Для наглядности
Берем пресловутый релятивистский вагон, с его раскрывающими на полном ходу дверями.
У задней двери (в точке с координатой \(x_1’\)) сажаем (с часами) вполне «конкретного» наблюдателя, который фиксирует открытие «своей» двери в момент времени \( t_1’ \). И через какой-то интервал времени: \( t_3’ = t_1’+ \Delta t’ \) он замечает (видит, получает информацию, до него доходит) о том, что открылась и передняя (в точке с координатой \(x_2’\)) дверь его вагона. Он (наш «конкретный» наблюдатель) ничего не ведает о том, одновременно (\( t_1’= t_2’ \)) или нет (\( t_1’ \ne t_2’ \)) произошли эти события, поскольку от ничего не знает о том реальном времени \( t_2’ \) , когда состоялось открытие передней двери.
Но очень хочет это узнать. Ну, сильно ему приспичило. Бывает такое.
При этом, наш «конкретный» наблюдатель (пребывая в здравом уме и трезвой памяти) соображает, что информация об открывании передней двери вагона \( t_3’ \) к нему поступила с запаздыванием от момента реального свершения этого события \( t_2’ \), что было обусловлено обстоятельством необходимости преодоления светом расстояния от точки \(x_2’\) до точки \(x_1’\) – всей длины вагона, отделяющей одну дверь от другой:
\( t_3’= t_2’+( x_2’- x_1’)/c\)
И, таким образом, наш «конкретный» наблюдатель получает:
\( t_1’+ \Delta t’ = t_2’+( x_2’- x_1’)/c\)
Или, еще немного поразмыслив, приходит к выводу:
\( \Delta t’ = t_3’ - t_1’ = t_2’ - t_1’+( x_2’- x_1’)/c\)
Что, в случае того, если обе двери (в его вагоне) открылись одновременно \( t_1’= t_2’ \): \[ t_3’ - t_1’ = ( x_2’- x_1’)/c \] А теперь то, что, по поводу всего этого, думает другой (разумный и в стельку трезвый) наблюдатель, находящийся в ИСО, мимо которой на релятивистском ходу (со скоростью: \( v \)) несется наш вагон.
Для перехода в его систему отсчета воспользуемся обратными преобразованиями Лоренца, с учетом того, что времена: \( t_1’ \) и \( t_3’ \) – «привязаны» к одной точке \(x_1’\):
\[ t_3- t_1 = {t_3^′- t_1’ + (x_1^′ - x_1^′) \cdot v / c^2 \over \sqrt{1 - v^2/c^2}} = {t_3^′- t_1’ \over \sqrt{1 - v^2/c^2}} \] \[ x_2 - x_1 = {x_2^′ - x_1^′ + v \cdot (t^′_2- t^′_1) \over \sqrt{1 - v^2/c^2}} \] Что, по условию одновременного открывания дверей в движущейся системе: \( t_1’= t_2’ \), означает:
\[ x_2 - x_1 = {x_2^′ -x_1^′ \over \sqrt{1 - v^2/c^2}} \]Или \[ (t_3 - t_1) \cdot \sqrt{1 - v^2/c^2} = (x_2 - x_1) \cdot \sqrt{1 - v^2/c^2} /c \] Другими словами: \[ (t_3 - t_1) = (x_2 - x_1) /c \]где (по условию равноправия ИСО): \( t_3= t_2+( x_2- x_1)/c\) , и, стало быть: \[ t_2 - t_1 = 0 \]
То есть оба события (открывание двух дверей вагона) произошли в покоящейся системе отсчета одновременно. Точно так же, как и в системе движущейся: \[ t_1’= t_2’ \]
