Нет необходимости, просто все специалисты знают, что
\[ F=\frac{\mu _{0}}{4\pi }\frac{2I_{1}I_{2}}{R} (1) \]
это та же формула
\[ F=\frac{\mu _{0}}{4\pi }\frac{2I_{1}I_{2}}{R}\cdot l (2) \]
где l = 1 м, просто этот 1 м не дописывается, а подразумевается. Если его дописать
\[ F=\frac{\mu _{0}}{4\pi }\frac{2I_{1}I_{2}}{R}*1м \]
то размерность как раз в Ньютонах. Поэтому (1) это просто формула для численного вычисления силы на проводник длиной 1 м: по этой формуле подсчитывается сила и размерность подставляется Н.
Кстати, формула (2) тоже не универсальна. Это сила со стороны бесконечного (достаточно длинного) провода на проводник длиной l.
Общая формула в СИ
\[ \bf{dF_{12}}=\frac{\mu \mu _{0}}{4\pi }\frac{2I_{1}I_{2}}{R^3} [\bf{dl_2}[\bf{dl_1} \bf{R_{12}}]] \]
Не надо ничего подразумевать. Мы смотрим на формулу (1) и видим, что размерности левой и правой частей не совпадают.
(Может Вам предложить на стр. 78 к Филоновичу сходить и посмотреть какую он размерность силы в закон Ампера вставляет?)
И насчет бесконечного проводника - не согласен. Интеграл на бесконечный проводник даст бесконечную силу.
Позвольте пояснить, почему я прицепился к этому вопросу.
Тема моя - Альтернатива. И, если заметили, согласно названию проталкиваю я здесь альтернативную, сейчас не принимаемую, идею о подобии звездных и атомных систем. И, соответственно с этим, единую природу эл. и грав. полей.
Наряду с рядом вопросов, передо мной встала задача выразить заряд через массу. Но уперся в проблему - не склеивалось с размерностью L. Уперся в закон Ампера. В доступная литературе, в том числе и упоминаемом Савельеве, ответа не находил (именно поэтому и заметил наверное несуразицу у Филоновича). Все это за пределами, естественно, учебного процесса. Спросить не у кого. Начал думать о божьем промысле, глубинном смысле выражения закона Ампера.
Но!.. по Вашей наколке (спасибо большое), догадался наконец, что никакого глубинного смысла нет. Нужно просто смело домножать принятую запись на размерность длины. &/ &/
Будем опять попробовать и посмотреть что получится.