Повторим, для удобства, предварительные выводы:
Мы ищем некотрые, заранее неизвестные преобразования, попадающие под наши постулаты:
П1: \( \star \) Инерциальное движение неотличомо от покоя.
П2: \( \star \) Пространство изотропно.
П3: \( \star \) Пространство однородно.
П4: \( \star \) Ввремя однородно.
Рассмотрим, для простоты, двумерный случай \( (XT) \), оси \( Y \) и \( Z \) всё равно ничего нового не вносят. Как всегда, oтсчёт времени запускается в момент \( t=t'=0 \), про совпадении осей координат \( x=x'=0 \). Всё как обычно.
Сначала, напишем преобразования (они же уравнения движения) в самом общем виде. Очевидно, эти преобразования - функции с параметрами \( x,t \) и \( v \).
\( x' =f_x(x,t,v)\;; \)
\( t' =f_t(x,t,v)\;; \)
Что можно сразу сказать про эти функции, применительно к нашим постулатам? Пространство и время у нас однородны (Постулаты П3, П4), значит функции \( f_x(x,t,v), \) \( f_t(x,t,v) \) - линейны по параметрам \( x,t \). Т.е.:
\( x' =\eta_x(v)(k_{1_x}(v)x + k_{2_x}(v)t)\;; \)
\( t' =\eta_t(v)(k_{1_t}(v)t + k_{2_t}(v)x)\;; \)
Где пока ещё неизвестные нам функции \( \eta_x(v),\; \eta_t(v),\;k_{1_{х,t}}(v),\;k_{2_{х,t}}(v)\; \) зависят только от \( v \) (иначе, нарушится линейность преобразований по \( x \) и \( t \)).
Очевидно, \( k_{1_х}(v),\; k_{1_t}(v) \) можно, для простоты, привести к единице, таким образом, наши преобразования приобретают более оформленные очертания:
\( x' =\zeta_x(v)(x + \xi_x(v)t)\;; \)
\( t' =\zeta_t(v)(t + \xi_t(v)x)\;; \)
-где \( \zeta_x(v),\;\zeta_t(v),\;\xi_x(v),\;\xi_t(v) \) - некие пока ещё неизвестные нам функции от \( v \).
Eщё нетрудно видеть, что \( \zeta_x(v),\;\zeta_t(v) \) - одинаковые функции. Дeйствительно, разделив одно уравнение на другое, мы получим некую величину с размерностью скорости для штрихованных координат. Поскольку, единицы длины и времени у нас во всех ИСО едины, то функции \( \zeta_x(v),\;\zeta_t(v) \) при делении друг на друга должны давать единицу. Т.е. это одинковые функции, и их можно записать просто как \( \zeta (v). \)
Итак, наши преобразования приняли вид -
\[ \left\{\begin{matrix}
x' =\zeta (v)(x + \xi_x(v)t)\;;\\t' =\zeta (v)(t + \xi_t(v)x)\;;
\end{matrix}\right. \]
