Задача на абсолютно упругое центральное столкновение двух шаров.

[severe]

Север, ваш ход.

По-моему, для \( u<v \):

\( (V_{1x})_u=V_{1x}+u=\frac{3}{4}v+u \)

\( (V_{1y})_u=V_{1y}=-\frac{\sqrt 3}{4}v \)

\( (V_{2x})_u=V_{2x}-u= \frac{v}{4}-u \)

\( (V_{2y})_u=V_{2y}=\frac{\sqrt 3}{4}v \)

У меня первый шар правый, второй левый.

Нет, неверно. Потом, может, ещё подумаю.

[Иван Горин]

Модуль скорости левого шара после удара \( \frac{1}{2}\sqrt{v^2+3u^2} \)

Модуль скорости правого шара после удара \( \frac{1}{2}\sqrt{3v^2+u^2 } \)

А углы лень считать. ))

Модули скоростей правильные.
Но уголки тоже нужны. Это посложнее. Как и в задаче Иссена. Такой же принцип.
Скоро вернемся к уголкам Смотрителя (Въювера) и Дадхи с Радионелюбителем. Помнишь таких рыбок?

[ER*]

Модули скоростей правильные.
Но уголки тоже нужны. Это посложнее. Как и в задаче Иссена. Такой же принцип.
Скоро вернемся к уголкам Смотрителя (Въювера) и Дадхи с Радионелюбителем. Помнишь таких рыбок?

Бетрахтера и Дадхи знаю. Радионелюбителя не знаю. ))

[mpn2]

Угол удара войдёт, а радиус-то откуда? )) Ведь угол не зависит от радиуса.

----------------
У вас клиника! Угол как раз от радиуса и зависит.

[Иван Горин]

----------------
У вас клиника! Угол как раз от радиуса и зависит.

С какой стати, если радиусы шаров одинаковые.

[ER*]

----------------
У вас клиника! Угол как раз от радиуса и зависит.

А у Вас позднее зажигание, однако. )) Давно уже решили  первоначальную задачу Горина, и уже вторую решили, а тут Вы... ))


Если радиусы увеличить в десятъ раз, то углы ... не изменятся. Внезапно. )) Какая разница какие у шаров радиусы, главное, одинаковые.

[severe]

Модули скоростей правильные.
Но уголки тоже нужны. Это посложнее. Как и в задаче Иссена. Такой же принцип.

Неужели опять предстоит встреча с трансцендентным уравнением?

[severe]

Если радиусы увеличить в десятъ раз, то углы ... не изменятся. Внезапно. )) Какая разница какие у шаров радиусы, главное, одинаковые.

А у Вас позднее зажигание, однако. )) Давно уже решили  первоначальную задачу Горина, и уже вторую решили, а тут Вы... ))


Если радиусы увеличить в десятъ раз, то углы ... не изменятся. Внезапно. )) Какая разница какие у шаров радиусы, главное, одинаковые.

Я, конечно, тоже не схватываю на лету. Но Mpn2 всё равно поймёт гораздо позже меня, что \( \frac{1}{2}=\frac{R}{2R}=\sin 30° \)

[Иван Горин]

Неужели опять предстоит встреча с трансцендентным уравнением?

Нет, не предстоит.

[Иван Горин]

Вот и ответ на новую задачку в графическом виде. ))

Правильное графическое решение ERа.
Найдём вектора скоростей из этого решения в аналитической форме.
Для верхнего рисунка.
По обозначениям Севера это будет вектор скорости левого шара после соударания.
\(\displaystyle \vec{V_2}=\frac{v-u}{2}e^{i60°}+u=\frac{v-u}{2}\cos 60°+i\frac{v-u}{2}\sin 60°+u\)
\(\displaystyle \vec{V_2}=\frac{v-u}{4}+u +i\frac{\sqrt{3}(v-u)}{4}=\frac{v+3u}{4} +i\frac{\sqrt{3}(v-u)}{4}\)
\(\displaystyle \vec{V_2}=\frac{v+3u}{4} +i\frac{\sqrt{3}(v-u)}{4}\) (1)
Реальная часть вектора скорости - это проекция  на ось OX
Мнимая часть вектора скорости - это проекция  на ось OY
\(\displaystyle V_2^2=\left ( \frac{v-3u}{4}\right )^2 +\left (\frac{\sqrt{3}(v-u)}{4}\right )^2\)
После преобразований получим
\(\displaystyle V_2=\frac{\sqrt{v^2+3u^2}}{2}\)
Эту формулу правильно вывел ER.
Тангенс угла из формулы (1)
\(\displaystyle \tan \alpha _2=\frac{\sqrt{3}(v-u)}{v+3u}\)

Для нижнего рисунка, то есть для правого шара предлагаю, Северу, вывести формулы по аналогии.

[ER*]

\(\displaystyle V_2=\frac{\sqrt{v^2+3u^2}}{2}\)
Эту формулу правильно вывел ER.
Тангенс угла из формулы (1)
\(\displaystyle \tan \alpha _2=\frac{\sqrt{3}(v-u)}{v+3u}\)

Для нижнего рисунка, то есть для правого шара предлагаю, Северу, вывести формулы по аналогии.

А я предлагаю воспользоваться тем, что при попарной замене переменных v на u, все полученные выражения останутся верными. Действителъно, при попарной замене переменных v на u, мы просто получаем симметричную задачку. Мы просто меняем вектора местами, а в изотропном и однородном пространстве это не приводит к новому виду решения.

Таким образом:

\(\displaystyle V_1=\frac{\sqrt{u^2+3v^2}}{2}\)
Тангенс:
\(\displaystyle \tan \alpha _1=\frac{\sqrt{3}(u-v)}{u+3v}\)

(При v > u тангенс отрицательный, что логично: угол повёрнут ниже оси Х, т.е. отрицательный.)

И думать не надо, только тупо поменять буковки v и u. )))

[mpn2]

С какой стати, если радиусы шаров одинаковые.

-------------------------------------
То как вы нарисовали задачу, то это частный случай. Т.е. вертикальное смещение между двумя Ц.Т. равно ровно 1 радиус.
Таким образом РАДИУС участвует в формировании угла.
А можно увеличить радиусы шаров в два раза, а смешение оставить прежним и РАДИУС опять будет участвовать в формировании угла.
 

[ER*]

-------------------------------------
То как вы нарисовали задачу, то это частный случай. Т.е. вертикальное смещение между двумя Ц.Т. равно ровно 1 радиус.
Таким образом РАДИУС участвует в формировании угла.
А можно увеличить радиусы шаров в два раза, а смешение оставить прежним и РАДИУС опять будет участвовать в формировании угла.
 

А нас интересует не просто угол, а угол при соприкосновении, т.е. угол удара. И он не зависит от радиуса, если шары одинаковые. ))

[mpn2]

А нас интересует не просто угол, а угол при соприкосновении, т.е. угол удара. И он не зависит от радиуса, если шары одинаковые. ))

------------------------
Как интересно у вас работает мозг!
А напишите мне формулу по которой вы находите угол при соприкосновении. И напишите ее так, чтобы в этой формуле не было радиуса шара!

[ER*]

------------------------
Как интересно у вас работает мозг!
А напишите мне формулу по которой вы находите угол при соприкосновении. И напишите ее так, чтобы в этой формуле не было радиуса шара!

Гипотенуза прямоугольного треугольника 2R, малый катет R. Углы 60°-30°-90°

Я, конечно, тоже не схватываю на лету. Но Mpn2 всё равно поймёт гораздо позже меня, что \( \displaystyle\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}=\sin 30° \)

[Олег Владимирович Лавринович]

Мне транспортиром что ли мерить? Мне кажется 45. Угол наклона касательной к оси ОХ.

Иллюзия. Там 60 градусов.

[mpn2]

R/2R=1/2=sin30°

--------------------
Видите как у вас (у математиков) мозг работает:
Берете формулу где радиус присутствует в двух местах и в числителе и в знаменателе
Затем делаете сокращение и полу получается 1/2
И затем кричите на всю округу (после сокращения): "УГОЛ от радиуса НЕ ЗАВИСИТ!!!" 
--------------------
А 1/2 у вас откуда получилась? Не после того как вы проанализировали катит и гипотенузу, которые свои значения имеют именно от значения радиуса.

[ER*]

А 1/2 у вас откуда получилась? Не после того как вы проанализировали катит и гипотенузу, которые свои значения имеют именно от значения радиуса.

Можно и без анализа: углы у конгруэнтных треугольников всегда одинаковые. Анализ нужен только чтобы получить конкретное значение угла 30°. Но чтобы сказать, что углы не зависят о радиуса, никакой анализ не нужен - это свойство конгруэнтности.

Не советую Вам далее педеалировать эту тему. Придёт Иван, и выпишет Вам горчичник за тупость. ))

[mpn2]

Не советую Вам далее педеалировать эту тему. Придёт Иван, и выпишет Вам горчичник за тупость. ))

---------------------------------
Иван не такой дурак как вы там себе думаете. И горчичник за тупость будет именно вам! Чуть позже нарисую вам рисунок, может после рисунка ваш мозг начнет функционировать в правильном направлении.

[mpn2]

Можно и без анализа: углы у конгруэнтных треугольников всегда одинаковые. Анализ нужен только чтобы получить конкретное значение угла 30°. Но чтобы сказать, что углы не зависят о радиуса, никакой анализ не нужен - это свойство конгруэнтности.

------------------------------
во первых: Когда говорят о треугольниках и о том что у разных треугольников одинаковые углы, то применяют слово "подобие", а не слово "конгруэнтность".
Второе: Если мы с вами параллельно вектору скорости первого шара проведем линию через Ц.М. второго шара, то мы получим некое смещение данных линий, которое для простоты общения можно назвать некой "высотой смещения = h"
 Так вот: угол который мы ищем имеет вот такую формулу: h/2R = Sin(a)
Таким образом угол который мы ищим зависит от двух параметров: от высоты (h)  и от радиуса шара. Поэтому говорить, что "угол от радиуса не зависит" - это глупо!

Теперь смотрите на картинки:


На первом рисунке мы имеем дополнительное условие о том, что высота (h) = радиусу (R) поэтому при делении h/2R мы получаем 0.5.
Но это частный случай, т.к. есть дополнительное условие.

На втором рисунке мы НЕ имеем дополнительное условие о том, что высота (h) = радиусу (R) поэтому высоту я оставляю ту же и  при делении h/2R мы получаем 0.4.

И в том и в другом случае угол зависит от радиуса. Но в одном случае есть дополнительное условие, а в другом нет. Поэтому чтобы вы могли кричать на всю Ивановскую, что:
углы не зависят о радиуса - надо было бы, чтоб бы Иван Горин озвучил вам дополнительное ОБЯЗАТЕЛЬНОЕ условие о том, что:
"При изменении диаметра шаров НЕОБХОДИМО сделать так, чтобы высота (h)  всегда была равна радиусу (R)"
Вот тогда вы бы имели право кричать о том о чем вы кричите, и то с оговоркой, что это - ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ!

-----------------------
А на сколько мне известно, то в условии задачи у Ивана Горина дополнительное ОБЯЗАТЕЛЬНОЕ условие не озвучено!

На оси X покоится шар с центром на оси абсцисс. Другой шар движется в его сторону со скоростью v. Уравнение линии по которой движется этот шар Y=R.
Радиусы шаров R=5 см. Массы равны.
Найти векторы скоростей шаров после абсолютно упругого столкновения.

p.s. всеобщая беда математиков заключается в том, что при решении математических уравнений они так увлекаются "частными случаями", что начинают переносить некоторые виденья которые характерны ТОЛЬКО для частного случая  - на общее понимание физического процесса, и тем самым придумывают ЧУШЬ не свойственную общему физическому процессу и общему физическому закону.