О формализме Лагранжа

[yakiniku]

При вращении радиус-вектора его модуль изменяется на величину проектирующейся на него части неподвижного вектора е/р

Я понимаю, конечно, что о модуле комплексного числа Вы представления не имеете и вычислить его Вам не под силу. Но что, школьную теорему косинусов Вы тоже миновали? Длина суммы векторов есть корень квадратный из суммы квадратов их длин плюс удвоенное произведение их длин на косинус угла между ними. А не (в чем Вы твердо уверены и что и вызвало к жизни Вашу абсурдную работу) длина одного из векторов плюс проекция второго вектора на направление первого.

И модуль от Вашего ответа это тоже корень квадратный из 1+e^2+2e cos (vт), деленный на р, так что даже коническое сечение у Вас не получается. Я же уже писал: все Ваши беды от того: что Вы школьной математики не знаете - не говоря уж о комплексном анализе.

[Петров А. М.]

Автор представил свою статью в том виде, в каком посчитал её заслуживающей внимания читателей. Показал отличие своей методологии от принятой в известном курсе теоретической механики. Дал свой вариант решения задачи. Причём нигде «ни на йоту» не отклонился от уравнения конического сечения, с которого начинал свои преобразования (переход на комплексную плоскость и замену реального времени на обобщённое) и которым закончил обратные преобразования. Скажу больше, соответствие уравнению конического сечения было основным критерием проверки правильности решения задачи (пусть оппонент, по этой части работы автора, оставит свой «наговор» на своей совести).
Теперь желающие могут откликнуться на эту статью (как и на другие работы автора) отзывами, рецензиями, оппонентскими заключениями: что каждый посчитает нужным подготовить. Там каждый мог бы представить и свой подход (если он есть) к тому, как следовало бы решать подобные задачи.
Однако и уже состоявшаяся мини-дискуссия не была бесполезной, по крайней мере, она прояснила  позиции сторон. Со своей стороны автор дал пояснения, какие посчитал нужными. И теперь хотел бы дождаться реакции более широкого круга читателей и мнения новых (желательно независимых и непредвзятых) экспертов.
Но и те оппоненты, что столь шустро объявились, автором не оставлены без внимания. а их выступления лишь контрастнее оттенили как  важность проблемы, так и причины, по которым она столь чувствительно  «задевает за живое» (был бы в статье автора «вздор», такой острой реакции не было бы).
Однако уступать надуманным (как и вся защищаемая ими методология) требованиям «оппонентов первой волны», уже временами сходным со «стенаниями», не будем. Пусть думают сами, решают сами …
aid:
«…тринадцатый раз прошу - перейдите к рассмотрению действительной  переменной. Запишите параметрическое уравнение в действительной форме».
Отвечаю в тринадцатый раз: плоскостное движение адекватно представляется только в комплексной форме! И аналитическое решение задачи в статье именно в этой форме и приведено.
Если при переходе от обобщённого времени к реальному формула для r уже вновь полностью соответствует уравнению конического сечения, только с той разницей, что в знаменателе вместо cos(Vτ) стоит exp(iVτ), то почему и в этом случае надо тупо брать модуль от всей дроби, вместо того, чтобы просто заменить комплексную экспоненту на действительную тригонометрическую функцию в знаменателе? Похоже, оппоненты имеют целью не столько разобраться в подходе автора, сколько посоревноваться, кто глупее его сумеет передразнить. Тоже забава …

[Петров А. М.]

После стольких «дней и ночей», проведённых в живой дискуссии, весьма забавно выглядит следующее поучение оппонента:
«Я как-то Вас спрашивал о физическом смысле потенциальной энергии. Ничего вразумительного, кроме того, что это что-то, похожее на энергию деформированного тела, Вы не сказали. Так вот, если Вы не в курсе, потенциальная энергия - это величина, изменение которой при любом перемещении равно работе потенциальных сил на этом перемещении, взятой с обратным знаком. Изменение кинетической энергии на любом перемещении равно работе сил на этом перемещении. При движении под действием грав. сил сумма изменения кинетической энергии и изменения потенциальной энергии равна работа грав сил минус работа грав сил =0. Поэтому сумма кин. и пот энергий не меняется. Поэтому величина –α/r по определению есть потенциальная энергия. А т.к. от Вас определения не поступило, то и не выступайте».
Всё бы ничего, и гравитационная сила в наличии, вот только не хватает сáмой «малости», а, именно, реального (не выдуманного и «не приснившегося» аналитику) перемещения. Где в Кеплеровой задаче вы обнаружили перемещение из бесконечно удалённой точки (ну, и т.д., надоело уже повторять одно и то же!)? В этой задаче величина –α/r никакой энергии не представляет. Это – фальшивка!
Начинать дискуссию с начала? Нет уж, с этих «оппонентов» будет достаточно…
«Короче - Петров утверждает, что аппарат механики некорректен. Он якобы разработал более совершенный аппарат…».
Нет, некорректен и непригоден для решения актуальных динамических задач только лагранжев формализм. Петров не сам придумал, а только обратил внимание на то, что существующий уже более полутора столетий математический аппарат алгебр с делением для двумерного и трёхмерного пространств, вкупе с методологией открытых систем, является именно тем адекватным аппаратом, который (чем скорее, тем лучше; и так  уже запоздали минимум на столетие!) должен прийти на смену лагранжеву формализму.
yakiniku:
«Длина суммы векторов есть корень квадратный из суммы квадратов их длин плюс удвоенное произведение их длин на косинус угла между ними. А не (в чём Вы твердо уверены и что и вызвало к жизни Вашу абсурдную работу) длина одного из векторов плюс проекция второго вектора на направление первого».
Вот и упражняйтесь в применении этих формальных правил! А в Кеплеровой задаче есть уравнение конического сечения, которому соответствуют именно те операции с векторами, которые приводит автор. Можете их не признавать, но они соответствуют физическому смыслу задачи, а это для нас важнее смехотворных упрёков в несоблюдении каких-то абстрактных правил (несомненно, где-то справедливых, но «не до такой же степени» …). 
Ну, и отменное заключительное «пожелание» автору:
«…Все Ваши беды от того: что Вы школьной математики не знаете».
Вот скоро правнучку поведу в первый класс и сам сяду с нею за парту …

[aid]

> Автор представил свою статью в том виде, в каком посчитал её заслуживающей внимания читателей. Показал отличие своей методологии от принятой в известном курсе теоретической механики. Дал свой вариант решения задачи.
Однако и уже состоявшаяся мини-дискуссия не была бесполезной, по крайней мере, она прояснила  позиции сторон. Со своей стороны автор дал пояснения, какие посчитал нужными.

Автор вообще-то был готов ответить на замечания оппонентов. Но он не может дать ответ даже на главный исходный вопрос - представить свое решение в действительной форме. Он дает пояснения, как считает нужным ?


> Однако уступать надуманным (как и вся защищаемая ими методология) требованиям «оппонентов первой волны», уже временами сходным со «стенаниями», не будем. Пусть думают сами, решают сами …

Вот как - оказывается просьба привести решение в действительной форме является надуманным требованием. Конечно, Вы будете оттягивать ответ до последнего, т.к. это единственное, что не дает удостовериться широкому кругу оппонентов, которых Вы ждете, в Вашем неверном решении


aid:
«…тринадцатый раз прошу - перейдите к рассмотрению действительной  переменной. Запишите параметрическое уравнение в действительной форме».

> Если при переходе от обобщённого времени к реальному формула для r уже вновь полностью соответствует уравнению конического сечения, только с той разницей, что в знаменателе вместо cos(Vτ) стоит exp(iVτ), то почему и в этом случае надо тупо брать модуль от всей дроби, вместо того, чтобы просто заменить комплексную экспоненту на действительную тригонометрическую функцию в знаменателе?

Хотя бы потому, что автор Петров тупо сказал "Ясно, что физический смысл «расстояния» имеет именно этот модуль, который и используется в этом качестве как при переходе от реального к обобщённому времени, так и обратно."

Т.к. тупые высказывания трудно понять однозначно, я Вас и прошу в четырнадцатый раз самому привести выражение в действительной форме? дабы Вы не могли уже отказываться от написанного.

Пока же я делаю вывод, что у Вас
r=p/[Cos(Vτ) + е)]
Правильно я понял?

[Herodotus]

В школу, только в школу. С внучкой, правнучкой - с любым, кто ответственно сможет Вас туда водить.
 

Только с санитарами.

[aid]

> Всё бы ничего, и гравитационная сила в наличии, вот только не хватает сáмой «малости», а, именно, реального (не выдуманного и «не приснившегося» аналитику) перемещения. Где в Кеплеровой задаче вы обнаружили перемещение из бесконечно удалённой точки (ну, и т.д., надоело уже повторять одно и то же!)? В этой задаче величина –α/r никакой энергии не представляет. Это – фальшивка!
Начинать дискуссию с начала?

Нет, просто дать определение потенциальной энергии. Оно у Вас есть? А то, извините, бред получается - определения потенциальной энергии у Вас нет, но Вы утверждаете, что  –α/r - не потенциальная энергия. Это Вы нюхом чуете?
Кстати, задумайтесь на досуге над двумя вопросами.
1. Почему энергия называется потенциальной.
2. Почему Вы используете для тела в задаче Кеплера кинетическую энергию. Ведь mv^2/2 равна работе, которую необходимо совершить, чтобы разогнать тело от нулевой скорости до скорости v. А ведь в задаче Кеплера нет нулевой скорости. Т.е. по Вашему и кинетической энергией нельзя пользоваться


> Петров не сам придумал, а только обратил внимание на то, что существующий уже более полутора столетий математический аппарат алгебр с делением для двумерного и трёхмерного пространств, вкупе с методологией открытых систем, является именно тем адекватным аппаратом, который (чем скорее, тем лучше; и так  уже запоздали минимум на столетие!) должен прийти на смену лагранжеву формализму.

Сударь Петров, вообще-то в науке принято доказывать свои утверждения. Пока Вы не смогли даже доказать, что Ваш метод дает правильное решение задачи Кеплера. Если Вы считаете, что смогли кому-то это доказать, сообщите фамилии.

[aid]

Только не забудем добавить, что 0<e<1, так что знаменатель дважды за период обращается в ноль.

Аид - почему Вы не можете писать яснее и однозначно - требуйте представлять ответ в действительной форме, а не решение - топикстартер радостно мизинтерпретирует, что Вы требуете чтобы он решал задачу в действительных функциях.

Хм, ну я все время имел ввиду ответ. И я ведь и сам привожу вариант ответа.
Сударь Петров - мне не нужен ход решения - только конечный ответ для r.
Про ноль - это Вы хорошо подметили. Но Петров всегда скажет, что это наши тупые интерпретации его ответа. Неправильно мы переходим к действительным числам. (после того, как он сказал, что ему и теорема косинусов - не указ, от него всего можно ожидать) Поэтому надо, чтобы ответ записал именно он сам.

[Herodotus]

Бросьте. Человек не понимает, что нельзя вводить "операции над векторами" (и над комплексными числами), работающие только для какой-то конкретной траектории или конкретной задачи. В чём вы его надеетесь убедить?

[yakiniku]

Автор ... нигде «ни на йоту» не отклонился от уравнения конического сечения, с которого начинал свои преобразования (переход на комплексную плоскость и замену реального времени на обобщённое) и которым закончил обратные преобразования.

Это просто неправда. В Обсуждении  http://bolshoyforum.com/wiki/index.php/Обсуждение:Кеплерова_задача_–_критерий_качества_точных_наук выведено простое соотношения, которому обязана удовлетворять эллиптическая кривая с фокальной точкой в начале координат: среднее арифметическое обратных расстояний от центра до афелия и перигелия равно обратному расстоянию от центра до точки пересечения траектории с "мнимой осью" комплескной плоскости. Непосредственное вычисление с траекторией, приведенной Петровым в качестве решения задачи Кеплера показывает, что его траектория этому необходимому свойству не удовлетворяет. Следовательно, она не является эллиптической. Вычисления очень простые.
Действительная часть икс: (cos(Vт)+e)/p
Мнимая часть икс:            (sin(Vт)    )/р

В точках пересечения с действительной осью (при sin(Vт)=0): действительная часть икс равна (по абсолютной величине) (1+e)/p (что правильно равно значению величины 1/r в перигелии) и (1-e)/p (что правильно равно значению величины 1/r в афелии), сопоставляем с уравнением конического сечения, p/r=1+e cos (\phi).

НО в точках пересечения с мнимой осью (в которых действительная часть икс обращается в ноль, то есть cos(Vт)=-e) мнимая часть икс по абсолютной величине равна корню квадратному из (1-e^2) деленному на р. Вместо (опять-таки отождествляемого с абсолютной величиной икс) 1/r=1/р, как должно быть согласно уравнению конического сечения. Использовано только изучаемое в школе тригонометрическое тождество sin^2(a) = 1 - cos^2(a), справедливое для любого а.  

То есть траектория, полученная Петровым - не эллипс, хоть тут тресни. Что тут понимать-то?

[Herodotus]

Неужели невозможно убедить его в том, что точки пересечения его траектории с действительной и мнимой осью не лежат на эллипсе?

То есть траектория, полученная Петровым - не эллипс, хоть тут тресни. Что тут понимать-то?

aid, herodotus - вы со мной согласны? А то топикстартер как-то прямым текстом посылает нас уйти.

Убедить топикстартера в чём бы то ни было не представляется возможным. Да и зачем? 

[aid]

Это просто неправда. В Обсуждении  http://bolshoyforum.com/wiki/index.php/Обсуждение:Кеплерова_задача_–_критерий_качества_точных_наук выведено простое соотношения, которому обязана удовлетворять эллиптическая кривая с фокальной точкой в начале координат: среднее арифметическое обратных расстояний от центра до афелия и перигелия равно обратному расстоянию от центра до точки пересечения траектории с "мнимой осью" комплескной плоскости. Непосредственное вычисление с траекторией, приведенной Петровым в качестве решения задачи Кеплера показывает, что его траектория этому необходимому свойству не удовлетворяет. Следовательно, она не является эллиптической. Вычисления очень простые - считается действительная часть икс в точках, где мнимая часть обращается в ноль и мнимая часть икс в точках, где действительная часть обращается в ноль. И все - хотя конечно для вычислений нужно знать, что такое действительная и мнимая часть комплексной функции. Неужели невозможно убедить его в том, что точки пересечения его траектории с действительной и мнимой осью не лежат на эллипсе?
Действительная часть икс: (cos(Vт)+e)/p
Мнимая часть икс:            (sin(Vт)    )/р

В точках пересечения с действительной осью (при sin(Vт)=0): действительная часть икс равна (по абсолютной величине) (1+e)/p (что правильно равно значению величины 1/r в перигелии) и (1-e)/p (что правильно равно значению величины 1/r в афелии), сопоставляем с уравнением конического сечения, p/r=1+e cos (\phi).

НО в точках пересечения с мнимой осью (в которых действительная часть икс обращается в ноль, то есть cos(Vт)=-e) мнимая часть икс по абсолютной величине равна корню квадратному из (1-e^2) деленному на р. Вместо (опять-таки отождествляемого с абсолютной величиной икс) 1/r=1/р, как должно быть согласно уравнению конического сечения. Использовано только изучаемое в школе тригонометрическое тождество sin^2(a) = 1 - cos^2(a), справедливое для любого а.  

То есть траектория, полученная Петровым - не эллипс, хоть тут тресни. Что тут понимать-то?

aid, herodotus - вы со мной согласны? А то топикстартер как-то прямым текстом посылает нас уйти.

Тут я все равно не понимаю, как соотносится рассмотрение действительной переменной и комплексной. Обычно с помощью комплексных чисел описывают колеблющиеся величины и смысл имеет их проекция на действительную (или мнимую) ось. Ясно, что на комплексной плоскости у Петрова не эллипс, а окружность с центром в точке (e,0). Но как это соотносится с траекторией в действительной плоскости, что-то до меня не доходит. Если считать, что смысл имеет действительная часть х, то ясно, что это решение не соответствует движению по эллипсу по указанной Вами причине - оно два раза за период обращается в 0.

[Herodotus]

А с кем мы тогда разговариваем? Да и зачем?

Я не ставлю себе целью кого-то убеждать. К счастью, науке пока не удалось навязать демократию и уважение к чувствам альтернативно обученных и инакоодарённых. Поэтому я просто комментирую. Сапиентис сат.

[Петров А. М.]

Активность обсуждения темы неплохая, но критика совершенно мимо цели. Неужели кому-то могло прийти в голову (а я стал бы это подтверждать), что после любого из трёх применённых мною функциональных преобразований с целью "гармонизировать" процесс перемещения небесного тела по эллиптической орбите, вид кривой, описывающей движение, не претерпит существенных изменений? Разве в обобщённых координатах и времени у меня эллипс? В любой из применяемых мною систем координат на равномерное круговое движение накладывается неподвижный в пространстве вектор. От эллипса тут уже ничего в явном виде нет! И, тем не менее, обратными преобразованиями мы получаем исходное уравнение конического сечения, но уже с указанием функциональной зависимости координаты от реального времени, чего в исходном уравнении не было. В этом и состоит смысл этой процедуры. Смешно, однако...
А вот уже не так смешно выглядит настойчивое требование ко мне объяснить, почему в задаче об осцилляторе величину –хF(t),  "приснившуюся" горе-аналитикам, а теперь вот и в Кеплеровой задаче величину –α/m, ими же «взятую с потолка», нельзя определить и трактовать как «потенциальную энергию системы». Да потому, что обе эти величины к каждой из рассматриваемых задач имеют такое же отношение, какое народ называет «пришей кобыле хвост». Если не заниматься «фантазиями», а решать задачу строгими математическими методами, то эти функции ни в каком виде в данных задачах не появятся (ни как потенциальная, ни как энергия вообще). И если даже это «не понятно» (если по-честному, без «придуривания»), то о чём дальше говорить?!

[yakiniku]

И, тем не менее, обратными преобразованиями мы получаем исходное уравнение конического сечения

Вам же продемонстрировано, что не получаете. На комплексной плоскости икс-малое взяты четыре точки (где окружность x(т) пересекает комплексную и мнимую ось), произведено "обратное преобразование" этих точек на действительную плоскость, и на действительной плоскости эти точки на эллипсе не лежат: две лежат, а две нет. Вы ничего не поняли, что ли? На действительной плоскости Ваша траектория проходит через перигелий, через афелий, но перпендикулярную к линии афелий-перигелий ось координат она пересекает на большем расстоянии чем правильный эллипс.

То есть - работа грубо ошибочна. Даже траектория не эллиптическая. Просто Вы к действительной плоскости, на которой траектория должна быть эллиптической, ответ свой пересчитать даже не пытались. И не пытаетесь - хотя именно об этом и аид и я Вас стыдно вспомнить сколько раз просили. И слова Ваши - ровно ничего не стоят: потому что я Вам, как и всегда, расчетами доказываю что Вы неправы, а Вы, не понимая этих расчетов, голословно заявляете, что Вы правы. Ну, заявляйте - никто только не поверит.

Обновил Обсуждение http://bolshoyforum.com/wiki/index.php/Обсуждение:Кеплерова_задача_–_критерий_качества_точных_наук. Что-то много времени тратим - а толку никакого, ни для Вас ни для нас. Крикнули Вы громко - что мол задачу Кеплера решили, - мы сдуру сбежались, а Вы нам и показать нечего не можете.

[Вашкевич Виктор]

То есть - работа грубо ошибочна. Даже траектория не эллиптическая. Просто Вы к действительной плоскости, на которой траектория должна быть эллиптической, ответ свой пересчитать даже не пытались. И не пытаетесь - хотя именно об этом и аид и я Вас стыдно вспомнить сколько раз просили. И слова Ваши - ровно ничего не стоят: потому что я Вам, как и всегда, расчетами доказываю что Вы неправы, а Вы, не понимая этих расчетов, голословно заявляете, что Вы правы. Ну, заявляйте - никто только не поверит.

Я Петрову поверил. Меня только угнетает то, что Петров, критикуя  попытки официальной науки
притянуть за уши "баланс энергий" в резонансе, продолжает верить в "баланс энергий".
При резонансе энергия системы растет, а он этого не может или не хочет признать.

[aid]

> В любой из применяемых мною систем координат на равномерное круговое движение накладывается неподвижный в пространстве вектор. От эллипса тут уже ничего в явном виде нет! И, тем не менее, обратными преобразованиями мы получаем исходное уравнение конического сечения, но уже с указанием функциональной зависимости координаты от реального времени, чего в исходном уравнении не было. В этом и состоит смысл этой процедуры. Смешно, однако...

Сударь Петров, прекратите паясничать. Пока все оппоненты просят от Вас представить ответ на задачу в действительной форме. Я
 даже облегчаю Вам задачу - привожу вариант: r=p/[Cos(Vτ) + е)]. Правильно я понял? Если нет, то запишите правильный вариант.



> А вот уже не так смешно выглядит настойчивое требование ко мне объяснить, почему в задаче об осцилляторе величину –хF(t),  "приснившуюся" горе-аналитикам, а теперь вот и в Кеплеровой задаче величину –α/m, ими же «взятую с потолка», нельзя определить и трактовать как «потенциальную энергию системы». Да потому, что обе эти величины к каждой из рассматриваемых задач имеют такое же отношение, какое народ называет «пришей кобыле хвост». Если не заниматься «фантазиями», а решать задачу строгими математическими методами, то эти функции ни в каком виде в данных задачах не появятся (ни как потенциальная, ни как энергия вообще). И если даже это «не понятно» (если по-честному, без «придуривания»), то о чём дальше говорить?!

Сударь Петров, в науке нужны доказательства, а не лозунги и демагогия. Кстати, как я Вам доказал, по Вашей логике, в задаче Кеплера и кинетической энергии тоже нет
А вообще - забавно слышать про строгие математические методы от человека, который, когда ему нужно, отказывается от теоремы косинусов ?

[aid]

И не пытаетесь - хотя именно об этом и аид и я Вас стыдно вспомнить сколько раз просили. Крикнули Вы громко - что мол задачу Кеплера решили, - мы сдуру сбежались, а Вы нам и показать нечего не можете.

По-видимому, Петрову льстит, что его работы, которые никто никогда не обсуждал в интернете, здесь обсуждают знающие люди. И он старается всеми способами протянуть обсуждение, осознавая, что как только он даст ответ в действительной форме, обсуждение практически тут же прекратится.

[yakiniku]

Активность обсуждения темы неплохая.

Это завсегда! Будут потом ссылки: "на мою тему было 2500 кликов" без упоминания что в 250 постах при этом кликавшие написали - "Какая чушь!"

По-видимому, Петрову льстит, что его работы, которые никто никогда не обсуждал в интернете, здесь обсуждают знающие люди. И он старается всеми способами протянуть обсуждение, осознавая, что как только он даст ответ в действительной форме, обсуждение практически тут же прекратится.

Да не понимает топикстартер, что это значит - дать ответ в действительной форме. По науке, если исходно он выполнил "конформное" преобразование действительной плоскости на плоскость комплексного переменного икс-малое, то в конце необходимо совершить "обратное конформное преобразование" от икс-малое к декартовам или полярным координатам на плоскости. А он и с прямым "конформным преобразованием" ничего не может объяснить - то есть на вопрос как он ввел икс-малое ответа не может дать.

Вообще в данном случае грубейшим образом нарушен принцип постановки задачи механики, которая всегда и всюду звучит так: в начальный момент времени заданы декартовы (или полярные или иные) координаты, полностью характеризующие положение тела и его скорость, необходимо найти положение тела и его скорость во все последующие моменты времени. А Петров что значение комплексной величины икс-малое для исходного положения тела, что действительное положение тела в момент времени тэ исходя из полученной им неявной функции для икс-малое, определить не может. То есть у него не то что решения нет, у него даже постановки задачи нет - а есть не связанные ни с какой реальностью манипуляции с безграмотно введенной комплексной функцией, не дающие в результате даже эллиптической траектории движения.

Пример правильной постанокви задачи Кеплера и ее решения на комплексной плоскости дан в http://bolshoyforum.com/wiki/index.php/Обсуждение:Кеплерова_задача_–_критерий_качества_точных_наук. При этом вводятся характеризуюшие положение тела декартовы координаты, через них определяется переход к комплексной плоскости и введение комплексной координаты, сформулировано уравнение движения для зависящей от времени комплексной координаты тела, выведены законы сохранения энергии и момента импульса в комплекной форме - и затем переход к эйлеровой форме для комплексной переменной в законах сохранения сводит решение задачи к общеизвестным квадратурам.

Чтобы окончательно подчеркнуть абсурдность решения Петрова для задачи Кеплера, отмечу следующее поразительное обстоятельство. Период обращения планеты вокруг Солнца, понимаемый как интервал времени между моментами афелия, согласно его решению равен 2\pi (rА)/V , где (rА) это расстояние от точки афелия до притягивающего центра (при этом условии Vт=Vt/(rA) изменяется на 2\pi). А период обращения планеты вокруг Солнца, понимаемый как интервал времени между моментами перигелия, равен 2\pi (rП)/V , где (rП) это расстояние от точки перигелия до притягивающего центра, которое для какой-нибудь кометы может быть раз в сто с половиной короче. То есть, согласно Петрову, какая-нибудь комета Галлея за время путешествия от афелия до афелия успевает сто с половиной раз проскочить через точку перигелия. Полная чушь.

[Петров А. М.]

Вашкевич Виктор:
"При резонансе энергия системы растёт, а он этого не может или не хочет признать».
Вы, наверное, пропустили мой ответ, где я отметил, что мы по-разному понимаем слово «баланс». В формуле для энергии осциллятора в режиме резонанса ясно видно, что эта энергия растёт квадратично во времени (где и как я мог против этого возражать?). А понятие баланса не должно ассоциироваться лишь с равенством неких констант. Уравнения не только силового баланса, но и энергетического баланса (если, конечно, последний получен интегрированием силового баланса, а не «гаданием на кофейной гуще», как в лагранжевом формализме), представляют собой равенства переменных величин. После подстановки в эти балансы результатов решения задачи они превращаются в  равенства-тождества переменных (изменяющихся «синхронно») величин.
aid:
«…Привожу вариант: r=p/[Cos(Vτ) + е)]. Правильно я понял? Если нет, то запишите правильный вариант».
Нет, не так. Мы возвращаемся к исходному уравнению конического сечения через вращающуюся систему координат, поэтому должно быть: r=p/[1+е сos(Vτ)].
Но если к этому уравнению не «привезти на хвосте» всю «триаду векторов» (координат-скоростей-ускорений), то мы дальше этого исходного уравнения конического сечения так и не двинемся.
yakiniku:
«…Согласно Петрову, какая-нибудь комета Галлея за время путешествия от афелия до афелия успевает сто с половиной раз проскочить через точку перигелия. Полная чушь…».
Да нет ничего этого у Петрова: расстояния, фазы прохождения особых точек орбит и т.д.,– всё остаётся на своих местах. Приведением (обобщённого) времени к расстоянию до центра притяжения мы всего лишь изменяем темп течения времени, т.е. приводим его к равномерному, а затем возвращаемся к реальному времени.
«На комплексной плоскости икс-малое взяты четыре точки (где окружность x(т) пересекает комплексную и мнимую ось), произведено "обратное преобразование" этих точек на действительную плоскость, и на действительной плоскости эти точки на эллипсе не лежат: две лежат, а две нет. Вы ничего не поняли, что ли? На действительной плоскости Ваша траектория проходит через перигелий, через афелий, но перпендикулярную к линии афелий-перигелий ось координат она пересекает на большем расстоянии, чем правильный эллипс».
Видимо, у оппонента просто нет желания понять смысл моей методики расчётов. Сначала идут преобразования в рамках функций действительного переменного, и уже здесь траектория по форме заметно отличается от исходной эллиптической (какой смысл «играть» на этих отличиях?). Только после перехода к обобщённому времени, т.е. после окончательной «гармонизации» отклонений орбиты от исходной круговой, мы переходим на комплексную плоскость. Вносит ли этот переход какие-либо искажения в условия задачи? Был действительный косинус – стала комплексная экспонента. Была амплитуда колебаний – стал модуль комплексного числа, означающий радиус вращения. При этом в действительную часть, связывающую нас с исходным уравнением конического сечения, никаких изменений не вносится.
Зато на комплексной плоскости мы обнаруживаем второе вращение (которое ранее, имея лишь исходное уравнение конического сечения, мы не могли заметить). Именно это и позволяет, во-первых, вскрыть отнюдь не очевидный физический смысл эллиптического движения как совокупности двух вращений, а, во-вторых, дать явную аналитическую зависимость координат, скоростей и ускорений от (обобщённого) времени.
Обратный пересчёт от обобщённого к реальному виду координат и времени должен происходить в строго определённом порядке, дабы аналитик случайно не оказался в плену таких же физических бессмыслиц, в которые раз за разом (и, видимо, со всё бóльшим удовольствием) сам себя загоняет наш «доброжелательно настроенный» оппонент. Конечно, его труд не пропадёт даром, и, если он в очередной раз не сотрёт свои посты, мы поместим их в приложении с пометкой: «примеры того, как не надо поступать».

[Петров А. М.]

Но для нас всё-таки более важен физический смысл задачи, чем абстрактная математическая символика (если они вступают в противоречие друг с другом, то … «тем хуже для физического смысла», говорит оппонент; но мы скорее пересмотрим символику). Вот и давайте, для лучшего уяснения существа задачи, проведём сравнительный (для разных подходов) расчёт энергетических показателей движения по эллиптической орбите.
Начнём с исходного кругового движения радиусом р (это будет также параметр будущей эллиптической орбиты), совершающегося под действием силы гравитации, равной, согласно закону всемирного тяготения, величине α/r² (величину массы небесного тела примем равной единице).
Из равенства центробежной силы V²/р и силы гравитации α/р² (на данной круговой орбите) получаем величину кинетической энергии Е=V²/2=α/2р. И вот уже мы достигли того рубежа, где у нас с оппонентами начинаются принципиальные разногласия.
Я полагаю, что величина Е - это полная энергия движущегося тела, и никакой другой, по имеющимся на данный момент условиям задачи, у него нет.
Есть, говорят оппоненты! Ведь если тело поместить в бесконечно удалённую точку … Стоп! Этими сказками мы уже наслушались вдоволь. Кто требует «загонять» туда тело? Как это физически осуществить? Ах, это всего лишь «мысленный эксперимент». И спрашивается, почему Эйнштейну можно было подобными «мысленными экспериментами» безнаказанно морочить голову людям более ста лет, а нам нельзя?
Нельзя! Время научных жуликов эйнштейнов и ландау закончилось! По крайней мере, для честных, перед собой и перед людьми, физиков-теоретиков и естествоиспытателей.
Сила гравитации в данной задаче есть, а вот радиального перемещения тела, по которому интегрирование силы дало бы отличную от нуля работу, нет! Так что и никакой «потенциальной энергии», если не предусмотрено переходов тела на другие орбиты, здесь нет, «по определению».
А вот теперь, согласно изменённым условиям задачи, пусть то же тело движется по эллиптической орбите с параметром р и эксцентриситетом е. Какова энергия этого движения? Для большей наглядности (и упрощения расчётов) примем эксцентриситет орбиты равным ½.
Тогда расстояние до центра притяжения в перицентре орбиты будет равно р/(1+е)=2р/3, а в апоцентре р/(1–е)=2р. В этих точках орбиты радиус кривизны равен параметру р. Из баланса силы гравитации и центробежной силы находим величины кинетической энергии в этих точках орбиты: Vmax²/р=α/(2р/3)², Vmax²/2=9α/8р; Vmin²/р=α/(2р)², Vmin²/2=α/8р.
Как видим, в перицентре орбиты кинетическая энергия больше, чем на исходной круговой орбите, на величину 5α/8р. А в апоцентре она меньше на 3α/8р.
 А теперь посмотрим, сможет ли сила гравитации, совершая работу (по сближению тела с центром притяжения или удалению его от центра притяжения) пополнить или отнять у тела указанную выше кинетическую энергию.
Интегрируем силу по радиальному направлению так, как учат Ландау-Лифшиц, сначала в пределах от р до 2р/3, затем от р до 2р:
U1= ∫(α/r²)dr=α/р–3α/2р=–α/2р, U2=α/р–α/2р=α/2р.
Подобные расчёты сам Ландау несомненно проделывал, но совершенно ясно, что результаты ему не могли понравиться, поскольку они никак не укладываются  в его методологическую конструкцию, основанную на законе сохранения энергии.
Не соблюдается здесь этот закон! Второй закон Кеплера (сохранения момента импульса) соблюдается, а этот – нет.
Более того, даже закон эквивалентного обмена энергией между телом и внешним источником гравитации здесь соблюдается не в каждый момент времени, а только в среднем. Действительно, разность величин кинетической энергии в точках перицентра и апоцентра составляет 5α/8р+3α/8р=α/р. И ровно столько же составляет разность работ внешней силы по увеличению и уменьшению  кинетической энергии тела:
α/2р–(–α/2р)= α/р.
Однако механизм неравномерности указанного выше энергообмена Ландау ни выяснять, ни объяснять не стал. Он просто грубо обманул (в очередной раз: истории с осциллятором и волчком мы не забыли и прощать не намерены!) свою столь благодарную, но и совершенно беззащитную, студенческую аудиторию!
Вот я и прошу определиться, кто ещё готов оставаться на стороне этого научного жулика.