Вращение стержня

[Иван Горин]

После уточнения график 3 будет совпадать с таблицей и ссылка на график 3 будет корректной.

Сравним с моими расчётами


(исправлено.Была ошибка в столбце I

Данные совпадают.


Приведём зависимости времён системы К' от угла поворота  стержня в системе К.


Выберем время t'=300 нсек
Из графика
\(\displaystyle \alpha _0\)=1,53 рад
\(\displaystyle \alpha _M\)=1 рад
\(\displaystyle \alpha _N\)=2,1 рад
Вычислим время

\(\displaystyle t=\frac{\alpha }{\omega _0}\)

\(\displaystyle t _0\)=76,5 нс
\(\displaystyle t _M\)=50 нс
\(\displaystyle t _N\)=105 нс

Найдём точные значения времени с помощью функции Excel
\(\displaystyle t _0\)=76,81 нс
\(\displaystyle t _M\)=49,775 нс
\(\displaystyle t _N\)=104,72 нс
Графическая точность вполне приемлима.

В графике Александра45 надо заменить угол \(\displaystyle \alpha '\) на \(\displaystyle \alpha \)
Это не ошибка, так как графики верные, а описка.

[Иван Горин]

Еще один графический метод нахождения времени t по заданному времени t'





Для нахождения решения ищем точки пересечения синей прямой с синусоидами.

Как видно из графика
t_M=50 нс
t₀=77 нс,  точка пересечения с осью обсцисс
t_N=105 нс

[Александр45]

Цитата: Александр45 от Сегодня в 06:15:29
Судя по источнику, то по оси абсцисс откладывается переменная x′i, хотя графики не должны измениться, если откладывать переменную  Δx′i=x′Ri−x′0i, где x′Ri - координата по оси x′i  точки Ri в момент времени t′.

По оси ординат не может быть переменная x', иначе картинка для каждого моменти времени t' сдвигалась бы по оси x'.
У вас по оси ординат отложена переменная X'=x'+vt'

Для каждого отдельного момента времени \(t'_i\) форма стержня будет вполне определенная. Поэтому форма движущегося стержня в СТО называется кинематической, что все точки этого стержня отмечены одновременно в неподвижной ИСО, т.е. в какой-то определенный момент \(t'_i\). В другой момент  \(t'_{i+k}\) форма стержня будет другая.

[Александр45]

В графике Александра45 надо заменить угол α′ на α
Это не ошибка, так как графики верные, а описка.

Спасибо за труды, потраченные на проверку моих расчетов и графиков. Думаю участникам и гостям форума будет интересно рассмотреть ход дискуссии и существование разных методов доказательства искривления стержня.

Раз подтвердилось, что графики верные, то в СТО и форма стержня в ИСО' периодически деформируется. Впрочем релятивисты в этом давно убедились. Только они не хотят смотреть глубже на причину и следствия эффекта искривления, т.е. они не хотят видеть в этом нарушение ПО и законов сохранения полной энергии и импульса, что частично рассматривается в теме "Вычислить энергию стержня".

Раз мы рассматриваем форму стержня в ИСО', то и угол должен быть  \(\alpha′\).
А от замены \(\alpha′\) на \(\alpha\)  измениться не форма графика в целом, а только его пропорции и угол его наклона к горизонтальной оси - см. формулу ниже.

\(\alpha'=arctg(\frac {tg(\alpha)}{\gamma})\) - при R=0 представляет собой прямую.
Кривые получаются для точек стержня, у которых расстояние  от оси вращения может быть  от -R до +R, что влияет в СТО на одновременность, т.е. превращает абсолютную одновременность в относительную.

[Александр45]

Знак перед скоростью для x' и t'М должен быть одинаковым.
На рис.2 у вас видно, что система К движется вправо. А это значит, что система К' неподвижна.
Тогда перед скоростью в этих формулах должен быть знак плюс.
Если К неподвижна, а К' удаляется влево, то также будет знак плюс.

Можно написать и со знаком плюс. Тогда формула будет выглядеть так:
\(t'_M=\gamma(1+\frac {(-R)V}{c^2}sin(\alpha))\)
или
\(t'_M=\gamma(1+\frac {RV}{c^2}sin(\alpha+\pi))\)

[Иван Горин]

Можно написать и со знаком плюс. Тогда формула будет выглядеть так:
\(t'_M=\gamma(1+\frac {(-R)V}{c^2}sin(\alpha))\)
или
\(t'_M=\gamma(1+\frac {RV}{c^2}sin(\alpha+\pi))\)

Правильные формулы.
\(t'_M=\gamma(t+\frac {RV}{c^2}sin(\alpha))\)
или
\(t'_N=\gamma(t+\frac {RV}{c^2}sin(\alpha+\pi))\)

ЭТи формулы вы используете для создания своей таблицы при R=10 м, которую я проверил, используя эти же формулы.

[Иван Горин]

Раз мы рассматриваем форму стержня в ИСО', то и угол должен быть  \(\alpha′\).
А от замены \(\alpha′\) на \(\alpha\)  измениться не форма графика в целом, а только его пропорции и угол его наклона к горизонтальной оси - см. формулу ниже.

Это ваше ошибочное предположение.
Проверим на практике.
Построим зависимости t'  от \(\alpha '\)


(Исправлено. Была ошибка в столбце I)

Как видим, получили другие кривые.
Из которых невозможно получить время t₀, t_M, t_N при фиксированном значении времени t'
Позже из этой нашей таблицы построю семейство кривых для фиксированных моментов времени t' в зависимости от абсциссы x'.
Труда это мне не составит, так как таблицы готовы.

[Иван Горин]

\(\alpha'=arctg(\frac {tg(\alpha)}{\gamma})\) - при R=0 представляет собой прямую.

\(\alpha'=f(\alpha)\) - при R=0 представляет собой точку в начале координат неподвижной системы.

Привожу график \(\alpha'=f(\alpha)\) из нашей таблицы


(Исправлено. Была ошибка в таблице)

[Александр45]

Цитата: Александр45 от 29 Июнь 2021, 18:07:46
α′=arctg(tg(α)/γ) - при R=0 представляет собой прямую.

α′=f(α) - при R=0 представляет собой точку в начале координат неподвижной системы.

Привожу график α′=f(α) из нашей таблицы

Здесь я что-то напутал. При R=0 прямую собой представляет функция \(t′=f(\alpha')\), т.е. по аргументу \(\alpha'\). Для каждой точки стержня (каждого значения R) будет использоваться своя система параметрических уравнений.
Например для точки M:

\(\alpha_i=\omega t_i\);

\(\alpha'_i=arctg(\frac {tg(\alpha_i)}{\gamma})\);

\(t'_i=\gamma(t_i+\frac {R_MV}{c^2}sin(\alpha_i))\).

Из моей таблицы получается несколько по другому.

[Иван Горин]

У меня в столбце I ошибка.

[Иван Горин]

Еще один графический способ.

[Иван Горин]

Продолжаем исследования вращения стержня.

Используя нашу знаменитую таблицу, приведем зависимости пространственных координат системы К' в зависимости от времени  t системы К.
Кто  понимает эти графики?
Далее поясним.

[Иван Горин]

Получили ограничительный эллипс для концов стержня.
Остается заполнить этот график кривыми равного времени t'.
...

[Иван Горин]

Построение кривых в К' системе.
Теория.
Прямые ПЛ для метода Александра45.
Вращение стержня по часовой стрелке.
Угол отсчитывается от вертикали.
Система К неподвижна.
Система К' удаляется влево со скоростью v.

\(\displaystyle x=\gamma (x'-vt')\) (1)
\(\displaystyle t=\gamma (t'-\frac{vx'}{c^2})\) (2)

\(\displaystyle X'=x'-vt'\) (3)
\(\displaystyle X'=\frac{x}{\gamma }\) (4)

Из (3) найдём \(\displaystyle x'=X'+vt'\)  и подставим в (2)
\(\displaystyle t=\gamma (t'-\frac{v(X'+vt')}{c^2})=\gamma \left ( t'-\frac{v^2t'}{c^2}-\frac{vX'}{c^2} \right )\)

\(\displaystyle t=\frac{t'}{\gamma }-\frac{\gamma vX'}{c^2}\)

Создаём таблицу зависимости y'=f(X') для фиксированных моментов времени t'
Для выбранного момента времени t', например 50 нс
изменяем X' от \(\displaystyle -\frac{R}{\gamma }\) до \(\displaystyle \frac{R}{\gamma }\)
X' это первый столбей нашей таблицы
\(\displaystyle t=\frac{t'}{\gamma }-\frac{\gamma vX'}{c^2}\) это второй столбец нашей таблицы
Из (4) найдём x
\(\displaystyle x=\gamma X'\)
\(\displaystyle x=rsin(\omega _0t)\)
\(\displaystyle r=\frac{\gamma X'}{sin(\omega _0t)}\) это третий столбец нашей таблицы
\(\displaystyle y'=y=rcos(\omega _0t)\) это четвёртый столбец нашей таблицы

По оси абсцисс берём X' первый столбец
По оси ординат y' четвёртый столбец.

Строим график для t'=50 нс.

Копируем таблицу и меняем время t' на другое, например 100 нс.
И так далее.
Нет необходимости в графических решениях или с помощью Excel.
...

[Иван Горин]

Привожу окончательный график.
Радиус стержня я уменьшил до 5 метров.
При 10 метрах максимальная линейная скорость равна скорости света.



В этих графиках хорошо видны переходы от верхних ветвей в нижние.
Эллипс является ограничением кривых. За его пределы кривые не выходят.

[Александр45]

Получили ограничительный эллипс для концов стержня.
Остается заполнить этот график кривыми равного времени t'.

Сначала хотелось бы уточнить формулировки, применяемые Вами и мной в этой теме.
Вы говорите: "Построение кривых в К' системе.
Теория.
Прямые ПЛ для метода Александра45.
Вращение стержня по часовой стрелке.
Угол отсчитывается от вертикали.
Система К неподвижна.
Система К' удаляется влево со скоростью v."

Я считаю, с точки зрения СТО, точнее будет сказать, что в K ось вращения стержня "0" неподвижна и в K заданы исходные данные (размеры и параметры вращения стержня), т.е. K является собственной ИСО стержня.

В ИСО K' ось вращения "0" движется вдоль оси \(x\) со скоростью  \(V\).

Наша задача описать форму одного конкретного стержня сразу в двух ИСО, т.е. геометрическую (реальную) форму в K и кинематическую (математическую, кажущуюся) в K'.

Хотелось бы обратить внимание, что движение каждой из точек M, N и 0 описывается системой параметрических уравнений, т.е. в нашем случае для построения графика изменения угла  \(\alpha'_i(t')\) и координат точек \(x'_i(t')\) и \(y'_i(t')\) необходимо с начала найти \(\alpha'_i(t)\), \(x'_i(t)\), \(y'_i(t)\) и  \(t'_i(t)\), а уже потом строить графики F'=f(t').
В K ось вращения неподвижна и в ней заданы законы вращения стержня. Траектории концов стержня представляют собой окружность радиусом R, а угловая скорость \(\omega\) - постоянная. Вы сами предложили несколько вариантов решения этой задачи.
Рассмотрим Ваш рисунок из поста 52.



В ИСО K точки М и N достигают значения YM=YN=0  (α=90°) одновременно в момент  t=78.54 нс.

В ИСО K' точки М и N достигают значения Y=0  неодновременно: M - в момент  t'_M=432.6 нс, а N - в момент   t'_N=180.90 нс.

Это соответствует СТО, где события одновременные в одной ИСО, в другой ИСО' оказались неодновременными.

Следовательно, в момент когда  t'_M=t'_N условие YM=YN=0  (α=90°) выполняться не будет. Таким образом, точки M, N и 0 не будут лежать на одной прямой, т.е. стержень будет искривлен.
Что и требовалось доказать!

Правы были те релятивисты, которые утверждали, что в СТО рассматриваемый равномерно вращающийся стержень, с движущейся равномерно и прямолинейно осью вращения, периодически искривляется, т.е. теряет свою прямолинейность.

[Александр45]

Привожу окончательный график.
Радиус стержня я уменьшил до 5 метров.
При 10 метрах максимальная линейная скорость равна скорости света.



В этих графиках хорошо видны переходы от верхних ветвей в нижние.
Эллипс является ограничением кривых. За его пределы кривые не выходят.

Решив задачу о кривизне стержня несколькими способами, получили подтверждение известного в СТО эффекта  о периодическом искривлении данного стержня при вращении.

[Александр45]

Идём дальше и учитываем, что любая точка на стержне движется также в системе К по осям абсцисс и ординат.
Это будет полная теория СТО.

Длина стержня 10 метров
Была ошибка набора вормул для t'
Исправил

Я когда-то встречал подобные рассуждения на полях Интернета, но нигде не встречал их в официальных источниках в качестве полной теории СТО.
Поэтому эту интересную гипотезу никак не могу признать уточненным вариантом СТО.
Прошу ответить мне на вопросы, которые позволят мне правильно понять и отличать Ваш вариант от СТО.

1. Какие недостатки СТО позволяет решить Ваш вариант?

2. Чем будут отличаться преобразования координат, учитывающие движение точек по оси Y, от ПЛ?

3. Как предполагается реализовывать в этой теории синхронизацию разноместных часов, чтобы получить ОО и существует ли ОО в Вашем варианте?

4. Каков физический смысл выражений и параметров: \(\omega_0*x\), \(\omega_0*y\), \(V'_x\), \(\gamma_x\), \(\gamma_y\)?

[Ost]

Длина стержня 5 метров


...

Гамма не может быть вектором и должна иметь такой вид.
\(\displaystyle \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{V_x^2+V_y^2+V_z^2}{c^2}}}\).

[Ost]

У меня гамма не вектор, а скаляр.
Сокращение координаты по оси x.

\(\large \displaystyle \gamma _x=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{V_x'}{c})^2}}\)

\(\large \displaystyle V_x'=\frac{v_x+v}{1+\frac{v_xv}{c^2}}\)

Проекция линейной скорости стержня на ось x

\(\large \displaystyle v_x=\omega _0x=\omega _0rsin(\omega _0t)\)

Сокращение координаты по оси y

\(\large \displaystyle \gamma _y=\frac{1}{\sqrt{1-v_y^2/c^2}}\)


проекция линейной скорости текущей точки стержня на ось y
\(\large \displaystyle v_y=\omega _0y=\omega _0rcos(\omega _0t)\)

Где r это текущая длина стержня, которая изменяется от -R до +R
Для правого конца стержня плюс, для левого минус.
Это взято для удобства, чтобы не применять разные формулы с плюсом или минусом. То есть взята алгебраическая величина модуля r, а не вектора.

Запись \(\gamma_x\) и \(\gamma_у\) (гаммы по ортогональным направлениям) можно рассматривать уже как вектор \((\gamma_x,\gamma_у)\).
Такой подход противоречит ПЛ в векторном виде. Сокращения в общем случае необходимо вычислять через ПЛ в векторном виде.
Имея в виду, что в гамму определяет только скорость относительного движения, которая постоянна.
По СТО скорость относительного движения \(\vec V=\vec {const}\).