Задача на абсолютно упругое центральное столкновение двух шаров.

[ER*]

надо было бы, чтоб бы Иван Горин озвучил вам дополнительное ОБЯЗАТЕЛЬНОЕ условие о том, что:
"При изменении диаметра шаров НЕОБХОДИМО сделать так, чтобы высота (h)  всегда была равна радиусу (R)"
-----------------------
А на сколько мне известно, то в условии задачи у Ивана Горина дополнительное ОБЯЗАТЕЛЬНОЕ условие не озвучено!

Очень умным людям не нужно озвучивать дополнительные условия, которые просто умные люди сочтут саморазумеющимися. ))

[Иван Горин]

А я предлагаю воспользоваться тем, что при попарной замене переменных v на u, с одновременной заменой знака, все полученные выражения останутся верными. Действителъно, при попарной замене переменных v на u, с одновременной заменой знака, мы просто получаем зеркально-симметричную задачку.

Таким образом:

\(\displaystyle V_1=\frac{\sqrt{u^2+3v^2}}{2}\)
Тангенс:
\(\displaystyle \tan \alpha _1=\frac{\sqrt{3}(u-v)}{u+3v}\)

(При v > u тангенс отрицательный, что логично: угол повёрнут ниже оси Х, т.е. отрицательный.)

И думать не надо, только тупо поменять буковки v и u и знаки перед ними. )))

ER, действует ли это правило для любых углов столкновения.
Например уравнения движения левого шара y=kR. k<2
Синус угла столкновения
sin альфа=k/2
Разумеется этот угол не зависит от радиусов шаров, так как радиусы одинаковые.

[mpn2]

Очень умным людям не нужно озвучивать дополнительные условия, которые просто умные люди сочтут саморазумеющимися. ))

--------------------------
Умные люди не будут озвучивать что "радиус шара не влияет на угол удара".
Они просто возьмут молча правильную формулу ОБЩЕГО случая: Sin(a) = h/2R И посчитают угол:
А именно:
т.к.  в нашей задачи от Ивана Горина h=R, то Sin(a) в данном случае буде равен 0,5, т.е. а=30° ...... и все!
А если у человека очень плохо с головой, то он начнет кричать на каждом углу, что "радиус не влияет на угол удара", но при этом сам этот человек пользуется формулой в которой радиус представлен в знаменателе в виде двух радиусов.

Запомните: Сокращенные формулы от математиков - это ближайший путь к идиотизму. Дело в том, что в сокращенной формуле утерян физический смысл происходящего физического процесса. Если поставить цель сделать из человека идиота, то обучать его надо только сокращенным формулам и тогда успех гарантирован. Именно идя по такому пути математика где то на рубеже 1950-1960х годов уничтожила физику. И теперь к примеру 99,9% населения не знают, что на планете Земля по определению Ньютона - нет движения по инерции. И теперь к примеру 99,9% населения не знают, что вода в трубе при переходе из толстого сечения в тонкое не ускоряется в тонкой трубе, а замедляется в толстой трубе. Ну и так далее .....

[mpn2]

Разумеется этот угол не зависит от радиусов шаров, так как радиусы одинаковые.

--------------------------------
На угол влияет два параметра и радиус и смешение (h).
Поэтому говорить о том что раз шары одинаковые то радиус меняться не будет - неправильно!
Еще надо говорить о том что при смене радиуса надо изменить и (h) так чтобы h=R.
--------------------------------
Самое смешное в том, что при реальной игре в биллиард  Вы можете сделать 1000 ударов и так и ни разу не получить удар при котором h будет равно R.

Поэтому правильно надо говорить так:
Разумеется этот угол  В ДАННОМ СЛУЧАЕ не зависит от радиусов шаров, так как радиусы одинаковые и h равно R.

[ER*]

Поэтому правильно надо говорить так:
Разумеется этот угол  В ДАННОМ СЛУЧАЕ не зависит от радиусов шаров, так как радиусы одинаковые и h равно R.

Уточнение  "В ДАННОМ СЛУЧАЕ"  - вообще лишнее. Ибо конкретно заданная задача уже по определению и есть  "ДАННЫЙ СЛУЧЙ". ))

Очень умные люди не нуждаются в уточнениях, которые просто умные люди сочтут саморазумеющимися. ))

[mpn2]

R/2R=sin(a)

--------------------------
А вот эта формула - это формула частного случая или общего случая?

[ER*]

ER, действует ли это правило для любых углов столкновения.
Например уравнения движения левого шара y=kR. k<2
Синус угла столкновения
sin альфа=k/2
Разумеется этот угол не зависит от радиусов шаров, так как радиусы одинаковые.

Симметрия при взаимозамене индексов справедлива даже для шаров с разной массой. Доказательство:

Стpочные буквы - импульсы до соударения, заглавные - после. Kрасный шар с индексом 1, синий - с индексом 2.

Пусть для \( \displaystyle P_1 \) имеется некая векторная функция \( \displaystyle  \vec{\Theta} \)

\( \displaystyle \vec{P_1} = \vec{\Theta}(\vec {p_1}, \vec {p_2}) \) пригодная для любых произвольных \( \displaystyle \vec {p_1}, \vec {p_2} \)

Тогда можно записать \( \displaystyle \vec{P'_1} = \vec{\Theta}(\vec {p'_1}, \vec {p'_2}) \) (послеударный импульс произвольного красного шара при его столкновении с произвольным синим).

Пусть \( \displaystyle \vec {p'_1} = \vec {p_2} \) и \( \displaystyle\vec {p'_2} = \vec {p_1}\;; \) (666)

тогда

\( \displaystyle \vec{P'_1} = \vec{\Theta}(\vec {p_2}, \vec {p_1}) \)



Из этой иллюстрации, где нарисованы две совершенно одинаковых картинки, отличающиеся только заменой цвета (которая следует из (666)), очевидно следует \( \displaystyle \vec{P'_1} =\vec{P_2} \)

Итого:

из \( \displaystyle \vec{P_1} = \vec{\Theta}(\vec {p_1}, \vec {p_2}) \)
с необходимостью следует \( \displaystyle \vec{P_2} = \vec{\Theta}(\vec {p_2}, \vec {p_1}) \)

ЧТД ))

[severe]

Симметрия при взаимозамене индексов справедлива даже для шаров с разной массой

Для одномерного случая шаров с любыми массами мы уже вывели кинематические законы.
Теперь нам предстоит вывести кинематические законы для двумерного случая шаров с любыми массами.
Я пожалуй начну

Дано: \( (V_{1x}-v_{1x})^2+(V_{1y}-v_{1y})^2=\frac{j}{i}[(V_{2x}-v_{2x})^2+(V_{2y}-v_{2y})^2] \).
Наити: \( \frac{j}{i} \)

Ответ: \( \frac{j}{i}=\frac{(V_{1x}-v_{1x})^2}{(V_{2x}-v_{2x})^2}=\frac{(V_{1y}-v_{1y})^2}{(V_{2y}-v_{2y})^2} \)
Соответственно, первый кинематический закон \( \frac{V_{1x}-v_{1x}}{V_{2x}-v_{2x}}=\frac{V_{1y}-v_{1y}}{V_{2y}-v_{2y}}. \) Есть ли ещё и второй?
А второй скорей всего (но мне уже часто изменяла чуйка) \( \frac{V_{1x}-v_{1x}}{V_{2x}-v_{2x}}=\frac{V_{1y}-v_{1y}}{V_{2y}-v_{2y}}<0. \)

[Иван Горин]

Это справедливо даже для шаров с разной массой. Доказательство:

Сточные буквы - импульсы до соударения, заглавные - после. Kрасный шар с индексом 1, синий - с индексом 2.

Пусть для \( \displaystyle P_1 \) имеется некая векторная функция \( \displaystyle  \vec{\Theta} \)

\( \displaystyle \vec{P_1} = \vec{\Theta}(\vec {p_1}, \vec {p_2}) \) пригодная для любых произвольных \( \displaystyle \vec {p_1}, \vec {p_2} \)

Тогда можно записать \( \displaystyle \vec{P'_1} = \vec{\Theta}(\vec {p'_1}, \vec {p'_2}) \)

Пусть \( \displaystyle \vec {p'_1} = \vec {p_2} \) и \( \displaystyle\vec {p'_2} = \vec {p_1} \), тогда

\( \displaystyle \vec{P'_1} = \vec{\Theta}(\vec {p_2}, \vec {p_1}) \)



Из этой иллюстрации, где нарисованы две совершенно одинаковых картинки, отличающиеся только заменой цвета, очевидно следует \( \displaystyle \vec{P'_1} =\vec{P_2} \)

Итого:

из \( \displaystyle \vec{P_1} = \vec{\Theta}(\vec {p_1}, \vec {p_2}) \)
с необходимостью следует \( \displaystyle \vec{P_2} = \vec{\Theta}(\vec {p_2}, \vec {p_1}) \)

ЧТД ))

А где углы соударений? Или у тебя, как у Каравашкина. Шары имеют нулевой радиус. Математические точки.

[ER*]

А где углы соударений? Или у тебя, как у Каравашкина. Шары имеют нулевой радиус. Математические точки.

Я не искал конкретные углы. Была доказана более общая лемма:

Если известна функция \( \displaystyle \vec{P_1} = \vec{\Theta}(\vec {p_1}, \vec {p_2}) \), то функция для \( \displaystyle \vec{P_2} \) будет \( \displaystyle \vec{P_2} = \vec{\Theta}(\vec {p_2}, \vec {p_1} \)).

 Ты, разве, не это спрашивал? ))

ER, действует ли это правило для любых углов столкновения?

Это справедливо и для углов: если \( \displaystyle \tan\alpha_1 = f_\alpha (m_1,v_1, m_2, v_2) \), то \( \displaystyle \tan\alpha_2 = f_\alpha(m_2, v_2, m_1, v_1) \).

Это справедливо и для скоростей: если \( \displaystyle V_1 = f_v(m_1,v_1, m_2, v_2) \), то \( \displaystyle V_2 =f_v(m_2, v_2, m_1, v_1) \).

Что позволяет, зная одну скорость (импульс, угол), сразу получить другую. Экономия в два раза. ))

Например, если

\(\displaystyle V_2=\frac{\sqrt{v^2+3u^2}}{2}\)

\(\displaystyle \tan \alpha _2=\frac{\sqrt{3}(v-u)}{v+3u}\)

то

\(\displaystyle V_1=\frac{\sqrt{u^2+3v^2}}{2}\)

\(\displaystyle \tan \alpha _1=\frac{\sqrt{3}(u-v)}{u+3v}\)



А считать конкретный угол скучно. )) Общая лемма интереснее. ))

[severe]

Соответственно, первый кинематический закон \( \frac{V_{1x}-v_{1x}}{V_{2x}-v_{2x}}=\frac{V_{1y}-v_{1y}}{V_{2y}-v_{2y}} \) Есть ли ещё и второй?
А второй скорей всего (но мне уже часто изменяла чуйка) \( \frac{V_{1x}-v_{1x}}{V_{2x}-v_{2x}}=\frac{V_{1y}-v_{1y}}{V_{2y}-v_{2y}}<0. \)

Уже можно формулировать задачу для двумерного случая абсолютно упругого столкновения двух шаров (массы любые, радиусы любые).
 
Дано: \( v_{1x}, v_{2x}, v_{1y}, v_{2y},  \) \( \frac{V_{1x}-v_{1x}}{V_{2x}-v_{2x}}=\frac{V_{1y}-v_{1y}}{V_{2y}-v_{2y}}=c<0 \).
Найти: \( V_{1x}, V_{2x}, V_{1y}, V_{2y}. \)

PS. Поскольку задача сугубо математическая (скорости не дифференцируемы по времени), то вполне логично, что для её решения физические законы не потребуются.
Я вам сразу состряпаю ответ в готовом виде, если только вы мне разъясните, углы между чем и чем тэта 1, тэта 2 и фи в https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%B4%D0%B0%D1%80#%D0%94%D0%B2%D1%83%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%BA%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D1%83%D1%89%D0%B8%D1%85%D1%81%D1%8F_%D0%BE%D0%B1%D1%8A%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D0%B2

[mpn2]

PS. Поскольку задача сугубо математическая (скорости не дифференцируемы по времени), то вполне логично, что для её решения физические законы не потребуются.

--------------------------------
Молодец! Хвалю! по крайней мере поступаете очень по честному! )*&lt;
Перевожу на русский язык то что вы сейчас сказали:
Данная задача, без учета соотношения скорости шаров к их массе и без учета сил сопротивления (трения и сопротивления воздуха) к ФИЗИКЕ не имеет ни какого отношения. Поэтому мы (математики) занимаемся математическим онанизмом и решаем никому не нужные математические задачки.

[severe]

Данная задача, без учета соотношения скорости шаров к их массе и без учета сил сопротивления (трения и сопротивления воздуха) к ФИЗИКЕ не имеет ни какого отношения.

Ну это только, если кинематические законы к физике не имеют отношения
Я возможно немного не так выразился и имел в виду под законами физики законы динамики.

[ER*]

Ну это только, если кинематические законы к физике не имеют отношения

mpn2, по ходу, спутал физику с натурфилософией. ))

[Иван Горин]

Я вам сразу состряпаю ответ в готовом виде, если только вы мне разъясните, углы между чем и чем тэта 1, тэта 2 и фи

Углы векторов скоростей до соударения и угол соударения.

[sergey_B_K]

Углы векторов скоростей до соударения и угол соударения.

Ага... Значит поняли, что центральный удар бывает не только вдоль одной прямой... Ну, и зачем выдумывать, когда уже всё расписано в механике и у меня? "Хай гірше, та інше"? 

[mpn2]

Ну это только, если кинематические законы к физике не имеют отношения
Я возможно немного не так выразился и имел в виду под законами физики законы динамики.

-----------------------------------
Все проще:
Если что то и есть на этом свете реальное то это надо называть "законами природы".
А Физика делится на две физики: на фундаментальную и на физику около научного популярного трепа.
Те, кто занимаются физикой около научного популярного трепа, называют свою физику : "Теоретическая физика". Т.е. можно придумать какую нибудь теорию (идиотскую) создать под эту теорию математическую формулу (тоже идиотскую) и всю жизнь в эту теорию верить. А если стать зав.кафедрой да еще эту теорию вливать в уши студентам, то можно за идиотизм еще и получать зарплату!
Физика около научного популярного трепа - это физика теоретические выкладки которой не соответствуют реальному физическому процессу происходящему в природе и теоретические выкладки которой не подтверждаются экспериментом (опытами), такая физика занимает в наших учебниках около 80%.
Фундаментальная ФИЗИКА - это ФИЗИКА теоретические выкладки которой соответствуют реальному физическому процессу происходящему в природе и теоретические выкладки которой подтверждаются экспериментом (опытами), такая физика занимает в наших учебниках около 20%.

Если мы берем законы ФИЗИКИ с точки зрения Ньютоновской механики (то что вы называете "законами динамики"), то основа Ньютоновской механики состоит в том, что тело которое движется имеет только два параметра: Массу и Скорость. Поэтому Ньютон перемножив Массу на Скорость - получил Импульс (количество движения).
Если договориться, что при движении того или иного тела Масса не меняется, то при решении задач на динамику мы будем иметь ввиду только вопрос об изменении Импульса за счет изменения только Скорости с учетом Массы тела. А изменение Скорости тела происходит по Ньютону за счет "движущей силы", а движущая сила - это сумма всех сил приложенных к телу. Или в упрощенном виде "движущую силу" можно представить как разницу между Силой тяги и Силой трения (сопротивления), формула: F= Fтяг - Fтр.
Поэтому если вы хотите решить "Реальную задачу" о движении шаров после их соударения, то вы должны ее решать в пределах и в рамках второго закона Ньютона, формула:

(V2 - V1)/1сек = (Fтяг - Fтр.)/m, из чего следует, что скорость шаров находится по формуле: V2 = V1 + (Fтяг - Fтр.)*1сек/m


Объясняю популярно: В зависимости от того какой импульс имеет первый шар (какую он имеет Скорость и Массу) и в зависимости от того какую Массу имеет второй шар и Силу трения покоя - можно получить три совершенно противоположных варианта движения (три совершенно разных результата) посте удара.
1. Первый шар может начать двигаться в противоположную сторону  от удара
2. Первый шар может остаться на месте после удара
3. Первый шар может начать двигаться в ту же сторону , в сторону удара
Это по направлению, а еще может быть различный вариант по скаляру скорости.
Примерно тоже со вторым шаром: он после удара может остаться на месте (если его сила трения покоя больше силы удара первого шара), а может приобрести максимально возможную скорость. Таким образом его скорость по скаляру будет находиться в непредсказуемом диапазоне от нуля до возможного максимума.

Так что вы тут решаете: без учета массы, импульсов и сил сопротивления? Меряетесь тем, кто красивей формулку уровня 5го класса по алгебре напишет?
А ФИЗИКА где?

----------------------------------------------
Пока вы не поймете, что математика (которой вы занимаетесь) уничтожила ФИЗИКУ ..... толку от вас не будет.
Вы даже не понимаете что в ФИЗИКЕ нельзя говорить об "абсолютно упругом соударении". Дело в том, что Силой тяги для ворого шара является ПОВЫШЕННОЕ ДАВЛЕНИЕ в точки взаимодействия шаров во время удара. А возникает это давление в результате Упругой ДЕФОРМАЦИИ. А термин  "абсолютно упругое соударении" - это запрет на ДЕФОРМАЦИЮ. Это математический термин, который придумали для того, что бы ввести условие об отсутствии потерь при переходе кинетической энергии при ударе в потенциальную, для того чтобы эти потери не считать. А получилось через жопу, получился запрет на создание силы тяги для второго шара. У вас за счет чего идет разгон второго шара от нуля до 10м/сек к примеру? За счет чего у вас происходит ускорение второго шара если у вас нет упругой деформации между шарами?

[sergey_B_K]

-----------------------------------
Все проще:
Если что то и есть на этом свете реальное то это надо называть "законами природы".
А Физика делится на две физики: на фундаментальную и на физику около научного популярного трепа.

Если Вы возьмёте учебник физики Хвольсона начала прошлого века, то увидите, что там все 100% физики. То же самое в "Курсе теоретической механики" Тарга. Аналогично, если Вы откроете собрание сочинений по мат.физике Кирхгофа, то увидите, что там тоже всё физично и его законы действуют как в гидродинамике, так и в теории электрических цепей.
Так что нужно не шашкой рубить, а понимать различие между альтовством, которое захватило трон и безбожно курочит всё подряд без разбора и действительно наукой - физикой. Для понимания разницы мало сабли. Нужно знание и умение правильного осмысления, а у таких, как Вы, его как раз и нет. Вы с такой ненавистью набрасываетесь на действительно физичные решения и с таким огулом на их авторов, что только смех разбирает от Ваших Вумных речей, которым сами не следуете. 

[mpn2]

если Вы откроете собрание сочинений по мат.физике Кирхгофа, то увидите, что там тоже всё физично и его законы действуют как в гидродинамике, так и в теории ....

------------------------------------
Ответе мне коротко: как Вы лично относитесь к уравнению неразрывности струи в гидродинамике?, которое учит нас тому, что при сужении трубы поток ускоряется.
или если вопрос сложный для вас, то ответе мне коротко: как Вы лично относитесь к тому, что в уравнении Бернулли из уравнения для двух труб с различным диаметром, но лежащих на одном горизонтальном уровне - убрали весовое давление (pgh)? Мне просто интересен ваш уровень знаний ФИЗИКИ!
------------------------------------
Если модератор будет против, что я ухожу от темы и если у вас есть желание блеснуть знаниями, то я могу создать новую тему для более детального общения по гидродинамике! )*<

[sergey_B_K]

------------------------------------
Ответе мне коротко: как Вы лично относитесь к уравнению неразрывности струи в гидродинамике?, которое учит нас тому, что при сужении трубы поток ускоряется.
или если вопрос сложный для вас, то ответе мне коротко: как Вы лично относитесь к тому, что в уравнении Бернулли из уравнения для двух труб с различным диаметром, но лежащих на одном горизонтальном уровне - убрали весовое давление (pgh)? Мне просто интересен ваш уровень знаний ФИЗИКИ!
------------------------------------
Если модератор будет против, что я ухожу от темы и если у вас есть желание блеснуть знаниями, то я могу создать новую тему для более детального общения по гидродинамике! )*<

Вот видите? По своему частному вопросу, в котором Вы явно тоже плаваете, Вы берётесь "инспектировать" мои знания в физике. Обычная практика альтов царьков, в чём Вы не отличаетесь от severe. Тоже свою безграмотность в вину другим ставит.
Итак, ускоряется ли поток при сужении диаметра трубы? Конечно, но с учётом возрастающего сопротивления потоку. А так? Вы никогда не уменьшали диаметр шланга при поливе огорода? Струя дальше бьёт? Это практика.
Аналогично и со вторым вопросом.
Насколько я вижу даже из Википедии там всё на месте

В каких-то задачах могут этим слагаемым пренебречь, но нужно смотреть конкретно условия и соотношение слагаемых, в том числе, и для труб разного диаметра. Вся физика в нюансах.
Огульно обобщать способны только альты-царьки