Бинарная логика.

[Иван Горин]

Ост, наша задача заключается в нахождении отклонения периода приёма Ио на Земле от восходов до восходов в течении земного года.
Максимальные отклонения должны быть примерно ±15 сек.
Задачу необходимо решить точно.
Классическая формула для эффекта Доплера здесь не применима.
По двум причинам.
- и приемник, и источник движутся в неподвижной системе отсчёта Солнца.
- расстояние между источником и приёмником соизмеримо с длиной волны.

Вариант решения задачи у меня есть.
Я застрял на решении тригонометрического уравнения вида:
at²+b=cos(ωt- φ)
необходимо найти t
Возможно это трансцендентное  уравнение.
Тогда придётся cos раскладывать в ряд Тейлора и оценивать остаточный член.

[Ost]

Функция T(t) не содержится в периоде между затмениями Ио.
Это видно по её свойствам. У неё принципиально другой масштаб времени, минуты за период Ио, а максимумы находятся вначале, в середине и конце года.
А по Рёмеру первый максимум появляется примерно в конце первой четверти года, а второй в начале последней четверти.


Эта модель и создавалась с целью показать абсурдность учёта T(t), но почему-то оказалась неэффективной в этом направлении.
Сумма T_Ио + T(t), физически нереальна при измерении периода по затмениям.

[Иван Горин]

Михаил, а как с решением моего уравнения:
at²+b=cos(ωt- φ)
необходимо найти t
Может ваша программа найти это решение в аналитическом виде?

[Ost]

Михаил, а как с решением моего уравнения:
at²+b=cos(ωt- φ)
необходимо найти t
Может ваша программа найти это решение в аналитическом виде?

Иван, в Mathcad-е аналитического решения получить не удаётся.
Сходу не решается.
Будет время, попробую ещё.
Могу предложить гипотезу, по которой будет, ровно ±15 сек в амплитуде.
С уважением, Михаил.

[Иван Горин]

Иван, в Mathcad-е аналитического решения получить не удаётся.
Сходу не решается.
Будет время, попробую ещё.
Могу предложить гипотезу, по которой будет, ровно ±15 сек в амплитуде.
С уважением, Михаил.

Михаил, не надо тратить время.
это трансцендентное  уравнение.
Я разложил косинус в ряд Тейлора.
Остаточный член 0,5 10^-8.
В принципе мне такая большая точность и не нужна.
У меня тоже почти все выводы готовы.
Надо только составить программу и проверить изменение периода приёма Ио на Земле за год.

[Ser100]

Эта модель и создавалась с целью показать абсурдность учёта T(t), но почему-то оказалась неэффективной в этом направлении.
Сумма T_Ио + T(t), физически нереальна при измерении периода по затмениям.

Ну, а Вы попробуйте все же учесть мою поправку. Ведь Ремер примерно пол года замерял период ИО по затмениям, а примерно полгода по выходу Ио из конуса тени (если, конечно, не приплел сюда еще и покрытия Ио самим Юпитером). А в таком случае, пол года наблюдаемый период будет увеличиваться, а пол года уменьшаться.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Ost]

Ну, а Вы попробуйте все же учесть мою поправку. Ведь Ремер примерно пол года замерял период ИО по затмениям, а примерно полгода по выходу Ио из конуса тени (если, конечно, не приплел сюда еще и покрытия Ио самим Юпитером). А в таком случае, пол года наблюдаемый период будет увеличиваться, а пол года уменьшаться.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

Сергей, за полгода, начиная от момента максимального сближения, предполагаемый теоретический период Ио из-за вращения линии Земля-Юпитер должен меняется
от T_Ио - 2,7 минуты до T_Ио + 1,8 минут, т. е. изменение периода будет в интервале 4,5 минуты.
Это противоречит наблюдениям Рёмера. Он не наблюдал таких больших изменений периода Ио.
Как это можно ещё учесть по-другому?
С уважением, Михаил.

[Ser100]

Как это можно ещё учесть по-другому?

Я не вникал в подробности Вашего расчета (извините, но и времени нет и не очень мне это интересно), но я думаю Вам надо учесть еще и поворот линии Солнце-Юпитер, т.е. поворот конуса тени.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Иван Горин]

Сергей, за полгода, начиная от момента максимального сближения, предполагаемый теоретический период Ио из-за вращения линии Земля-Юпитер должен меняется
от T_Ио - 2,7 минуты до T_Ио + 1,8 минут, т. е. изменение периода будет в интервале 4,5 минуты.
Это противоречит наблюдениям Рёмера. Он не наблюдал таких больших изменений периода Ио.
Как это можно ещё учесть по-другому?
С уважением, Михаил.

Михаил, попробуйте разобраться с моими формулами и чертежами.



На чертеже и в формулах приведен случай, когда Юпитер опережает Землю.
В этом случае показывается выход Ио, заранее освещённого Солнцем, из-за тела Юпитера.

В случае, когда Земля опережает Юпитер - чертежи и формулы будут другие для наблюдения восходов.
В этом случае будет выход Ио из тени Юпитера, когда направление Земля-Ио не перекрывается Юпитером.
Геометрия - сложная, но всё же элементарная, не высшая математика.

Если разберётесь, попробуйте решить моё последнее уравнение и найти в общем виде дельта Тi от дискретного ti.

Затем можно идти дальше.
Вывести формулу приёма на Земле.
То есть перейти от геометрии механики к геометрии распространения света.

[Ser100]

На чертеже и в формулах приведен случай, когда Юпитер опережает Землю.
В этом случае показывается выход Ио, заранее освещённого Солнцем, из-за тела Юпитера.

Совершенно верно, но Ремер, как я писал, не фиксировал покрытий, которые Вы рассматриваете, а фиксировал затмения. И в этом случае он определял период по входу Ио в конус тени Юпитера, т.е. по началу затмения. А когда начала затмения не видно из-за покрытия Юпитером, Ремер фиксировал моменты выхода Ио из конуса тени Юпитера. А все формулы для расчета вместе с чертежами я неоднократно приводил.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Ost]

Михаил, попробуйте разобраться с моими формулами и чертежами.



На чертеже и в формулах приведен случай, когда Юпитер опережает Землю.
В этом случае показывается выход Ио, заранее освещённого Солнцем, из-за тела Юпитера.

В случае, когда Земля опережает Юпитер - чертежи и формулы будут другие для наблюдения восходов.
В этом случае будет выход Ио из тени Юпитера, когда направление Земля-Ио не перекрывается Юпитером.
Геометрия - сложная, но всё же элементарная, не высшая математика.

Если разберётесь, попробуйте решить моё последнее уравнение и найти в общем виде дельта Тi от дискретного ti.

Затем можно идти дальше.
Вывести формулу приёма на Земле.
То есть перейти от геометрии механики к геометрии распространения света.

Иван, мне понятны Ваши расчёты.
Однако, мне видится несколько другой путь. При аналитическом вычислении углов проще использовать теоремы синусов и косинусов.
Из треугольника Солнце-Земля-Юпитер, находим угол γ между линиями Земля-Юпитер и Солнце-Юпитер.
Угол между линиями Солнце-Юпитер и Солнце-Земля обозначим α.
В этом случае задача решается в системе отсчёта, в которой Юпитер неподвижен, что не влияет на результат вычислений.
Угол θ линии Ио-Земля касательной к Юпитеру, вычисляется с использованием углов γ и β - угол между указанной линией и линией Земля-Юпитер.
θ = γ + β.
\( \displaystyle γ = arcsin \left(\frac {R_{земли}} {\sqrt{R_{земли}^2 + R_{юпитера}^2 - 2 \cdot R_{земли} \cdot R_{юпитера} \cdot cos(α)}} \cdot sin(α) \right). (1) \)

Продолжение следует.

[Иван Горин]

Иван, мне понятны Ваши расчёты.
Однако, мне видится несколько другой путь. При аналитическом вычислении углов проще использовать теоремы синусов и косинусов.
Из треугольника Солнце-Земля-Юпитер, находим угол γ между линиями Земля-Юпитер и Солнце-Юпитер.
Угол между линиями Солнце-Юпитер и Солнце-Земля обозначим α.
В этом случае задача решается в системе отсчёта, в которой Юпитер неподвижен, что не влияет на результат вычислений.
Угол θ линии Ио-Земля касательной к Юпитеру, вычисляется с использованием углов γ и β - угол между указанной линией и линией Земля-Юпитер.
θ = γ + β.
\[ \displaystyle γ = arcsin \left(\frac {R_{земли}} {\sqrt{R_{земли}^2 + R_{юпитера}^2 - 2 \cdot R_{земли} \cdot R_{юпитера} \cdot cos(α)}} \cdot sin(α) \right). \]
Продолжение следует.

Михаил, угол θ всегда 90°, судя по вашему рисунку.


Чтобы не было непонятностей, показывайте также орбиту Ио.
И у нас в третий раз разные обозначения углов.
Очень трудно для нас и наших читателей переключаться.
А читателей у нас сотни.

[Ost]

...
Чтобы не было непонятностей, показывайте также орбиту Ио.
И у нас в третий раз разные обозначения углов.
Очень трудно для нас и наших читателей переключаться.
А читателей у нас сотни.

Сомневаюсь, что сотни. Такие темы не очень популярны.

Продолжим.
Находим угол β который определяет границу выхода Ио из-за Юпитера.
\( \displaystyle β = arcsin \left(\frac {r_{юпитера}} {\sqrt{R_{земли}^2 + R_{юпитера}^2 - 2 \cdot R_{земли} \cdot R_{юпитера} \cdot cos(α)}} \right), (2), \)
где r_{юпитера} - радиус Юпитера.


При выводе (1) и (2) использовалось формула из теоремы косинусов
\( \displaystyle R^2 = R_{земли}^2 + R_{юпитера}^2 - 2 R_{земли} \cdot R_{юпитера} \cdot cos(α), \) где R - расстояние между Землёй и Юпитером.
Углы β и γ независимы друг от друга.


Поэтому их влияние на период Ио можно исследовать приблизительно, по отдельности.
Для угла γ запишем выражение
\( \displaystyle \Delta T_{γ} = -\frac {T_{ио}}{2π} \left( arcsin \left(\frac {R_{земли}} {\sqrt{R_{земли}^2 + R_{юпитера}^2 - 2 \cdot R_{земли} \cdot R_{юпитера} \cdot cos\left( 2 π \left(\frac{1}{T_{земли}} - \frac{1}{T_{юпитера}} \right) \cdot (t + T_{ио}) \right)}} \cdot sin \left( 2 π \left(\frac{1}{T_{земли}} - \frac{1}{T_{юпитера}} \right) \cdot (t + T_{ио}) \right) \right) -
arcsin \left(\frac {R_{земли}} {\sqrt{R_{земли}^2 + R_{юпитера}^2 - 2 \cdot R_{земли} \cdot R_{юпитера} \cdot cos\left( 2 π \left(\frac{1}{T_{земли}} - \frac{1}{T_{юпитера}} \right) \cdot t \right)}} \cdot sin \left( 2 π \left(\frac{1}{T_{земли}} - \frac{1}{T_{юпитера}} \right) \cdot t \right) \right) \right). \)
Поведение этой функции нам уже известно.

Продолжение следует.

[Ost]

Для угла β запишем выражение
\[ \displaystyle \Delta T_{β} = -\frac {T_{ио}}{2π} \left( arcsin \left(\frac {r_{юпитера}} {\sqrt{R_{земли}^2 + R_{юпитера}^2 - 2 \cdot R_{земли} \cdot R_{юпитера} \cdot cos\left( 2 π \left(\frac{1}{T_{земли}} - \frac{1}{T_{юпитера}} \right) \cdot (t + T_{ио}) \right)}} \right) - arcsin \left(\frac {r_{юпитера}} {\sqrt{R_{земли}^2 + R_{юпитера}^2 - 2 \cdot R_{земли} \cdot R_{юпитера} \cdot cos\left( 2 π \left(\frac{1}{T_{земли}} - \frac{1}{T_{юпитера}} \right) \cdot t) \right)}} \right) \right). \]
В течение года максимальная величина этой функции достигает значения только 0,0134 секунды.

Поэтому её можно не учитывать.
Продолжение следует.

[Ost]

Для точного вычисления поправки к периоду необходимо решить уравнение
\[ \displaystyle \Delta T_{γ} = -\frac {T_{ио}}{2π} \left( γ(t + T_{ио} + \Delta T_{γ}) - γ(t) \right). \]
Приблизительное решение можно получить рекуррентным способом
\[ \displaystyle \Delta T_{γ0} = -\frac {T_{ио}}{2π} \left( γ(t + T_{ио}) - γ(t) \right); \]
\[ \displaystyle \Delta T_{γ1} = -\frac {T_{ио}}{2π} \left( γ(t + T_{ио} + \Delta T_{γ0}) - γ(t) \right);  \]
\[ \displaystyle \Delta T_{γ2} = -\frac {T_{ио}}{2π} \left( γ(t + T_{ио} + \Delta T_{γ1}) - γ(t) \right); \]
\[ \displaystyle \Delta T_{γ3} = -\frac {T_{ио}}{2π} \left( γ(t + T_{ио} + \Delta T_{γ2}) - γ(t) \right). \]
В качестве первого значения поправки к периоду можно использовать поправку предыдущего периода. В этом случае количество подстановок сокращается.
Погрешность
\[ \displaystyle \Delta T_{γ3} - \Delta T_{γ2} = 2 \cdot 10^{-7} секунды. \]
Угол γ можно разложить в ряд Фурье.

Иван, что расписать подробнее, вопросы, замечания и др.

С уважением Михаил.

[Иван Горин]

В течение года максимальная величина этой функции достигает значения только 0,0134 секунды.
Поэтому её можно не учитывать.
 

У меня через 6,5 месяцев максимальная величина этой функции достигает значения только ±0,56 секунды.



Поэтому её можно не учитывать.

Наши формулы без учёта этой добавки не совпадают.
У меня в формуле разность углов поворота вектора Земля-Юпитер.
У вас, Михаил, разность углов Солнце-Юпитер-Земля.
Это очень большая разница.
Мы ведём речь для случая опережения Юпитера.
Если Земля опережает Юпитер все графики и формулы другие.

Замечаний к вашей работе у меня нет.
Есть пожелания.
Рассматривать на графиках два соседних случая восхождения Ио.
Орбиту Ио, окружности Земли и Юпитера показывать уже нет необходимости.
Мы уже доказали, что выходами из теней можно пренебречь.
Цифры у нас разные ( 0,0134 секунды ±0,56 секунды) , но ими по любому можно пренебречь.

Мы рассматриваем только случай, когда Юпитер опережает Землю.
Далее пойдёт более простой случай, когда Земля опережает Юпитер.
Эти все случаи – собственные периоды Ио – синодичесние, сидерические, земные.

Дальше можно рассматривать самое главное – период приёма на Земле. Это опыты Рёмера и теория Секерина. Мы к ним пока не подошли.

Мы ещё не полностью рассмотрели поворот вектора Земля-Юпитер.

А самое главное в опытах Рёмера и теории Секерина – изменение модуля вектора Земля-Юпипер.

[Ost]

У меня через 6,5 месяцев максимальная величина этой функции достигает значения только ±0,56 секунды.
...
Поэтому её можно не учитывать.

Наши формулы без учёта этой добавки не совпадают.
У меня в формуле разность углов поворота вектора Земля-Юпитер.
У вас, Михаил, разность углов Солнце-Юпитер-Земля.
Это очень большая разница.
Мы ведём речь для случая опережения Юпитера.
Если Земля опережает Юпитер все графики и формулы другие.

Замечаний к вашей работе у меня нет.
Есть пожелания.
Рассматривать на графиках два соседних случая восхождения Ио.
Орбиту Ио, окружности Земли и Юпитера показывать уже нет необходимости.
Мы уже доказали, что выходами из теней можно пренебречь.
Цифры у нас разные ( 0,0134 секунды ±0,56 секунды) , но ими по любому можно пренебречь.

Мы рассматриваем только случай, когда Юпитер опережает Землю.
Далее пойдёт более простой случай, когда Земля опережает Землю.
Эти все случаи – собственные периоды Ио – синодичесние, сидерические, земные.

Дальше можно рассматривать самое главное – период приёма на Земле. Это опыты Рёмера и теория Секерина. Мы к ним пока не подошли.

Мы ещё не полностью рассмотрели поворот вектора Земля-Юпитер.

А самое главное в опытах Рёмера и теории Секерина – изменение модуля вектора Земля-Юпипер.

У меня через 6,5 месяцев максимальная величина этой функции достигает значения только ±0,56 секунды.
...
Поэтому её можно не учитывать.

422000 км это радиус орбиты Ио (421600 км). Радиус Юпитера 71400 км. Уже в 6 раз меньше 0,56/6.

Наши формулы без учёта этой добавки не совпадают.
У меня в формуле разность углов поворота вектора Земля-Юпитер.
У вас, Михаил, разность углов Солнце-Юпитер-Земля.
Это очень большая разница.

Нет разницы.
В этой задаче измерять угол линии Земля-Юпитер можно из любой системы отсчёта с учётом её вращения, и относительно любой её оси в плоскости рассматриваемого угла, так как нас интересует только изменение этого угла, а не его абсолютная величина.
Это проверено на разных расчётных моделях. График везде получается одинаковый.

Поэтому надо выбирать самый простой вариант формул.

Рассматривать на графиках два соседних случая восхождения Ио.

Будет время, попытаюсь получить формулу в виде ряда Фурье, которая выдаст все восходы и закаты Ио из-за Юпитера с приемлемой точностью.

С уважением Михаил.

[Ost]

Поправка к периоду Ио в минутах.
Погрешность на графике в течение одного цикла в секундах.
L = T₀.
Если надо, распишу подробнее.

С уважением Михаил.

[Иван Горин]

Михаил, попробуйте разобраться с моими формулами и чертежами.



На чертеже и в формулах приведен случай, когда Юпитер опережает Землю.
В этом случае показывается выход Ио, заранее освещённого Солнцем, из-за тела Юпитера.

В случае, когда Земля опережает Юпитер - чертежи и формулы будут другие для наблюдения восходов.
В этом случае будет выход Ио из тени Юпитера, когда направление Земля-Ио не перекрывается Юпитером.
Геометрия - сложная, но всё же элементарная, не высшая математика.

Если разберётесь, попробуйте решить моё последнее уравнение и найти в общем виде дельта Тi от дискретного ti.

Затем можно идти дальше.
Вывести формулу приёма на Земле.
То есть перейти от геометрии механики к геометрии распространения света.

Продолжение моего альтернативного варианта.
У меня вы заметили одну ошибку и бетта в 6 раз меньше.
А была ещё одна ошибка. Я гипотенузу перепутал с катетом.
И в итоге влияние у меня ещё меньше - около 0,01 сек.

А альтернативные варианты лучше, чем полное согласие.
Если без ругани, то веселее.
Какая поправка к периоду в минутах.
Я не понял.
Я знаю и вычислил, что период относительно Солнца на 1 минуту больше собственного периода Ио. Но период приёма на Земле другой, и он отсчитывается не от собственного периода обращения Ио вокруг Юпитера, а от солнечного или земного.

[Марина Славянка]

Сомневаюсь, что сотни. Такие темы не очень популярны.

А сколько Вы думаете, у вас здесь не много постов, а прочтений 5261.
К тому же со временем прибудут еще и еще, и еще читатели.
Так что можно рассчитывать и на сотни, и даже на тысячи читателей.
Надо учесть,  где мы находимся - на БФ, куда валом валит народ,  даже автоматика зашкаливает!... Вот и достается всем нам так много внимания.
Мы тут как звезды интернета сияем, извините за нескромное сравнение, благодаря присутствию на БФ. Даже у такой, как Вы выражаетесь"не очень популярной" темы - уже свыше пяти тысячи прочтений...
Я закрепила эту тему, просто потому что работаете вы в ней высоко- интеллектуально, красиво. Есть, что показать.