Поле кольцевого магнита

[Ost]

                                                                 Поле кольцевого магнита.

Закон Био — Савара — Лапласа для замкнутого контура с током

\(\displaystyle \vec B(\vec s)=\frac{\mu_0}{4 \pi}\oint \frac{I~[d\vec l \times \vec r]}{|\vec r|^3}=\frac{\mu_0}{4 \pi}\oint \frac{I~[\vec r \times d\vec r]}{|\vec r|^3}=\frac{\mu_0}{4 \pi}\oint \frac{I~[d\vec R \times (\vec s- \vec R)]}{|\vec s- \vec R|^3}=\frac{\mu_0}{4 \pi}\oint \frac{I~[d\vec R \times (\vec s- \vec R)]}{(s^2+R^2-2~(\vec s \cdot \vec R))^\frac{3}{2}}\);   \(\vec r=\vec s-\vec R\),

где \(\mu_0=4 \pi \cdot 10^{-7}\), \(\vec s~-\) координаты точки в поле, \(\vec R~-\) радиус-вектор контура, \(I~-\) ток.

[Ost]

Для частного случая кругового контура с центром в начале координат в плоскости x, y, можно записать

\(\vec R=\vec i~R~cos(\beta)+\vec j~R~sin(\beta)\);

\(d \vec R=(-\vec i~sin(\beta)+\vec j~cos(\beta))~R~d \beta\);

\(\vec s=\vec i~x+\vec j~y+\vec k~z\).

\(\vec s \cdot \vec R=(\vec i~x+\vec j~y+\vec k~z) \cdot (\vec i~R~cos(\beta)+\vec j~R~sin(\beta))=R~(x~cos(\beta)+y~sin(\beta))\).

\([d\vec R \times (\vec s- \vec R)]=[(-\vec i~sin(\beta)+\vec j~cos(\beta))~R~d \beta \times (\vec i~x+\vec j~y+\vec k~z - (\vec i~R~cos(\beta)+\vec j~R~sin(\beta)))]=\)

\(=(\vec i~z~cos(\beta)+\vec j~z~sin(\beta)+\vec k~(R-y~sin(\beta)-x~cos(\beta)))~R~d \beta\).

[Ost]

Магнитное поле кругового контура.

\(\displaystyle B_x=\frac{\mu_0~I~R}{4 \pi} \int \limits_0^{2 \pi} \frac{z~cos(\beta)}{(x^2+y^2+z^2+R^2-2R~(x~cos(\beta)+y~sin(\beta)))^\frac{3}{2}}~ d\beta \);

\(\displaystyle B_y=\frac{\mu_0~I~R}{4 \pi} \int \limits_0^{2 \pi} \frac{z~sin(\beta)}{(x^2+y^2+z^2+R^2-2R~(x~cos(\beta)+y~sin(\beta)))^\frac{3}{2}}~ d\beta \);

\(\displaystyle B_z=\frac{\mu_0~I~R}{4 \pi} \int \limits_0^{2 \pi} \frac{R-y~sin(\beta)-x~cos(\beta)}{(x^2+y^2+z^2+R^2-2R~(x~cos(\beta)+y~sin(\beta)))^\frac{3}{2}}~ d\beta \).


-------------------------------------
Рассмотрим уравнения в координатах широта-долгота.

\(z=r~sin(\varphi)\)
\(y=r~cos(\varphi)~sin(\theta)\)
\(x=r~cos(\varphi)~cos(\theta)\)
Где
\(\varphi~-\) широта;
\(\theta~-\) долгота.

\(\displaystyle B_z=\frac{\mu_0~I~R}{4 \pi} \int \limits_0^{2 \pi} \frac{R-r~cos(\varphi)~sin(\theta)~sin(\beta)-r~cos(\varphi)~cos(\theta)~cos(\beta)}{(r^2~cos(\varphi)^2~cos(\theta)^2+r^2~cos(\varphi)^2~sin(\theta)^2+r^2~sin(\varphi)^2+R^2-2R~(r~cos(\varphi)~cos(\theta)~cos(\beta)+r~cos(\varphi)~sin(\theta)~sin(\beta)))^\frac{3}{2}}~ d\beta \).

\(\displaystyle B_z=\frac{\mu_0~I~R}{4 \pi} \int \limits_0^{2 \pi} \frac{R-r~cos(\varphi)~(sin(\theta)~sin(\beta)+cos(\theta)~cos(\beta))}{(r^2+R^2-2R~r~cos(\varphi)(cos(\theta)~cos(\beta)+sin(\theta)~sin(\beta)))^\frac{3}{2}}~ d\beta \).

\(\displaystyle cos(\beta-\theta)=cos(\beta)~cos(\theta)+sin(\beta)~sin(\theta)\).

\(\displaystyle B_z=\frac{\mu_0~I~R}{4 \pi} \int \limits_0^{2 \pi} \frac{R-r~cos(\varphi)~cos(\beta-\theta)}{(r^2+R^2-2R~r~cos(\varphi)~cos(\beta-\theta))^\frac{3}{2}}~ d\beta \).

Для кругового контура в силу симметрии будет (угол начала обхода контура можно взять нулевым)

\(\displaystyle B_z=\frac{\mu_0~I~R}{4 \pi} \int \limits_0^{2 \pi} \frac{R-r~cos(\varphi)~cos(\beta)}{(r^2+R^2-2R~r~cos(\varphi)~cos(\beta))^\frac{3}{2}}~ d\beta \).

\(\displaystyle B_y=\frac{\mu_0~I~R}{4 \pi} \int \limits_0^{2 \pi} \frac{z~sin(\beta)}{(r^2+R^2-2R~r~cos(\varphi)~cos(\beta))^\frac{3}{2}}~ d\beta \).

\(\displaystyle B_x=\frac{\mu_0~I~R}{4 \pi} \int \limits_0^{2 \pi} \frac{z~cos(\beta)}{(r^2+R^2-2R~r~cos(\varphi)~cos(\beta))^\frac{3}{2}}~ d\beta \).

[Ost]

Магнитное поле однородно намагниченного цилиндрического магнита.

\(\displaystyle B_{xm}(x,y,z,R,h)=\frac{\mu_0~I~R}{4 \pi~h} \int \limits_0^{2 \pi} \int \limits_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} \frac{(z+l)~cos(\beta)}{(x^2+y^2+(z+l)^2+R^2-2R~(x~cos(\beta)+y~sin(\beta)))^\frac{3}{2}}~ d l~d\beta \);

\(\displaystyle B_{ym}(x,y,z,R,h)=\frac{\mu_0~I~R}{4 \pi~h} \int \limits_0^{2 \pi} \int \limits_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} \frac{(z+l)~sin(\beta)}{(x^2+y^2+(z+l)^2+R^2-2R~(x~cos(\beta)+y~sin(\beta)))^\frac{3}{2}}~dl~ d\beta \);

\(\displaystyle B_{zm}(x,y,z,R,h)=\frac{\mu_0~I~R}{4 \pi~h} \int \limits_0^{2 \pi} \int \limits_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}} \frac{R-y~sin(\beta)-x~cos(\beta)}{(x^2+y^2+(z+l)^2+R^2-2R~(x~cos(\beta)+y~sin(\beta)))^\frac{3}{2}}~dl~d\beta \), где \(h~-\) высота магнита.

[Ost]

Вычисляем интегралы по \(dl\)

\(\displaystyle B_{xm}(x,y,z,R,h)=\frac{\mu_0~I~R}{4 \pi~h} \int \limits_0^{2 \pi}  \frac{(\sqrt{x^2+y^2+(z+l)^2+R^2-2R~(x~cos(\beta)+y~sin(\beta))}-(z+l))~cos(\beta)}{(z+l)\sqrt{x^2+y^2+(z+l)^2+R^2-2R~(x~cos(\beta)+y~sin(\beta))}-(x^2+y^2+(z+l)^2+R^2-2R~(x~cos(\beta)+y~sin(\beta)))} \Bigg \bracevert_{l=-\frac{h}{2}}^{l=~~\frac{h}{2}}~d\beta \).

\(\displaystyle B_{ym}(x,y,z,R,h)=\frac{\mu_0~I~R}{4 \pi~h} \int \limits_0^{2 \pi} \frac{(\sqrt{x^2+y^2+(z+l)^2+R^2-2R~(x~cos(\beta)+y~sin(\beta))}-(z+l))~sin(\beta)}{(z+l)\sqrt{x^2+y^2+(z+l)^2+R^2-2R~(x~cos(\beta)+y~sin(\beta))}-(x^2+y^2+(z+l)^2+R^2-2R~(x~cos(\beta)+y~sin(\beta)))} \Bigg \bracevert_{l=-\frac{h}{2}}^{l=~~\frac{h}{2}}~d\beta \).

\(\displaystyle B_{zm}(x,y,z,R,h)=\frac{\mu_0~I~R}{4 \pi~h} \int \limits_0^{2 \pi} -\frac{R-y~sin(\beta)-x~cos(\beta)}{(z+l)\sqrt{x^2+y^2+(z+l)^2+R^2-2R~(x~cos(\beta)+y~sin(\beta))}-(x^2+y^2+(z+l)^2+R^2-2R~(x~cos(\beta)+y~sin(\beta)))}\Bigg \bracevert_{l=-\frac{h}{2}}^{l=~~\frac{h}{2}}~d\beta \).

[Ost]

Для кольцевого магнита

Обозначим \(R_2~-\) внешний радиус кольца, \(R_1~-\) радиус дырки, тогда для кольцевого магнита можно записать

\(B_{xkm}(x,y,z,R_2,R_1,h)=B_{xm}(x,y,z,R_2,h) - B_{xm}(x,y,z,R_1,h)\);

\(B_{ykm}(x,y,z,R_2,R_1,h)=B_{ym}(x,y,z,R_2,h) - B_{ym}(x,y,z,R_1,h)\);

\(B_{zkm}(x,y,z,R_2,R_1,h)=B_{zm}(x,y,z,R_2,h) - B_{zm}(x,y,z,R_1,h)\).

[Ost]

Код: [Выделить]

                                                                      \
                                                           (*Поле \
кольцевого магнита.*)

\[Mu] = 4 \[Pi] 10^-7;
Ic = 1000000; (*Ток*)
R1 = 0.3;           (*Внутренний радиус магнита*)
R2 = 0.4;           (*Внешний радиус магнита*)
a = 0.7;             (*Диапазон рисунка по вертикали*)
b = 0.8;            (*Диапазон изображения по горизонтали*)
h = 0.3;            (*Высота магнита*)
c = a/b;          (**)
F1[x_, y_, z_, R_, \[Beta]_, l_] := (
  Sqrt[x^2 + y^2 + (z + l)^2 + R^2 -
    2 R (x Cos[\[Beta]] + y Sin[\[Beta]])] - (z + l))/((z + l) Sqrt[
    x^2 + y^2 + (z + l)^2 + R^2 -
     2 R (x Cos[\[Beta]] + y Sin[\[Beta]])] - (x^2 + y^2 + (z + l)^2 +
      R^2 - 2 R (x Cos[\[Beta]] + y Sin[\[Beta]])));

F2[x_, y_, z_, R_, \[Beta]_, l_] := -(
   1/((z + l) Sqrt[
     x^2 + y^2 + (z + l)^2 + R^2 -
      2 R (x Cos[\[Beta]] + y Sin[\[Beta]])] - (x^2 +
      y^2 + (z + l)^2 + R^2 - 2 R (x Cos[\[Beta]] + y Sin[\[Beta]]))));

Bxm[x_, y_, z_, R_, h_] := ( \[Mu] Ic R)/(4 \[Pi] h)
    NIntegrate[(F1[x, y, z, R, \[Beta], h/2] -
       F1[x, y, z, R, \[Beta], -(h/2)]) Cos[\[Beta]], {\[Beta], 0,
     2 \[Pi]}];
Bym[x_, y_, z_, R_, h_] := ( \[Mu] Ic R)/(4 \[Pi] h)
    NIntegrate[(F1[x, y, z, R, \[Beta], h/2] -
       F1[x, y, z, R, \[Beta], -(h/2)]) Sin[\[Beta]], {\[Beta], 0,
     2 \[Pi]}];
Bzm[x_, y_, z_, R_, h_] := ( \[Mu] Ic R)/(4 \[Pi] h)
    NIntegrate[ (F2[x, y, z, R, \[Beta], h/2] -
       F2[x, y, z, R, \[Beta], -(h/2)]) (R - y Sin[\[Beta]] -
       x Cos[\[Beta]]), {\[Beta], 0, 2 \[Pi]}];

StreamPlot[{Bxm[x, 0, z, R2, h] - Bxm[x, 0, z, R1, h],
  Bzm[x, 0, z, R2, h] - Bzm[x, 0, z, R1, h]}, {x, -b, b}, {z, -a, a},
 ImageSize -> 600, StreamColorFunction -> "Rainbow", AspectRatio -> c,
  StreamPoints -> Fine,
 Epilog -> {{RGBColor[0.5, 0.4, 0], Thick,
    Line[{{R1, -h/2}, {R1, h/2}, {R2,
       h/2}, {R2, -h/2}, {R1, -h/2}}]}, {RGBColor[0.5, 0.4, 0], Thick,
     Line[{{-R1, -h/2}, {-R1, h/2}, {-R2,
       h/2}, {-R2, -h/2}, {-R1, -h/2}}]}} ]



[Ost]

[Иван Горин]

Вот и силовые линии индукции магнитного поля, которые отрицает наш физик Макаров.
Все легко и понятно. Классика.

[Ost]

Код: [Выделить]

                               (*Поле цилиндрического магнита.*)

\[Mu] = 4 \[Pi] 10^-7;
Ic = 1000000; (*Ток*)
R2 = 0.4;            (*Радиус цилиндра*)
a = 0.7;               (*Диапазон рисунка по вертикали*)
b = 0.8;               (*Диапазон изображения по горизонтали*)
h = 0.3;               (*Высота магнита*)
c = a/b;             (**)


F1[x_, y_, z_, R_, \[Beta]_, l_] := (
  Sqrt[x^2 + y^2 + (z + l)^2 + R^2 -
    2 R (x Cos[\[Beta]] + y Sin[\[Beta]])] - (z + l))/((z + l) Sqrt[
    x^2 + y^2 + (z + l)^2 + R^2 -
     2 R (x Cos[\[Beta]] + y Sin[\[Beta]])] - (x^2 + y^2 + (z + l)^2 +
      R^2 - 2 R (x Cos[\[Beta]] + y Sin[\[Beta]])));

F2[x_, y_, z_, R_, \[Beta]_, l_] := -(
   1/((z + l) Sqrt[
     x^2 + y^2 + (z + l)^2 + R^2 -
      2 R (x Cos[\[Beta]] + y Sin[\[Beta]])] - (x^2 +
      y^2 + (z + l)^2 + R^2 - 2 R (x Cos[\[Beta]] + y Sin[\[Beta]]))));

Bxm[x_, y_, z_, R_, h_] := ( \[Mu] Ic R)/(4 \[Pi] h)
    NIntegrate[(F1[x, y, z, R, \[Beta], h/2] -
       F1[x, y, z, R, \[Beta], -(h/2)]) Cos[\[Beta]], {\[Beta], 0,
     2 \[Pi]}];
Bym[x_, y_, z_, R_, h_] := ( \[Mu] Ic R)/(4 \[Pi] h)
    NIntegrate[(F1[x, y, z, R, \[Beta], h/2] -
       F1[x, y, z, R, \[Beta], -(h/2)]) Sin[\[Beta]], {\[Beta], 0,
     2 \[Pi]}];
Bzm[x_, y_, z_, R_, h_] := ( \[Mu] Ic R)/(4 \[Pi] h)
    NIntegrate[ (F2[x, y, z, R, \[Beta], h/2] -
       F2[x, y, z, R, \[Beta], -(h/2)]) (R - y Sin[\[Beta]] -
       x Cos[\[Beta]]), {\[Beta], 0, 2 \[Pi]}];

StreamPlot[{Bxm[x, 0, z, R2, h], Bzm[x, 0, z, R2, h]}, {x, -b,
  b}, {z, -a, a}, ImageSize -> 600, StreamColorFunction -> "Rainbow",
 AspectRatio -> c, StreamPoints -> Fine,
 Epilog -> {{RGBColor[0.5, 0.4, 0], Thick,
    Line[{{-R2, -h/2}, {-R2, h/2}, {R2,
       h/2}, {R2, -h/2}, {-R2, -h/2}}]}} ]



[Иван Горин]

Закон Био Савара Лапласа полностью опровергает теорию нашего физика Макарова, отвергающего индукцию магнитного поля и его силовые линии  и вводящего только напряженность этого поля.
Как видим напряженность магнитного поля создает постоянный ток или сам постоянный магнит.
А в воздухе появляется индукция с ее силовыми линиями.
И эту индукцию можно рассчитать, как привел ОСТ по закону Био Савара Лапласа.
https://energetik.com.ru/zakony-elektrotexniki-korotko/zakon-bio-savara-laplasa

[Ost]

                                              Магнитное поле усечённого конуса.

\(\displaystyle B_{xcm}(x,y,z,R,h)=\frac{\mu_0~I}{4 \pi~h} \int \limits_0^{2 \pi} \int \limits_{0}^{h} \frac{(k~l+d)~(z-l)~cos(\beta)}{(x^2+y^2+(z-l)^2+(k~l+d)^2-2(k~l+d)~(x~cos(\beta)+y~sin(\beta)))^\frac{3}{2}}~ d l~d\beta \);

\(\displaystyle B_{ycm}(x,y,z,R,h)=\frac{\mu_0~I}{4 \pi~h} \int \limits_0^{2 \pi} \int \limits_{0}^{h} \frac{(k~l+d)~(z-l)~sin(\beta)}{(x^2+y^2+(z-l)^2+(k~l+d)^2-2(k~l+d)~(x~cos(\beta)+y~sin(\beta)))^\frac{3}{2}}~dl~ d\beta \);

\(\displaystyle B_{zcm}(x,y,z,R,h)=\frac{\mu_0~I}{4 \pi~h} \int \limits_0^{2 \pi} \int \limits_{0}^{h} \frac{(k~l+d)~((k~l+d)-y~sin(\beta)-x~cos(\beta))}{(x^2+y^2+(z-l)^2+(k~l+d)^2-2(k~l+d)~(x~cos(\beta)+y~sin(\beta)))^\frac{3}{2}}~dl~d\beta \),

где \(h~-\) высота магнита; \(d~-\) радиус усечённой вершины.

[Ost]

[Ost]

Код: [Выделить]

                                                                      \
                                                           (*Магнитное\
 поле усечёного конуса*)

\[Mu] = 4 \[Pi] 10^-7;
Ic = 1000000; (*Ток*)

a = 0.7;             (*Диапазон изображения по вертикали*)
b = 0.8;             (*Диапазон изображения по горизонтали*)
c = a/b;           (**)

R2 = 0.4;          (*Радиус основания конуса*)
R1 = 0.1;         (*Радиус верхушки конуса*)
h = 0.3;            (*Высота конуса*)
k = (R2 - R1)/h;
F3[x_, y_, z_, \[Beta]_, l_,
  R_] = \[Integral]1/(x^2 + y^2 + (z - l)^2 + (k l + R)^2 -
     2 (k l + R) (x Cos[\[Beta]] + y Sin[\[Beta]]))^(
   3/2) \[DifferentialD]l
F4[x_, y_, z_, \[Beta]_, l_,
  R_] = \[Integral]l/(x^2 + y^2 + (z - l)^2 + (k l + R)^2 -
     2 (k l + R) (x Cos[\[Beta]] + y Sin[\[Beta]]))^(
   3/2) \[DifferentialD]l
F5[x_, y_, z_, \[Beta]_, l_,
  R_] = \[Integral]l^2/(x^2 + y^2 + (z - l)^2 + (k l + R)^2 -
     2 (k l + R) (x Cos[\[Beta]] + y Sin[\[Beta]]))^(
   3/2) \[DifferentialD]l

Bxcm[x_, y_, z_, h_, R_] = ( \[Mu] Ic )/(4 \[Pi] h)
    NIntegrate[(F3[x, y, z, \[Beta], h, R] R (z) +
       F4[x, y, z, \[Beta], h, R] (k z - R) -
       F5[x, y, z, \[Beta], h, R] k
       - F3[x, y, z, \[Beta], 0, R] R (z) -
       F4[x, y, z, \[Beta], 0, R] (k z - R) +
       F5[x, y, z, \[Beta], 0, R] k) Cos[\[Beta]], {\[Beta], 0,
     2 \[Pi]}];
Bzcm[x_, y_, z_, h_, R_] = ( \[Mu] Ic )/(4 \[Pi] h)
    NIntegrate[ (F3[x, y, z, \[Beta], h,
        R] R (R - y Sin[\[Beta]] - x Cos[\[Beta]]) +
      F4[x, y, z, \[Beta], h,
        R] k (2 R - y Sin[\[Beta]] - x Cos[\[Beta]]) +
      F5[x, y, z, \[Beta], h, R] k^2
      - F3[x, y, z, \[Beta], 0,
        R] R (R - y Sin[\[Beta]] - x Cos[\[Beta]]) -
      F4[x, y, z, \[Beta], 0,
        R] k (2 R - y Sin[\[Beta]] - x Cos[\[Beta]]) -
      F5[x, y, z, \[Beta], 0, R] k^2), {\[Beta], 0, 2 \[Pi]}];

StreamPlot[{Bxcm[x, 0, z + h/2, h, R1],
  Bzcm[x, 0, z + h/2, h, R1]}, {x, -b, b}, {z, -a, a},
 ImageSize -> 600, StreamColorFunction -> "Rainbow", AspectRatio -> c,
  StreamPoints -> Fine,
 Epilog -> {{RGBColor[0.5, 0.4, 0], Thick,
    Line[{{-R1, 0 - h/2}, {-R2, h - h/2}, {R2, h - h/2}, {R1,
       0 - h/2}, {-R1, 0 - h/2}}]}} ]



[Ost]

[meandr]

Как видим напряженность магнитного поля создает постоянный ток или сам постоянный магнит.

НЕ знаю, где в предоставленных решениях Горин увидел напряженность магнитного поля.
НА мой взгляд тут пока везде  посчитана и нарисована индукция В.
Только в пространстве вокруг контура с током и снаружи магнита можно сказать что это же есть и напряженность Н (поскольку отсутствует намагниченность М).
Но это пока не актуально.

А как бы посмотреть на поле кольцевого магнита, к которому сбоку прицеплен так же намагниченный цилиндр (или два противоположных) ?
Глядя на сопровождающие решения формулы, даже не берусь представить их вид и количество для такой задачи.
Чтобы как-то облегчить решение,  можно прицепить два одинаковых цилиндра с противоположных сторон, сделав задачу симметричной.
Но и в этом случае я сам пока не осмеливаюсь браться за решение.
Может быть Ост в паре с Гориным это по силам ?

[Ost]

НЕ знаю, где в предоставленных решениях Горин увидел напряженность магнитного поля.
НА мой взгляд тут пока везде  посчитана и нарисована индукция В.
Только в пространстве вокруг контура с током и снаружи магнита можно сказать что это же есть и напряженность Н (поскольку отсутствует намагниченность М).
Но это пока не актуально.

А как бы посмотреть на поле кольцевого магнита, к которому сбоку прицеплен так же намагниченный цилиндр (или два противоположных) ?
Глядя на сопровождающие решения формулы, даже не берусь представить их вид и количество для такой задачи.
Чтобы как-то облегчить решение,  можно прицепить два одинаковых цилиндра с противоположных сторон, сделав задачу симметричной.
Но и в этом случае я сам пока не осмеливаюсь браться за решение.
Может быть Ост в паре с Гориным это по силам ?

Внутри магнита материал находится в состоянии насыщения и практически можно считать \(\mu=1\).
Поэтому внутри магнита индукция равна напряженности с точностью до коэффициента \(\mu_0\).

Нарисуйте чертёж. Попытаемся вычислить.

[meandr]

Внутри магнита материал находится в состоянии насыщения и практически можно считать μ=1.
Поэтому внутри магнита индукция равна напряженности с точностью до коэффициента μ0.

Не удивляюсь, что Вас не смущает противоречие того что Вы написали тому что Вы процитировали из моего поста:

НА мой взгляд тут пока везде  посчитана и нарисована индукция В.
Только в пространстве вокруг контура с током и снаружи магнита можно сказать что это же есть и напряженность Н (поскольку отсутствует намагниченность М).

ВЫ ведь здесь мэтр, я а - посторонний прохожий.
Но почему Вас не смущает противоречие того что Вы написали, и того что написано например в ЛЛ8 "Электродинамика сплошных сред", глава 4 Постоянное магнитное поле, уравнение  (29.8) ?
\[ \vec B=\vec H+4\pi\vec M \]   
В постоянном магните разве НУЛЕВАЯ намагниченность М ?
И разве относительная магнитная проницаемость мю применима к магнитам в той же мере, как и к неферромагнитным телам и веществам (средам) ?
И как обеспечить нулевую дивергенцию правой части этого уравнения, если слева дивергенция индукции В точно нулевая, а справа дивергенция намагниченности М точно НЕ нулевая ?

Кстати, я уже давал в ЭТОЙ теме ссылку на аналогичную тему на Сайтехе
http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yabb2/YaBB.pl?num=1433256909/0
так там другой мэтр, РУстот, давал пояснения о поле внутри магнита, весьма противоположные Вашим соображениям на этот счет.
Может быть поэтому модератор Горин убрал отсюда и свое упоминание задачи Рустота и все мои посты в другую тему ?
Вы тут вдвоем пишете какую-то свою собственную теорию магнитов ?

Нарисуйте чертёж. Попытаемся вычислить.

Вот эскиз - кольцевой магнит с прилепившимися цилиндрическими магнитами по  бокам.
Размеры и величина намагниченности произвольные, на Ваше усмотрение.

Но если расчет будет вестись по какой-то Вашей произвольной авторской методе (без намагниченности и т.п.) - то лучше так сразу и напишите без расчета, все равно с таким расчетом потом ни в какое приличное место не сунешься (впрочем, приличных мест уже почти не осталось).
Если же расчет будет вестись по официально приемлемой методике - буду весьма признателен и сам поучаствую в меру своих сил и знаний.

[Ost]

Не удивляюсь, что Вас не смущает противоречие того что Вы написали тому что Вы процитировали из моего поста:ВЫ ведь здесь мэтр, я а - посторонний прохожий.
Но почему Вас не смущает противоречие того что Вы написали, и того что написано например в ЛЛ8 "Электродинамика сплошных сред", глава 4 Постоянное магнитное поле, уравнение  (29.8) ?
\[ \vec B=\vec H+4\pi\vec M \]   
В постоянном магните разве НУЛЕВАЯ намагниченность М ?
И разве относительная магнитная проницаемость мю применима к магнитам в той же мере, как и к неферромагнитным телам и веществам (средам) ?
И как обеспечить нулевую дивергенцию правой части этого уравнения, если слева дивергенция индукции В точно нулевая, а справа дивергенция намагниченности М точно НЕ нулевая ?

Кстати, я уже давал в ЭТОЙ теме ссылку на аналогичную тему на Сайтехе
http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yabb2/YaBB.pl?num=1433256909/0
так там другой мэтр, РУстот, давал пояснения о поле внутри магнита, весьма противоположные Вашим соображениям на этот счет.
Может быть поэтому модератор Горин убрал отсюда и свое упоминание задачи Рустота и все мои посты в другую тему ?
Вы тут вдвоем пишете какую-то свою собственную теорию магнитов ?


Вот эскиз - кольцевой магнит с прилепившимися цилиндрическими магнитами по  бокам.
Размеры и величина намагниченности произвольные, на Ваше усмотрение.

Но если расчет будет вестись по какой-то Вашей произвольной авторской методе (без намагниченности и т.п.) - то лучше так сразу и напишите без расчета, все равно с таким расчетом потом ни в какое приличное место не сунешься (впрочем, приличных мест уже почти не осталось).
Если же расчет будет вестись по официально приемлемой методике - буду весьма признателен и сам поучаствую в меру своих сил и знаний.

Имеется ввиду, что \(\mu=1\) это дифференциальный коэффициент.
Например, для магнита NdFeB относительная дифференциальная магнитная проницаемость на прямой возврата \(1.03-1.05\).
В состоянии насыщения \(\vec M=\vec const\). Поэтому формула \(\vec B=\vec H+4\pi~\vec M\) в дифференциальном виде \(d\vec B=d\vec H+4\pi~d\vec M\) переходит в \(d\vec B=d\vec H\)
или для внешних полей \(\vec B=\vec H\). Любые внешние поля не вызывающие перемагничивания проходят через такой материал без изменений.
Это позволяет просто суммировать напряжённости полей, создаваемые сложной системой магнитов. Остаточное поле обусловленное внутренними токами,
в этом случае, уже не зависит от свойств материала, так как все моменты ориентированы по оси цилиндра и можно считать, что они не поворачиваются в поле.

У меня рассчитывается модель в которой все магнитные моменты ориентированы только по оси цилиндра их ориентация не зависит от напряженности поля.
Так, что решайте, нужен Вам такой приблизительный расчёт, дающий достаточно хорошее приближение по форме линий поля или нет.
Если нет, то и считать нет смысла подобным способом. Если принять, что моменты могут поворачиваются в поле, то расчёт очень сильно усложняется и придется
вводить зависимость коэффициента намагниченности от напряженности поля и учитывать преломление на границе магнита.

[meandr]

Имеется ввиду, что μ=1 это дифференциальный коэффициент.
Например, для магнита NdFeB относительная дифференциальная магнитная проницаемость на прямой возврата 1.03−1.05.
В состоянии насыщения M⃗ =c⃗ onst. Поэтому формула B⃗ =H⃗ +4π M⃗  в дифференциальном виде dB⃗ =dH⃗ +4π dM⃗  переходит в dB⃗ =dH⃗
или для внешних полей B⃗ =H⃗ . Любые внешние поля не вызывающие перемагничивания проходят через такой материал без изменений.
Это позволяет просто суммировать напряжённости полей, создаваемые сложной системой магнитов.

Как говорится - у каждого шеф-повара есть свой секрет.
Не знаю, насколько Ваш "рецепт" официально употребимый, но лично я не против таких упрощений для начала.
На дивергенцию можем пока забить.
Я в общем уже понял, как Вы будете получать общее поле СНАРУЖИ магнитов -  просто как векторную суперпозицию исходных внешних полей, уже полученных по отдельности.
Но все-таки интересно, как Вы посчитаете поля ВНУТРИ магнитов ?
Насколько я понимаю,  Ваше dB⃗ =dH⃗  не обеспечивает B⃗ =H⃗ внутри магнитов ( этого равенства внутри вроде и не должно быть).
Вот  например, силу сцепления можно считать как интеграл удельной силы, действующей на удельный магнитный момент (намагниченность) по объему примагничиваемого магнита, а можно силу сцепления посчитать через дифференциал (производную) общей энергии поля (суммы снаружи и внутри магнитов). Не очевидно, что эти расчеты совпадут.

Остаточное поле обусловленное внутренними токами,
в этом случае, уже не зависит от свойств материала, так как все моменты ориентированы по оси цилиндра и можно считать, что они не поворачиваются в поле.

Во избежание недоразумений прошу уточнить, что такое "остаточное поле" - это суммарное поле или что-то другое ?
и "внутренние токи" - это те условные поверхностные токи, которыми Вы моделируете поле магнитов ?
Кстати, Вас не смущает, что величина поверхностных токов, порядка 1 млн. ампер, не зависимо от высоты (толщины) магнита при заданной величине индукции (порядка 1 Тл) даже при самых тонких "таблетках" толщиной 2-3 мм ?)

Еще интересно, какие поля В,Н,М по-Вашему получаются  в соседней теме с таким же кольцевым магнитом, но намагниченным тороидально ?
http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=613166.0
Практического толку от него никакого - он ничего не примагничивает.
Но теоретический интерес имеется.