Уважаемый Мамаев! Насколько Вы уверены, что нужно изменять формулы силы Лоренца? Какие есть основания вообще их применять?
Cилу Лоренца можно записать в виде
\(\vec{F} = q\vec{E}_q + q[\vec{r}\times\frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t}}] + q[\vec{u}\times\vec{B}] = q(\vec{E}_q - [\vec{r}\times rot\vec{E}]) + q[\vec{u}\times\vec{B}]\). (7)
(новая (правильная) формула)Потому что формула
\(\vec{F}=q(\vec{E}+\frac{d}{dt}[\vec{r}\times\vec{B}])=q(\vec{E}+[\frac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{B}]+[\vec{r}\times\frac{d\vec{B}}{dt}])=
q(\vec{E}+[\vec{r}\times\frac{d\vec{B}}{dt}]+[\vec{u}\times\vec{B}])\) (8)
справедлива при произвольном изменении магнитной индукции во времени. Ибо формула производной от векторного произведения
\(\frac{d}{dt}[\vec{r}\times\vec{B}]=[\frac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{B}]+[\vec{r}\times\frac{d\vec{B}}{dt}]\)
справедлива для произвольного закона изменения магнитной индукции во времени.
Итак, в формулу
\(\vec{F}=q(\vec{E}+\frac{d}{dt}[\vec{r}\times\vec{B}])=q(\vec{E}+[\frac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{B}]+[\vec{r}\times\frac{d\vec{B}}{dt}])=
q(\vec{E}+[\vec{r}\times\frac{d\vec{B}}{dt}]+[\vec{u}\times\vec{B}])\). (1)
вместо \(\frac{d\vec{B}}{dt}\) подставляем равное ему выражение из второго уравнения Максвелла
\(\frac{\partial{\vec{B}}}{\partial{t}} = - rot\vec{E}\). (2)
Тогда с учетом очевидного равенства \(\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{u}\) получаем
\(\vec{F}=q(\vec{E}+\frac{d}{dt}[\vec{r}\times\vec{B}])=q(\vec{E}+[\vec{u}\times\vec{B}]-[\vec{r}\times rot\vec{E}])=
q(\vec{E}-[\vec{r}\times rot\vec{E}]+[\vec{u}\times\vec{B}])\). (3)
Теперь вводим обозначение
\(\vec{E}_{\Sigma} = \vec{E}_q - [\vec{r}\times rot\vec{E}] = \vec{E}_q + \vec{E}_{curl}\), (4)
где \(\vec{E}_{\Sigma}\) - напряженность суммарного электрического поля;
\(\vec{E}_q\) - напряженность потенциального электрического поля;
\(\vec{E}_{curl} = - [\vec{r}\times rot\vec{E}]\) - напряженность вихревого электрического поля.
Тогда формулу для силы Лоренца (3) можно записать в виде
\(\vec{F} = q(\vec{E}_{\Sigma} + [\vec{u}\times\vec{B}])\), (5)
которая и является признаваемой всеми силой Лоренца.
Таким образом, формулу для силы Лоренца можно записывать не только в виде признаваемой всеми сейчас формулы (5), но и в виде формулы (3) с явным вычленением потенциальной и вихревой составляющих напряженности электрического поля.
При этом становится очевидной также и формула для вихревой составляющей напряженности электрического поля
\(\vec{E}_{curl} = - [\vec{r}\times rot\vec{E}]\). (6)
Формула (3) эквивалентна формуле (5) общепризнанного выражения для силы Лоренца. Но формула (3) дает разбивку силы Лоренца на все возможные случаи - формула (3) поэтому является более общей, чем формула (5).