ПЛ для произвольного угла излучения светового фронта.
Из начала координат движущейся системы, излучается волновой фронт света (короткая вспышка).
Излучение было в момент времени, когда начала координат совпадали.
Световой фронт распростряняется в неподвижной системе во все стороны.
Рассмотрим приём светового фронта в неподвижной точке Р, которая находится под углом альфа по отношению к неподвижной системе. См. чертёж.
Наша задача.
Найти зависимость t' от t.
Используем формулы:
\(\displaystyle x^2+y^2=c^2t^2,\ x'^2+y'^2=c^2t'^2\) (1)
При выводе учитываем:
Проекция вектора ct' на ось OX сокращается на корень Лоренца,относительно неподвижной системы.
Полный вывод не привожу. Хотя он не очень сложный для корифеев в математике. Привожу конечную формулу.
\(\displaystyle t'=\frac{\sqrt{\cos ^2\alpha +\gamma ^2\sin ^2\alpha -2\beta \cos \alpha +\beta ^2}}{\gamma }t\)
Обозначения:
\(\displaystyle \gamma =\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},\ \beta =\frac{v}{c}\)
Сделаем проверку.
1. Движение по горизонтали \(\displaystyle \alpha =0\)
\(\displaystyle t'=\frac{\sqrt{1-2\beta +\beta ^2}}{\gamma }t=\frac{1-\beta }{\gamma }t\)
При \(\displaystyle \alpha =0\), y=y'=0
и из формул (1) следует, что x=ct и x'=ct'
И получаем наши ПЛ при движении по горизонтали.
2. При \(\displaystyle \alpha =90°\)
\(\displaystyle t'=t\frac{\sqrt{\gamma ^2+\beta ^2}}{\gamma }=t\frac{\sqrt{1-\beta ^2+\beta ^2}}{\sqrt{1-\beta ^2}}t=\frac{t}{\sqrt{1-\beta ^2}}\)
