Преобразования координат

[Иван Горин]

Продолжение.
Выведем зависимость угла \(\displaystyle \alpha '\) (угол наблюдения из движущейся системы отсчёта. Это угол видимости,наблюдения) в зависимости от улга \(\displaystyle \alpha \) (угол движения луча света или светового фронта в неподвижной системе. Это угол истиного положения источника света)

Итак ранее мы вывели формулы связи времён

\(\displaystyle t'=\frac{\sqrt{\cos ^2\alpha +\gamma ^2\sin ^2\alpha -2\beta \cos \alpha +\beta ^2}}{\gamma }t\) (1)

Обозначения:
\(\displaystyle \gamma =\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},\ \beta =\frac{v}{c}\)

Преобразуем (1)
\(\displaystyle \frac{t'}{t}=\frac{\sqrt{\gamma ^2\sin ^2\alpha +(\cos \alpha -\beta )^2}}{\gamma }\) (2)

Проекции лучей на ось ординат равны.
\(\displaystyle ct'\sin \alpha '=ct\sin \alpha\)
\(\displaystyle \frac{t'}{t}=\frac{\sin \alpha }{\sin \alpha '}\) (3)

Сравним (2) и (3)
\(\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\sin \alpha '}=\frac{\sqrt{\gamma ^2\sin ^2\alpha +(\cos \alpha -\beta )^2}}{\gamma }\)

\(\displaystyle \sin \alpha '=\frac{\gamma \sin \alpha }{\sqrt{\gamma ^2\sin ^2\alpha +(\cos \alpha -\beta )^2}}\)

\(\displaystyle \tan \alpha '=\frac{\sin \alpha '}{\sqrt{1-\sin ^2\alpha '}}\)
После преобразований получим:
\(\displaystyle \tan \alpha '=\frac{\gamma \sin \alpha}{\cos \alpha -\beta }=\frac{\sqrt{1-\beta ^2}\sin \alpha}{\cos \alpha -\beta }\)

При \(\displaystyle \alpha =90°\)
\(\displaystyle \tan \alpha '=-\frac{\sqrt{1-\beta ^2}}{\beta }\)

[ER*]

При \(\displaystyle \alpha =90°\)
\(\displaystyle \tan \alpha '=-\frac{\sqrt{1-\beta ^2}}{\beta }\)

В СТО будет \( \displaystyle\tan\alpha '=  \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{\beta} \).

А вот Вики:           

(тета = 90°). Полный консенсус. И зачем ты на Вики и СТО наезжал? )) У тебя то же самое. ))

[Иван Горин]

А вот Вики:           

(тета = 90°). Полный консенсус. И зачем ты на Вики и СТО наезжал? )) У тебя то же самое. ))

Не то же самое. Другая формула и другие углы.
У меня по СТО в знаменателе \(\displaystyle \cos \alpha -\beta\)
А что в вики. Искажают математику СТО.

Сравни мои формулы с вики. Сравни мои углы с углами из вики.
Какое соответствие между моими углами \(\displaystyle \alpha \ и  \ \alpha '\) и углами из вики
\(\displaystyle \ \phi \ и \ \theta\)

Я наехал не на математику СТО, а на вики.

[ER*]

Не то же самое. Другая формула и другие углы.

Да, я сейчас заметил у тебя с минусом выражение, а в Вики с плюсом.

статья в Вики: klick mich

Картинка из Вики, наши обозначения углов красные: альфа - угол в неподвижной системе, альфа-штрих - в подвижной.



Вот их формула для фи (альфа-штрих, по нашему)



Мы взяли  тета (альфа, по нашему) = 90°. Звезда над строго головой неподвижного наблюдателя. Значит, выражение принимает вид

\( \displaystyle\tan\phi=\frac{1}{\gamma\beta} \), в наших обозначениях \( \displaystyle\tan\alpha '=\frac{1}{\gamma\beta} \)


Гамма в Вики:       

Получаем то же самое, что и у тебя только с плюсом:  \( \displaystyle\tan\alpha '=  \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{\beta} \)

При \(\displaystyle \alpha =90°\)
\(\displaystyle \tan \alpha '=-\frac{\sqrt{1-\beta ^2}}{\beta }\)

Откуда у тебя минус?
Откуда ты считаешь угол альфа-штрих? Разве не от горизонтали? Нарисуй.

Кроме знака, всё одинаково с Вики. Откуда у тебя взялся минус? ))

[Иван Горин]

Да, я сейчас заметил у тебя с минусом выражение, а в Вики с плюсом.

статья в Вики: klick mich

Картинка из Вики, наши обозначения углов красные: альфа - угол в неподвижной системе, альфа-штрих - в подвижной.



Вот их формула для фи (альфа-штрих, по нашему)



Мы взяли  тета (альфа, по нашему) = 90°. Звезда над строго головой неподвижного наблюдателя. Значит, выражение принимает вид

\( \displaystyle\tan\phi=\frac{1}{\gamma\beta} \), в наших обозначениях \( \displaystyle\tan\alpha '=\frac{1}{\gamma\beta} \)


Гамма в Вики:       

Получаем то же самое, что и у тебя только с плюсом:  \( \displaystyle\tan\alpha '=  \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{\beta} \)

Откуда у тебя минус?
Откуда ты считаешь угол альфа-штрих? Разве не от горизонтали? Нарисуй.

Кроме знака, всё одинаково с Вики. Откуда у тебя взялся минус? ))

Здесь правильные выводы и обозначения углов.
https://ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D0%B2%D0%B5%D1%82%D0%B0

[ER*]

Здесь правильные выводы и обозначения углов.
https://ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D0%B2%D0%B5%D1%82%D0%B0

По твоей ссылке опечатка.



Они перепутали штрихи и не штрихи, опечатка. А так, то же самое, что и я тебе давал статья в Вики: klick mich

1:1

P.S. Ты так и не ответил откуда у тебя минус взялся? ))

[Иван Горин]

По твоей ссылке опечатка.



Они перепутали штрихи и не штрихи, опечатка. А так, то же самое, что и я тебе давал статья в Вики: klick mich

1:1

P.S. Ты так и не ответил откуда у тебя минус взялся? ))

В этой работе они ничего не перепутали. Из моей формулы получается в точности их формула. Простая тригонометрия.
У меня и в этой работе углы без штрихов - истиное направление на звезду (по твоему это угол фи), то есть угол в неподвижной системе. Со штрихами видимое направление на звезду, угол в штрихованной системе (по твоему это угол тета).
Не все в вики ложь. Надо доверять, но проверять. В данной работе все верно.

Откуда минус. Ты мои выводы видел?
Если не понял, могу привести более простой вариант вывода ПЛ для произвольного направления луча света.

[ER*]

В этой работе они ничего не перепутали.

Давай проверим. Вот что они пишут:

Пусть инерциальная система отсчёта S' движется со скоростью v относительно системы отсчёта S. Обозначим через \( \displaystyle \theta \)  угол в системе S между направлением распространения света и скоростью v. Аналогичный угол в системе S' обозначим через \( \displaystyle \theta ' \).

ОК. Берём угол \( \displaystyle \theta=90° \) неподвижной системе S (звезда над головой в неподвижной системе S)

Далее они пишут

Связь этих углов описывается формулой аберрации света:

\( \displaystyle \sin \theta =\frac {\sqrt {1-v^2/c^2}\sin \theta '}{1+(v/c)\cos \theta '}
 \)

Подставляем \( \displaystyle \theta=90° \), получаем

\( \displaystyle 1 =\frac {\sqrt {1-v^2/c^2}\sin \theta '}{1+(v/c)\cos \theta '} \)

\( \displaystyle 1 =\frac {(1-v^2/c^2)\sin^2 \theta '}{(1+(v/c)\cos \theta ')^2} \)

\( \displaystyle (1+(v/c)\cos \theta ')^2 =(1-v^2/c^2)(1-\cos^2 \theta ') \)

Далъше можно не смотреть, это квадратное уравнение, где \( \displaystyle\cos \theta ' \) имеет два разных решения. Явно они сделали опечатку, перепутали штриховку, правильно будет так:

\( \displaystyle \sin \theta ' =\frac {\sqrt {1-v^2/c^2}\sin \theta }{1+(v/c)\cos \theta }
 \)

Но, тогда никаких отличий от моей ссылки статья в Вики: klick mich
 
))

[Иван Горин]

Далъше можно не смотреть, это квадратное уравнение, где \( \displaystyle\cos \theta ' \) имеет два разных решения.

А ЕСЛИ ПОСМОТРЕТЬ, то ты получишь мои углы. И два решения. Надо по физическому смыслу выбрать одно решение.
В этой (моей) ссылке математики - корифеи СТО и классики. Сделали все правильно.
И я эти аналогичные выводы сделал независимо от них. Если существует СТО, то искажать ее не надо.
А в работе англичан или американцев, которую ты привел, искажена и СТО, и классика!

[Иван Горин]

После преобразований получим:
\(\displaystyle \tan \alpha '=\frac{\gamma \sin \alpha}{\cos \alpha -\beta }=\frac{\sqrt{1-\beta ^2}\sin \alpha}{\cos \alpha -\beta }\)

Эта формула получена из ПЛ, то есть при условии движущегося источника и неподвижного приемника.
Перейдем в систему неподвижного источника.
Для этого надо поменять местами штрихи и знак скорости.

\(\displaystyle \tan \alpha =\frac{\gamma \sin \alpha'}{\cos \alpha' +\beta }=\frac{\sqrt{1-\beta ^2}\sin \alpha'}{\cos \alpha' +\beta }\)
И получили твою формулу.
Когда будет время, приведу строгий вывод с чертежом.

[Иван Горин]

Кратние пояснения к черетжу.
И - истинное направление на звезду
Н - наблюдаемое направление на звезду
Вектор сt' из векорной суммы сt и vt
Звезда находится на большом удалении от Земли и излучает свет к Земле под одним углом альфа в своей системе.
Вектор ct' движется в неподвижной системе со скоростью v по горизонтали. По гипотезе Лоренца проекция этого вектора сокращается на его корень \(\displaystyle \gamma =\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\)
На чертеже применён также второй постулат Эйнштейна - в любых системах отсчёта скорость света равна скорости света в вакууме.

И переходим к геометрии СТО. Всё из чертежа.
\(\displaystyle x'=ct'\cos \alpha ',\ x=ct\cos \alpha\)
Записывааем уравнение в приекциях на ось абсцисс в неподвижной системе, и учитываем, что в ней x' сокращается на корень Лоренца.
\(\displaystyle \gamma ct'\cos \alpha '=vt+ct\cos \alpha\)
\(\displaystyle \gamma t'\cos \alpha '=t(\beta +\cos \alpha )\)
\(\displaystyle \frac{t'}{t}=\frac{\cos \alpha +\beta }{\gamma \cos \alpha '}\) (1)

Прокции лучей на вертикаль.
\(\displaystyle y=ct\sin \alpha ,\ y'=ct'\sin \alpha '\)
y=y'
\(\displaystyle \frac{t'}{t}=\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha '}\) (2)
Сравним (1) и (2)
\(\displaystyle \frac{\cos \alpha +\beta }{\gamma \cos \alpha '}=\frac{\sin \alpha}{\sin \alpha '}\)
Получаем:
\(\displaystyle \tan \alpha '=\frac{\gamma \sin \alpha }{\cos \alpha +\beta }=\frac{\sqrt{1-\beta ^2} \sin \alpha }{\cos \alpha +\beta }\)

Кто недоволен моими выводами, могут опротестовать.
ER привёл формулы и ссылки без выводов и четрежей. Таким формулам я не доверяю. И пришлось сделать большую работу. Формулы совпали. Но надо делать выводы, а не переписывать у кого-то, не имея понятия о чем речь. И приводить обрывки ux, ux', uy, uy' ,без чертежей. И без понятий, что эти переменные обозначают.

[ER*]

Таким формулам я не доверяю. И пришлось сделать большую работу. Формулы совпали. Но надо делать выводы, а не переписывать у кого-то, не имея понятия о чем речь. И приводить обрывки ux, ux', uy, uy' ,без чертежей. И без понятий, что эти переменные обозначают.

Я тоже всегда против бездумного цитирования. Но, в данном случае, я знал, что формула правильная, и знал, что если всё корректно проделать по ПЛ, то получится именно она. Так и произошло. ))

[ER*]

Кратние пояснения к черетжу.
И - истинное направление на звезду
Н - наблюдаемое направление на звезду
Вектор сt' из векорной суммы сt и vt
Звезда находится на большом удалении от Земли и излучает свет к Земле под одним углом альфа в своей системе.
Вектор ct' движется в неподвижной системе со скоростью v по горизонтали.
По гипотезе Лоренца проекция этого вектора сокращается на его корень \(\displaystyle \gamma =\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\)

В общем, ты, по сути, обошёлся без ПЛ, без перехода из одной системы в другую, а оставался в одной неподвижной системе, ипсользуя сокращения по Фитцжеральду. Тоже можно. )) Но, через ПЛ проще: ))

Пусть система, где твой вектор неподвижен будет нештрихованной, а где подвижен - штрихованной, и пусть вектор в штрихованной системе движется в положительном направлении, тогда ПЛ для движения вектора принимают вид

\( \displaystyle x' = \gamma(x+vt)\;; \)
\( \displaystyle t' = \gamma(t+xv/c^2)\;; \)

\(\displaystyle x'=ct'\cos \alpha ',\ x=ct\cos \alpha\)

Подставим в первое равенство значения \( \displaystyle x' \), \( \displaystyle t' \) из ПЛ:

\( \displaystyle \gamma(x+vt) =c\gamma(t+xv/c^2)\cos \alpha '\;; \)
\( \displaystyle \gamma(x/t+v) =c\gamma(1+(x/t)v/c^2)\cos \alpha '\;; \)

Поскольку \( \displaystyle x/t = \displaystyle c\cos \alpha \), имеем

\( \displaystyle \gamma(c\cos \alpha+v) =c\gamma(1+c\cos \alpha \;v/c^2)\cos \alpha '\;; \)
\( \displaystyle \cos \alpha+\beta =(1+\beta\cos \alpha )\cos \alpha '\;; \)

\( \displaystyle \cos \alpha ' = \frac{\cos \alpha+\beta} {1+\beta\cos \alpha}\;; \) (888)

Получаем:
\(\displaystyle \tan \alpha '=\frac{\gamma \sin \alpha }{\cos \alpha +\beta }=\frac{\sqrt{1-\beta ^2} \sin \alpha }{\cos \alpha +\beta }\;;\) (777)

Очевидно, (777) и (888) абсолютно эквивалентны. Но, через ПЛ было проще. Хотя, наверное, кому как. )) Главное: конечный результат правильный. Ende gut, alles gut.

[ER*]

И ещё советую гамму писать как это принято: 1/"корень Лоренца". В принципе, без разницы, но в научной литературе буква гамма прочно занята под 1/корень.  B последнем случае это вообще не имело значения, гамма всё равно сократилась, но если будешь писать гамма как "корень Лоренца", а не как обратную величину, тебя могут не понятъ. ))

[Иван Горин]

Преобразования Лоренца для произвольного угла.

[Ilya Geller]

Иван, не враг я вам. Но вы признаете что преобразования Лоренца и пространство Минковского — одна и большая ошибка?

[Иван Горин]

Иван, не враг я вам. Но вы признаете что преобразования Лоренца и пространство Минковского — одна и большая ошибка?

Не могу признать. Нет доказательств.
Ждем опыта китайцев. Их луноход на Луне.

[Ost]

Преобразования Лоренца для произвольного угла.
http://f26.ifotki.info/org/91a80a91b44f5ac934971ce4c5f45cb15dd4ce386377356.jpg

Формула \(\displaystyle r'=(r-V~t~cos(\varphi))~\gamma\) не подходит для произвольных координат события.
Это только частный случай для луча света.

В общем случае используется векторный вариант

\(\displaystyle \vec r=\vec r'+(\gamma-1)~\frac{(\vec V \cdot ~\vec r')~\vec V}{V^2}+\gamma~\vec V~t'\);   

\(\displaystyle  t=\left(t'+\frac{\vec V \cdot ~\vec r'}{c^2}\right)~\gamma\).

[Иван Горин]

Формула \(\displaystyle r'=(r-V~t~cos(\varphi))~\gamma\) не подходит для произвольных координат события.
Это только частный случай для луча света.

В общем случае используется векторный вариант

\(\displaystyle \vec r=\vec r'+(\gamma-1)~\frac{(\vec V \cdot ~\vec r')~\vec V}{V^2}+\gamma~\vec V~t'\);   

\(\displaystyle  t=\left(t'+\frac{\vec V \cdot ~\vec r'}{c^2}\right)~\gamma\).

для ВПЛ это общий случай.
У меня такая же формула.
Для модуля r' я сделал вывод для плоскости X Y при z=0
И в общем случае при z не равном нулю модуль вектора r'=ct'  и получится моя формула.
Для прямых преобразований надо поменять знак скорости и штрихи у всех переменных, в том числе и угла альфа.

[Ost]

для ВПЛ это общий случай.
У меня такая же формула.
Для модуля r' я сделал вывод для плоскости X Y при z=0
И в общем случае при z не равном нулю модуль вектора r'=ct'  и получится моя формула.
Для прямых преобразований надо поменять знак скорости и штрихи у всех переменных, в том числе и угла альфа.

Можно записать общий случай и в векторном виде. В формулу ПЛ в векторном варианте

\(\displaystyle \vec r'=\vec r+(\gamma-1)~\frac{(\vec V \cdot ~\vec r)~\vec V}{V^2}-\gamma~\vec V~t\), подставляем \(\vec r=\vec c~t\), тогда

\(\displaystyle \vec r'=\vec r+(\gamma-1)~\frac{(\vec V \cdot ~\vec c)~\vec V~t}{V^2}-\gamma~\vec V~t=\vec r+\left((\gamma-1)~\frac{(\vec V \cdot ~\vec c)~\vec V}{V^2} - \gamma~\vec V \right)~t=\vec r+\left((\gamma-1)~\frac{(\vec V \cdot ~\vec c)}{V^2} - \gamma \right) \vec V~t\).