Теория для вычислений.
Для выполнения поворота системы координат с использованием матриц поворота в Mathematica (Wolfram Language), вы можете определить матрицы поворота для поворота вокруг осей X, Y и Z, и затем применить их к векторам в вашей системе координат. Вот примеры матриц поворота на угол \(\theta\) вокруг этих трех осей.
Поворот вокруг оси X:
```mathematica
RotationMatrixX[θ_] := {
{1, 0, 0},
{0, Cos[θ], -Sin[θ]},
{0, Sin[θ], Cos[θ]}
}
```
Поворот вокруг оси Y:
```mathematica
RotationMatrixY[θ_] := {
{Cos[θ], 0, Sin[θ]},
{0, 1, 0},
{-Sin[θ], 0, Cos[θ]}
}
```
Поворот вокруг оси Z:
```mathematica
RotationMatrixZ[θ_] := {
{Cos[θ], -Sin[θ], 0},
{Sin[θ], Cos[θ], 0},
{0, 0, 1}
}
```
Чтобы повернуть вектор или множество точек, вы умножаете соответствующую матрицу поворота на каждый вектор координат. Например, если у вас есть вектор `v` и вы хотите повернуть его на угол `ϕ` вокруг оси Z, вы можете сделать это следующим образом:
```mathematica
v = {x, y, z};
ϕ = π/4; (* пример поворота на 45 градусов *)
vRotated = RotationMatrixZ[ϕ].v;
```
Если вы хотите выполнить последовательные повороты вокруг нескольких осей, вы можете перемножить соответствующие матрицы поворота, чтобы получить общую матрицу поворота. Порядок умножения матриц зависит от того, в каком порядке вы хотите применять повороты.
Пример последовательных поворотов вокруг осей Z, Y и X:
```mathematica
ϕz = π/4; (* поворот вокруг оси Z *)
ϕy = π/6; (* поворот вокруг оси Y *)
ϕx = π/3; (* поворот вокруг оси X *)
combinedRotation = RotationMatrixX[ϕx].RotationMatrixY[ϕy].RotationMatrixZ[ϕz];
vRotated = combinedRotation.v;
```
Важно отметить, что Mathematica (начиная с версии 7) уже включает встроенную функцию `RotationMatrix`, которую вы можете использовать для создания матриц вращения. Она также может принимать разные формы аргументов для создания матриц поворота вокруг определённой оси:
```mathematica
RotationMatrix[ϕ, {ax, ay, az}] (* Поворот на угол ϕ вокруг вектора {ax, ay, az} *)
```
Использование встроенной функции `RotationMatrix` для поворота вокруг оси Z на угол `ϕ`:
```mathematica
ϕ = π/4;
vRotated = RotationMatrix[ϕ, {0, 0, 1}].v;
```
Встроенная функция `RotationMatrix` упрощает процесс создания матриц поворота и делает код более читаемым.
ChatGPT4
