q \right] +Ω_z^2~ \vec r_q -\left(\frac{g}{R} \right) \vec R + Ω_z^2~ \vec R\).

\(\displaystyle ω= \sqrt{\frac{g}{R}}\) ; \(\displaystyle ~~T_s= \frac{2 \pi}{\omega} \equiv 84,4~минуты~-\) период Шулера, используется в навигации.

\(\displaystyle \vec a=-(ω^2 -Ω_z^2)~ \vec r -2\left[\vec \Omega_z \times \vec v \right] -(ω^2 -Ω_z^2) \vec R\).

Убрали индекс q, \(r\) уже в определении \(r_q\).

Исходное уравнение свели к известным из темы дифференциальным уравнениям.

Решаем дифференциальное уравнение
\(\displaystyle \vec a=-(ω^2 -Ω_z^2)~ \vec r -2\left[\vec \Omega_z \times \vec v \right] -(ω^2 -Ω_z^2) \vec R\).
 
Интегрируем, переходим к комплексной форме
\(\displaystyle r=e^{-i\Omega_z t} \left(c_1 e^{i \omega t} + c_2 e^{-i \omega t} \right) -\frac{1}{2} \left(g- Ω_z^2 R \right)~t^2\).

Переходим к варианту с полуосями маятника
\(\displaystyle r=e^{-i\Omega_z t} \left(a~cos(\omega t) + i~b~sin(\omega t) \right) -\frac{1}{2} \left(g- Ω_z^2 R \right)~t^2\).
 
Дифференцируем и при \(t=0\) находим начальную скорость \(v(0)= \omega b -\Omega_z a\).

Так как \(a = h\), как большая полуось, а \(v(0)=Ω_z~h\), как разность скоростей между дном и поверхностью, можно вычислить \(\displaystyle b=\frac{2 \Omega_z~h}{\omega}\).

С учётом широты
\(\displaystyle r=h~e^{-i\Omega_z t} \left(cos(\omega t)+ i \frac{2 \Omega_z}{\omega} sin(\omega t) \right)cos(\lambda) -\frac{1}{2} \left(g- Ω_z^2 R \right)cos(\lambda)~t^2\).

Обратите внимание, что на малом интервале времени, когда можно пренебречь поворотом, мнимую составляющую этого выражения можно
приблизительно записать как решение в ИСО.

[Иван Горин]

1. Сбросить на лопасть турбины - она завращается.
2. Сбросить на рычаг - он поднимет груз на другом плече.
3. Спустить на тросе через блок - использовать вращение блока.
Надо еще?

Моё решение было в этой теме в 2016 году.
http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=507357.0

[tcaplin]

Моё решение было в этой теме в 2016 году.

Поскольку задача максимизировать КПД не ставилась, это тоже одно из множества решений.
Но можно усложнить условие - как получить наименьшие потери, то есть получить максимум работы. Подсказка - тут придется некоторый механизм соорудить.

[Иван Горин]

Поскольку задача максимизировать КПД не ставилась, это тоже одно из множества решений.
Но можно усложнить условие - как получить наименьшие потери, то есть получить максимум работы. Подсказка - тут придется некоторый механизм соорудить.

Ничего не понял. Какое КПД?
Ладно закончим с этим.
Менде тоже не понял смысл. А Лёхман почти угадал решение.
А как всё просто. Сидим на верху трубы и кидаем в неё кирпичи или гири, и тележка нас везёт. За счёт силы Кориолиса.

[tcaplin]

Ничего не понял. Какое КПД?

Ребята, Вы что, правда не знаете, что такое КПД - коэффициент полезного действия? Мне, технарю, даже в голову такое не приходило...
 Раз уж Вы поставили вопрос об использовании энергии падающего камня, то естественно ее использовать как можно эффективней. Сила Кориолиса намного меньше силы mg, а ее работа будет в квадрате меньше основной работы потенциальной энергии mgh.
Например, в задаче падения камня в шахте сила веса перемещает камень на H=250 м, а сила Кориолиса за то же время t ту же массу - на L=6,5 см.
Имеем:
L=at²/2=0,065
H=gt²/2=250, т.е
a=0,00026g - кориолисово ускорение.
Его работа W_a=maL=6,8*10^-8mgH.
То есть, даже если вам удастся на 100% использовать энергию кориолисовой силы, то она будет составлять 6,8*10^-8 от потенциальной энергии падающего камня. Которую Вы не используете.

[Иван Горин]

Имеем:
L=at²/2=0,065

Откуда вы взяли эту формулу?
Я решал задачу в ИСО. В ИСО есть только ускорение свободного падения. Кориолисого ускорения нет.

[tcaplin]

В ИСО есть только ускорение свободного падения. Кориолисого ускорения нет.

В ИСО и кориолисовых сил нет.
Как только Вы поставили свою "трубу" для использования кориолисовой силы (кстати, полный аналог моего троса, натянутого по оси шахты), движение в ней камня стало неинерциальным. Тогда и возникает сила Кориолиса и соответственно кориолисово ускорение (F_k=ma), ортогональное трубе (оси шахты). Именно это я имел в виду, когда говорил, что можно задачу посчитать и через кориолисову силу. По общей формуле ускоренного движения L=at²/2. Здесь кориолисово ускорение - не исключение. Именно оно "уводит" тело в трубе от свободного прямолинейного полета на величину 6,5 см, рассчитанную нами.

[Иван Горин]

В ИСО и кориолисовых сил нет.
Как только Вы поставили свою "трубу" для использования кориолисовой силы (кстати, полный аналог моего троса, натянутого по оси шахты), движение в ней камня стало неинерциальным. Тогда и возникает сила Кориолиса и соответственно кориолисово ускорение (F_k=ma), ортогональное трубе (оси шахты). Именно это я имел в виду, когда говорил, что можно задачу посчитать и через кориолисову силу.

Ваш трос не полный аналог тележки с трубой. Но сойдёт.

По общей формуле ускоренного движения L=at²/2. Здесь кориолисово ускорение - не исключение. Именно оно "уводит" тело в трубе от свободного прямолинейного полета на величину 6,5 см, рассчитанную нами.

А эта формула не пойдёт. Ускорение a зависит от времени.
Тело в трубе никто не уводит. Тело, падающее в трубе перемещает трубу, которая стоит на тележке.
Вот и задание. Труба с тележкой имеют массу 20 кг.(Конструкция из лёгкой пластики) Ядро или гиря имеет массу 50 кг. Высота трубы 100 м.
Тележка стоит на рельсах, которые имеют направление на восток. Коэффициенты трения покоя и качения колёс о рельсы взять из справочника.
Сверху в трубу кидаем наше ядро. В конце падения оно падает на Землю.
Найти ускорение тележки. И какой путь она пройдёт с момента вброса ядра в трубу до полной остановки.

[Dachnik]

В ИСО и кориолисовых сил нет.

В ИСО Земля и кориолиса и центробежные, это силы инерции.

[Ltlekz49]

В ИСО Земля и кориолиса и центробежные, это силы инерции.

А которая из них ИСО: та, что участвует в суточном вращении Земли, али та, что упёрлась рогами осями в неподвижные звёзды?

[Олег Владимирович Лавринович]

В ИСО Земля и кориолиса и центробежные, это силы инерции.

Кориолиса ,не сила вовсе. Фикция, имеющая размерность силы.  А сила инерции , это сила упругости. Возникает при всех взаимодействиях реальных тел. Не путайте Бисмарка с насморком. А кориолиса, добавочка, для того, чтоб формально описать странности  наблюдения движения свободного тела во вращающейся системе, которую наблюдатель считает покоящейся.