О формализме Лагранжа

[Петров А. М.]

В разделе «Физика,  астрономия,  математические решения» Научно-технического форума SciTecLibrary участник Sokolov 19.01.2012 открыл тему "Резонирующий вечный двигатель» (http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yabb2/YaBB.pl?num=1326998345/0),
вызвавшую повышенный интерес читателей: на 11.02.2012 –  около 2000 просмотров! И это при том, что в обсуждении фактически принимают участие, кроме автора темы и Модератора, только два участника. Для остальных «вход ограничен», а «нежелательные» отклики Модератор (peregoudov) удаляет без объяснения причин. От этого, конечно, «страдает дело»: обсуждение получается односторонним, а взявшийся единолично «вершить суд» Модератор, как выяснилось, не может увидеть и подсказать более простой путь решения задачи и, в итоге, предостеречь от поспешных выводов.
Автору темы следует отдать должное: с помощью языка программирования Фортран он представил результаты математического моделирования в виде анимаций, что придало его сообщениям бóльшую наглядность и убедительность. Тем не менее, не следует принимать эти результаты за окончательную истину: мол, «раз компьютер так показал, то какие могут быть сомнения?». Компьютер проводит расчёты по заложенной в него программе. А в этой программе могут быть как «чисто технические», так и методологические погрешности.
На заключительном этапе моделирования все составные элементы движения системы собираются в единое целое (что автор и делает), однако вначале решение задачи можно существенно упростить (к чему автор не прибегает), если оставить в уравнении движения только то, что привносится в него колебательным процессом. Сравним оба эти подхода.
Напомним суть нашего варианта решения задачи. Поскольку нас интересует идея безопорного движения (которое автор темы не признаёт), то мы выделим уравнение резонансного процесса (с участием радиальной составляющей силы притяжения), а уравнение с участием тангенциальной составляющей этой силы, обеспечивающее стабильное вращение колеса с постоянной угловой скоростью ω=const, примем за исходное условие (сначала вне зависимости от того, каких затрат энергии требует его поддержание).
Поскольку все 136 идентичных точечных масс размещены на спицах вращающегося колеса с равными сдвигами по фазе вращения, то достаточно будет ограничиться одним дифференциальным уравнением для одной колеблющейся массы, приняв её начальную фазу вращения равной нулю, а начальные фазовые сдвиги других масс интегрально учесть позднее. При этом, одинаковое начальное положение грузов (на середине радиуса колеса) можно из этого рассмотрения исключить как не нарушающее общей симметрии вращения колеса.
Итак, уравнение движения точечного груза (во вращающейся, вместе с колесом, системе координат и отсчёта) имеет вид:
d²x/dt²+γdx/dt+ω²x=gcosωt,
где x – отклонение от среднего положения, равного половине радиуса колеса,
γ – удвоенный коэффициент затухания свободных колебаний,
ω – частота вращения колеса, она же – резонансная частота колебания грузов,
g – ускорение свободного падения.
Поскольку величина центробежной силы (при постоянной частоте вращения) пропорциональна расстоянию груза до центра вращения, то жёсткость возвратной пружины может быть подобрана так, чтобы возвращающая (в положении равновесия) сила, отнесённая к массе, была равна величине –ω²x. Это и будет условием возникновения резонансных колебаний в системе.
Решая это уравнение движения, получаем:
x=(g/ωγ)sinωt, v=dx/dt=(g/γ)cosωt.
Итак, развиваемая гравитационной силой активная и реактивная мощность, при движении одной точечной массы, будет равна:
Fv=(mgcosωt)(g/γ)cosωt=(mg/2γ)(1+cos2ωt).          
Суммарная (по всем грузам) активная мощность составит:
Р=136mg²/2γ.
Ясно, что при данной постановке задачи физический смысл имеют максимальные отклонения грузов только до величин g/ωγ, не превышающих половины радиуса колеса (иначе колебания грузов вышли бы за его пределы). А это означает, что «главной заботой» конструктора данной системы является не сделать колебательную систему слишком добротной, чтобы она не разрушилась на максимуме амплитуды колебаний! Возьмём этот момент на заметку.

[Петров А. М.]

Итак, имеем решение задачи во вращающейся системе координат: x=(g/ωγ)sinωt. Как представить это движение в невращающейся системе координат, т.е. в том виде, как оно представляется стороннему наблюдателю? Проще (и правильнее всего) это сделать на комплексной плоскости, направив действительную ось по вертикали (вниз), а мнимую ось – по горизонтали (вправо).  Приняв величину x=(g/ωγ)sinωt за модуль комплексного числа, умножаем его на фазовый множитель вращения ехр(iωt). Тогда из вращающейся системы координат мы снова вернёмся в неподвижную систему координат. В результате получим:
z=(g/ωγ)sinωt ехр(iωt)= i(g/2ωγ)–i(g/2ωγ)ехр(i2ωt).
Как видим, решением задачи является постоянный сдвиг грузов по горизонтали вправо и их вращение вокруг этого положения с удвоенной частотой.
Ну, а как выглядит в  неподвижной системе координат исходный силовой баланс системы? Приведя его к единичной массе грузов, получим в неподвижной системе координат полную картину сил, возникающих в системе в результате внешнего гравитационного  воздействия и вызванного им внутреннего  колебательного процесса.
Внешняя сила (приведённая к единичной массе грузов и уравновешивающая внутреннюю диссипативную силу) имеет вид:
(mgcosωt) ехр(iωt)=(mg/2)+(mg/2) ехр(i2ωt).
Как видим, здесь та же картина: постоянная составляющая  (положительный сдвиг по вертикали вниз) и вращение переменной составляющей вокруг этого положения с удвоенной частотой.
Далее, аналогичный вид имеет сила «возвратной пружины» (уравновешивающая силу инерции груза или наоборот, как посмотреть!):
(mgω/γ)sinωt ехр(iωt)= i(mgω/2γ)–i(mgω/2ωγ)ехр(i2ωt).
А теперь – самый существенный для нас вопрос: к чему прикреплён второй конец «возвратной пружины»? В конечном счёте, к центру (или оси) вращения колеса. Но если все грузы смещены по горизонтали вправо, то,  значит, 136 «возвратных пружин» своими вторыми концами тянут колесо в ту же сторону с силой, равной 136mgω/2γ. Однако, если колесу предоставить возможность беспрепятственно перемещаться по горизонтали вправо, то резонансный процесс может быть сорван. Вопрос положительно решается двумя мерами: «дозированным» освобождением колеса, сохраняющим резонансный режим (в «тонкости» соответствующего расчёта мы здесь вдаваться не будем) и максимальным увеличением добротности колебательной системы (что позволяет практически полностью исключить диссипативные потери и направить всю энергию, накапливаемую в процессе резонанса, на обеспечение стабильности вращения колеса и в полезную нагрузку.

[Петров А. М.]

А теперь посмотрим, какие возражения против этого выдвигает автор темы «Резонирующий вечный двигатель».
Sokolov:
Поскольку  вот здесь (http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yabb2/YaBB.pl?num=1314494202/37#37) результаты, полученные в этой ветке, безосновательно интерпретированы как подтверждение возможности создания безопорного движителя с постоянной "силой тяги" горизонтального направления, я вычислил силы реакции опоры в горизонтальном (Fx) и в вертикальном  (Fy) направлениях для колеса, вращающегося на закреплённой оси. Силы реакции – это в данном случае силы, с которыми ось действует на колесо.  
Вычисления проводились методом виртуальных смещений, то есть в Лагранжиан добавлялись ещё две обобщённые координаты, Х, Y, описывающие виртуальное смещение системы как целого в горизонтальном и вертикальном направлении, а также вклад от сил реакции опоры, хFx+yFy. Затем из условия равновесия по координатам х, y  находились Fx, Fy. Например, для Лагранжиана с виртуальным смещением по координате х имеем (см аналогичные выкладки в постах про катящееся колесо):
Lх=L+(dх/dt)(dХ/dt)+[(1+М)/2](dХ/dt)²+хFx.
Отсюда уравнение движения по координате х
(d/dt)[(dх/dt)+(1+М)(dХ/dt)]=Fx
и условие равновесия Х=0  определяет силу Fx.
Окончательно, в безразмерных единицах:
Fx=d²х/dt²
Fy=d²у/dt²+(ε/2)(1+М),
оба выражение могут быть получены и непосредственно из закона изменения импульса колеса по действием силы реакции опоры и силы тяжести.
С обратным знаком Fx равна "силе тяге безопорного движителя", а на самом деле обратной реакции ("отдаче") от ускоренного перемещения центра масс грузов в горизонтальном направлении, строго в пределах геометрических размеров колеса. С обратным знаком Fy равна динамическому весу колеса c грузами, в дальнейшем пропорциональный массе колеса без грузов М вес исключаем из этой силы. Удобно вычислить отношение безразмерной силы к ε/2, это будет то же самое, что размерная сила, отнесённая к общему весу груза Nmg. Объединяя компоненты вектора силы в комплексное число и учитывая, что х+iу=(1/2)Zехр(iφ), имеем:
(2/ε)(Fx+iFy)=i+(1/ε)d²[Zехр(iφ)]/dt²=
= –(2/ε)Zехр(iφ)–(γ/ε)(dZ/dt)ехр(iφ)+i/2+(2i/ε)(dφ/dt)(dZ/dt)ехр(iφ)+(i/2)(d²φ/dt²)Zехр(iφ).
Обсудим физический смысл различных вкладов в силу реакции. Первое слагаемое может быть переписано в виде: –kR(х+iу)/mg. Эта сила реакции есть сумма сил, приложенных со стороны оси к пружинам и, затем, со стороны пружин к грузам в виде действующей вдоль оси возвращающей силы. Аналогично, вторая сила есть сумма сил, приложенных со стороны оси к каждой из спиц вдоль спицы и, затем, приложенных к каждому грузу в виде силы трения о спицу. Наконец, третье, четвёртое и пятое слагаемое все возникают как сумма сил, действующих на каждую из спиц в перпендикулярном к ней направлении. Эти силы затем действуют на груз в направлении, перпендикулярном спице, и уравновешивают, во вращающейся системе отсчёта, проекцию силы тяжести (третье слагаемое), силы Кориолиса (четвёртое слагаемое) и силы ускоренного вращения на перпендикулярное к спице направление (пятое слагаемое). В принципе можно просуммировать все эти силы и не прибегая к методу виртуальных смещений.
Сразу отметим, что в режиме установившегося резонанса, то есть при Z=(ε/2γ)ехр(–iφ) в силе реакции первое и четвёртое слагаемое взаимно уничтожаются, второе и третье равны между собой, а пятое равно нулю, так что сила реакции равна i. Иными словами, в установившемся резонансе "сила тяги" равна нулю, а динамический вес грузов равен статическому, и безопорного движения в этом случае (как, разумеется, и в любом другом) не происходит.
Для того же варианта численного моделирования, что и ранее, когда динамические характеристики, напомним, зависели от времени …, дадим график сил реакций опоры как функций времени:
Ясно видно, что в установившемся резонансе t≤80π≈250 "сила тяги" исчезает, динамический вес равен статическому. На начальной стадии, а также после выключения крутящего момента (при t>80π≈250) видны некоторые осцилляции в пределах пяти процентов величины суммарного веса груза Nmg.
…При t<8 величина Fx  в среднем положительна, поскольку за это время действие этой силы нарабатывает положительное значение скорости dx/dt, с которой центр тяжести грузов начинает смещаться в горизонтальном направлении:
 dx/dt=∫Fxdt.
C другой стороны, при t>8  величина Fx  в среднем отрицательна, поскольку за это время действие этой силы положительное значение скорости dx/dt уменьшается и х асимптотически приближается к стационарному (в установившемся резонансе) значению
Хres=ε/4γ.
В установившемся резонансе х=Хres=const, у=0=const, поэтому "сила тяги" стремится к нулю, и динамический вес грузов стремится к их статическому весу.
Помимо самостоятельного интереса (как я надеюсь) этого расчёта, подчеркну ещё раз, что он категорически отрицает возможность интерпретации предыдущих расчётов как "доказательство реализуемости безопорного движителя".

[Петров А. М.]

Предоставляем  читателям самим сопоставить применённые методики расчётов и полученные на их основе итоговые выводы. Мне представляется, что нынешняя «официальная» теоретическая механика является «заложницей и жертвой» давно исчерпавшей свои возможности и просто не пригодной для исследования открытых динамических систем методологии лагранжианов-гамильтонианов.

[Dachnik]

Балуются на Скайте взрослые детишки математикой и это у них надолго, потому как физика процесса для них недоступна.
Надо положить колесо горизонтально и посмотреть что будет. А все грузики выстроятся на одной окружности и колесо будет крутится вечно (если без всякого трения). Как только грузы начнут перемещать по радиусу, возникнет крутящий момент от силы Кориолиса  всегда направленный в сторону противоположную направлению вращения колеса. Так что гравитация будет только тормозить колесо.

[Петров А. М.]

Цитирую с сайта: http://zhurnal.lib.ru/e/etkin_w_a/
КОНВЕРТЕР ЭНЕРГИИ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ
Д.т.н., проф. В. Эткин
3. Современные конструкции преобразователей гравитационной энергии.     
Одно из наиболее внушительных устройств такого рода построил сравнительно недавно А. Коста (патент Франции №95/12421, 1995)… Его 18-метровое несбалансированное колесо лучше всяких слов свидетельствует о серьёзности подхода и об уверенности изобретателя в работоспособности создаваемой им конструкции. Это колесо работает на том же принципе и содержит 236 подвижных элементов, обеспечивающих его вращение. Оно может вращаться как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки. Как отмечает изобретатель, главная трудность его изготовления состояла в том, чтобы получить изменение положения масс «в нужном месте и в нужное время».
В 2006 г. энергетическая компания «Environ» объявила о готовности к выпуску на рынок генератора SPEGG, производящего электроэнергию без затрат топлива. Генератор представляет собой самовращающееся колесо «Warannlinc», … которое присоединяется к генератору тока и имеет 16 спиц, 8 из них содержат грузики, движущиеся поступательно и сжимающие при этом пружины. Колесо устроено так, что оно всегда тяжелее с одной стороны. Это нарушает равновесие колеса в поле тяжести, вынуждая его вращаться. Таким образом, заманчивая идея использования неисчерпаемых «живых сил» природы имеет вполне реальные основания...

[Alexpo]

Его 18-метровое несбалансированное колесо лучше всяких слов свидетельствует о серьёзности подхода и об уверенности изобретателя в работоспособности создаваемой им конструкции.

А 36-метровое свидетельствововало бы о вдвое большей уверенности и работоспособности? 

В 2006 г. энергетическая компания «Environ» объявила о готовности к выпуску на рынок генератора SPEGG, производящего электроэнергию без затрат топлива.

И до сих пор в позе готовности стоят? Молодцы! Призываю включить эту позу в Камасутру, заслужили!

[Вашкевич Виктор]

А 36-метровое свидетельствововало бы о вдвое большей уверенности и работоспособности? 

И до сих пор в позе готовности стоят? Молодцы! Призываю включить эту позу в Камасутру, заслужили!

Так это заслуги  западных коллег кругляковской "комиссии по борьбе с лженаукой"

[Петров А. М.]

Вижу реплики по поводу цитат из книги. А что скажете по части сравнительной оценки двух вариантов математических расчётов "вечного движения" колеса? Оба расчёта плохи? Или какой-то всё же чем-то лучше?

[Herodotus]

"Д.т.н. на пенсии"- это уже диагноз. 

[aid]

А я вот две вещи не понял. Во-первых, я вижу, что сайтековцы Вас не убедили и Вы остались при своем мнении. И что - будете теперь строить безопорный движитель (или даже кто-то другой за государственный счет будет строить безопорный движитель) с целью выяснить, какой из его расчетов правильный? Причем вроде бы всем, кроме Вас, очевидно, какой из расчетов правильный.

А во-вторых, по результатам дискуссии на сайтеке, что можете сказать по поводу Лагранжевого формализма? Ведь этим методом задача решается быстро и эффективно: задача о движении сведена к решению трех дифференциальных уравнений (а не 237, как при лобовом подходе), в силовом балансе вычислены пять сил (а не две, как у Вас), построены все графики и картинки. Другое дело, что Вас не устраивает полученный в результате решения ответ "халявы не будет" - но сам формализм то Вас чем в применении к данной задаче не устраивает? Смешно же отрицать формализм только на том основании, что Вас в какой-то конкретной задаче не устраивает полученный с его помощью ответ.

А можно ссылку на дискуссию Петрова на сайтеке?

[Dachnik]

А можно ссылку на дискуссию Петрова на сайтеке?

А сами зайти не можете. Тута и свего бреда хватает.

[Вашкевич Виктор]

А я вот две вещи не понял. Во-первых, я вижу, что сайтековцы Вас не убедили и Вы остались при своем мнении. И что - будете теперь строить безопорный движитель (или даже кто-то другой за государственный счет будет строить безопорный движитель) с целью выяснить, какой из его расчетов правильный?

Это - да.
На результатах эксперимента построена современная наука, результаты эксперимента должны и опрокинуть ее.
Принято считать, что теория относительности построена на двух постулатах: о предельности скорости света
и еще про  что-то, - но это только камуфляж теории, отвлекающий маневр для лохов.
На самом деле  основополагающими принципами  современной науки являются постулаты невозможности
получения силы и энергии из "ничего".

Вопрос о том, как в науке возникли и устоялись эти принципы, можно прояснить по главе"Мера движения. - Работа"
книги Энгельса "Диалектика природы". Процесс принятия этих принципов сопровождался долголетними спорами
между маститыми учеными прошлого, и завершился он оформлением двух принципов: невозможности
движения за счет внутренних сил, и невозможности  создания устройства с кпд больше единицы.

В математических символах эти две меры движения выражаются  формулами mv   и   mv²
Насколько сложившееся мнение об этих сущностях соответствует действительности?
Попробуем на них посмотреть как на первые члены бесконечного ряда  Sⁿ  = mvⁿ

Тогда будем иметь бесконенчный ряд членов mv¹;    mv² ;      mv³ ;       mv⁴........   mvⁿ

И если допустить, что первые два члена этого бесконечного ряда имеют такие уникальные свойства
неуничтожимости и несотворимости, то такое уникальное свойство придется придать
и остальным членам этого ряда. То есть, придется признать наличие в мире бесконечного числа
неуничтожимых сущностей. Что есть абсурд. А значит, придется отрицать наличие такого
свойства неуничтожимости и для первых двух членов этого ряда.

Со вторым членом в современной технике все разрешается: "энергию" из "ничего"  можно получить в процессе
фазового перехода и в процессе резонанса. В технике фазовый переход осуществляется в детандере,
а резонанс - в детекторном приемнике.

А вот с первым членом этого ряда  - mv  - на данный момент дела обстоят сложнее.
Армия энтузиастов неустанно работает в попытках создать инерцоид, но их успехи
на грани достоверности. Я лично бессчетно строил инерцоиды разных систем,
но получить положительный результат не удалось. Но несмотря на все неудачи,
приходится признать, что в природе этот принцип задействован в создании силы гравитации.
А значит, ничего изобретать не надо, а нужно только понять и воссоздать механизм создания силы гравитации.

Петров с заединщиками предлагает конструкцию колеса со спицами, возлагая
надежды на свойство резонанса.  Нужно отметить, что независимо от результата испытаний
конструкции такого колеса,  гравитация вряд ли основана на этом принципе.
Ибо гравитация, насколько она известна нам, не зависит от частоты.

Но испытать предлагаемую конструкцию интересно. И для этого нет необходимости
строить колесо с двумя сотнями спиц, достаточно испытать одну спицу.
Она у меня получилась такой:


http://s47.radikal.ru/i118/1202/d0/e5e0330090bc.jpg

[Вашкевич Виктор]

Первый старт спицы.



http://www.youtube.com/watch?v=nUJluJA1TvQ&feature=youtu.be

На зубило пневмомолота пристроены две массы через пружины.
Силища огромная -  вибрация сбрасывает эти массы.
Нужно внести изменения в конструкцию

А что могут сказать математики?

[Петров А. М.]

Представители официальной науки восхищены тем, как автор темы «Резонирующий вечный двигатель» «доказал невозможность» безопорного движения и гравитационной энергетики. А в отношении сомневающихся Модератор peregoudov (вне Форума Железный Дровосек, возраст 40,  местоположение Москва) готовится подвести свой итог: «Ну что, идиотов уже можно вычищать? Или пусть ещё покукарекают?». Как заметил один из ветеранов Форума: «Сразу видно, что в обсуждении принимает участие профессор МГУ» (http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yabb2/YaBB.pl?num=1326998345/60).
Вышесказанное вынуждает и нас дать свой комментарий (напомню, что наши сообщения по данной теме Модератор удалял без объяснения причин).
В условии задачи обратим внимание на следующие исходные данные.
Sokolov:
«Данная задача имеет некоторое "прикладное" значение. Её решение закрывает один из проектов вечного двигателя, запатентованный, по слухам, во Франции (из патента взято приведённое ниже число 236). Однако решение любопытно и само по себе.
Итак, на колесе радиусом R с жёстко закреплённой горизонтальной осью свободного вращения (т.е. плоскость колеса вертикальна) имеется N=236 радиальных спиц (как у колеса велосипеда). Момент инерции колеса относительно оси равен J (в отсутствие грузов). На каждую спицу надевается точечный груз массой m, и пружина суммарной жёсткостью k… Колесо приводится во вращение посредством приложения к нему момента сил D(t), раскручивается до частоты резонансного возбуждения колебаний, затем частота вращения поддерживается постоянной за счёт некоторого специального выбора функции D(t) (какого?)… ВОПРОС номер три: При специальном выборе способа раскрутки колеса (до начального момента времени при закреплённых на радиусе R/2 грузах колесо раскручивают до резонансной частоты, затем грузы отпускают и специальным выбором D(t) частоту вращения поддерживают постоянной) решить задачу аналитически».
Если проект запатентован, то в нём должна быть скрыта некая «изюминка», которую широкой публике не показывают в интересах сохранения монопольного права на изобретение. А без этого знания эксперту следует быть осторожным в оценках и воздержаться от далеко идущих выводов. В чём видится нарушение такого, методологически выдержанного, подхода в рассматриваемом случае?
Преимущества резонансного накопления энергии проявляются тем сильнее, чем выше добротность колебательной системы (т.е. чем меньше коэффициент затухания свободных колебаний и, соответственно, величина диссипативных потерь). Однако взявший на себя функции эксперта аналитик, без рассмотрения вариантов и какого-либо обоснования, выбрал за авторов проекта заведомо самый невыгодный резонансный режим, с отбором накапливаемой энергии аналогично естественным диссипативным потерям, т.е. по скорости колебательного процесса (первой производной по времени от координаты).
Поскольку амплитуда колебаний груза, из-за технических ограничений, не может превышать половины радиуса колеса, то для осуществления такого (энергетически невыгодного, да ещё и пространственно стеснённого) резонансного режима добротность колебательной системы вынужденно «загрубляется», а, значит, и развиваемая внешней гравитационной силой активная мощность оказывается крайне низкой.

[Петров А. М.]

А дальше – не лучше. Вызываемая данным видом колебательного процесса асимметрия в траектории движения грузов (относительно центра или оси вращения колеса) приводит к самому неблагоприятному режиму торможения вращения и, соответственно, к наибольшим затратам энергии на поддержание постоянной угловой скорости вращения колеса, диктуемой условиями резонанса. С затратами энергии на поддержание постоянной угловой скорости вращения колеса можно было бы (по крайней мере, на первых порах) не считаться при целевой ориентации системы не на накопление гравитационной энергии, а на осуществление безопорного движения. В этом случае, т.е. когда постоянство угловой скорости вращения колеса обеспечивается вне зависимости от величины необходимых для этого энергетических затрат, колебательный и вращательный процессы фактически становятся не связанными друг с другом и могут исследоваться раздельно. Но аналитик, по необъяснимым причинам, от этого отказывается и искусственно включает энергию, приобретаемую в резонансном режиме, и энергию, затрачиваемую на стабилизацию вращения, в общие для всей системы энергетические соотношения, а, именно, в её лагранжиан, диссипативную функцию и «закон сохранения энергии».
В результате возникает методологический нонсенс. Каков физический смысл лагранжиана и каковы основания для его применения в данном случае? Лагранжиан представляет собой функцию, зависящую только от координаты и скорости, причём, если взять от неё интеграл по времени (называемый действием), а затем вариацию по множеству возможных траекторий движения системы, то эта вариация для любой точки траектории должна оставаться равной нулю. Это – не доказуемый (в общем случае принимаемый на веру, а, значит, чреватый ошибочными решениями) постулат, справедливый безусловно лишь для ограниченного класса динамических систем, точнее, для замкнутых систем (или «приводимых к замкнутым»; последнее требует обоснования).
В рассматриваемом случае этот постулат явно не соблюдается: энергия поступает в систему извне двумя разными путями и двумя же разными способами в ней диссипируется. В результате траектории как отдельных элементов (грузов), так и в целом открытой резонансной системы, не совпадают с «геодезическими линиями», а вариации действий отклоняются от нулевых значений.
Возникает вопрос: зачем в анализе данной динамической системы переходить на язык постулатов, когда любые её энергетические характеристики можно получить путём точного расчёта, а, именно, путём интегрирования силового баланса по пути движения «рабочих масс»? Ведь символьные записи энергетических соотношений, не выведенные из решения уравнений движения, а взятые «из головы, из общих соображений», лишь создают видимость точного анализа и заставляют полностью полагаться на результаты машинного счёта.
Ущербность методологии лагранжианов для данной системы чётко проявляется в представленном аналитиком «законе сохранения энергии». На самом деле, речь идёт лишь о дифференциальной форме такого закона, а, именно, о балансе мощностей, имеющем точность «до произвольной энергетической константы». На его основе можно провести прикидочный машинный расчёт энергетических показателей простейших систем. Но для синтеза открытых динамических систем с принципиально новыми свойствами методология лагранжианов принципиально не пригодна: для этого применимы только более совершенные аналитические методы.
Как видим, выбранный аналитиком режим работы системы не дал преимущества той составляющей гравитационной силы, которая выполняет положительную работу (создаёт полезную энергию), а применённая им методология анализа изначально включает в себя постулат о невозможности достижения такого преимущества. Тем не менее, из этого отнюдь не следует, что «такого не может быть никогда». Покажем это на конкретном примере.
Снова обратимся к уже решённой задаче и кратко напомним её суть.
Во вращающейся системе координат резонансные колебания единичного груза с нулевой начальной фазой описываются уравнением движения в виде баланса сил, приведённых к единичной массе груза:
d²x/dt²+γdx/dt+ω²x=gcosωt,
где x – отклонение от среднего положения, равного половине радиуса колеса,
γ – удвоенный коэффициент затухания свободных колебаний,
ω – частота вращения колеса, она же – резонансная частота колебания грузов,
g – ускорение свободного падения.
Поскольку величина центробежной силы (при постоянной частоте вращения) пропорциональна расстоянию груза до центра вращения, то жёсткость возвратной пружины может быть подобрана так, чтобы возвращающая (в положение равновесия) сила, отнесённая к массе, была равна величине –ω²x. Это является условием поддержания резонансных колебаний в системе.
Решая уравнение движения, получаем:
x(t)=(g/ωγ)sinωt.

[Петров А. М.]

То же движение, но в не вращающейся системе координат (или как оно видится стороннему наблюдателю), адекватно представляется на комплексной плоскости. Направим действительную ось по вертикали вниз (вдоль силы тяжести), а мнимую ось – по горизонтали вправо (с поворотом от действительной оси координат на 90º в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки). Тогда произведение величины x(t)=(g/ωγ)sinωt на фазовый множитель вращения ехр(iωt), плюс добавленное сюда же начальное смещение груза на половину радиуса колеса, также умноженное на ехр(iωt), даёт искомую траекторию движения единичного груза в не вращающейся системе координат:
z(t)=(g/ωγ)sinωt ехр(iωt)+(r/2) ехр(iωt)= i(g/2ωγ)+(r/2)ехр(iωt)–i(g/2ωγ)ехр(i2ωt).
Для других грузов решение отличается лишь величиной начального фазового сдвига (или дополнительного поворота в пространстве). При этом для любого груза в решении присутствуют: 1) смещение по горизонтали вправо на постоянную величину g/2ωγ, равную половине амплитуды колебаний грузов, 2) вращение с постоянным радиусом, равным половине радиуса колеса, и с частотой, равной частоте вращения колеса, 3) вращение с радиусом, равным половине амплитуды колебаний грузов, и с частотой, равной удвоенной частоте вращения колеса.
Имея это решение задачи, не составляет труда получить  все необходимые энергетические соотношения строго аналитически. Так, умножая компоненты силового баланса (уравнения движения) на скорость движения грузов, получим величины развиваемой двумя составляющими внешнего гравитационного воздействия (mgcosωt и mgsinωt) мощности, первая из которых диссипируется, а вторая затрачивается на торможение вращения колеса (здесь сразу же напрашивается конструктивное усовершенствование системы в виде «круговой», т.е. радиально-тангенциальной, динамической подвески грузов, заставляющей и вторую составляющую гравитационной силы  mgsinωt  также выполнять полезную работу, тем самым увеличивая выход полезной энергии вдвое!). Если же проинтегрировать тот же силовой баланс по пути движения груза, то получим величины энергии или выполняемой внешними и внутренними силами работы.
Механизм, с помощью которого авторы патента направляют полезную резонансную энергию на стабилизацию вращения, нам не известен. В рассматриваемой же постановке задачи «полезная» резонансная энергия, помимо её неоправданной минимизации (путём «загрубления» колебательной системы, о чём говорилось выше), ещё и просто бесполезно диссипируется. А экспертом это «подаётся» в качестве некоего «проверочного теста»:  
«…Для аттестации данного устройства как вечного двигателя, управляющий момент был отключён (D=0). После некоторого замедления вращения система вышла из резонанса и затем из-за продолжающейся диссипации энергии частота вращения и амплитуда колебаний начали медленно затухать».
В то же время эксперт  совершенно верно оценивает физический смысл происходящего:
«…Есть один очень любопытный момент: сила тяжести в процессе резонансной раскачки колебаний постоянно совершает положительную работу. Как-то непривычно такое ожидать со стороны не зависящей от времени потенциальной силы и непривычность эта может, особенно в незрелых умах, порождать иллюзию того, что ("дармовая") энергия извлекается из гравитационного поля.  На самом деле одновременно момент силы тяжести совершает отрицательную работу по торможению вращения – а суммарная работа силы тяжести в установившемся режиме равна нулю. И энергия на возбуждение колебаний и их диссипацию черпается не из гравитационного поля».
Правильно: «гравитационное поле» здесь не причём! Среднее положение грузов (и, следовательно, их средний гравитационный потенциал) остаётся в гравитационном поле неизменным. И гравитационная сила остаётся постоянной по абсолютной величине и направлению, но, оказываясь для вращающихся грузов «расщеплённой» на две составляющие mgcosωt и mgsinωt, утрачивает (но только по отношению к этим грузам!) свойства потенциальности.
Это признаёт и сам эксперт, констатируя, что обе составляющие гравитационной силы выполняют работу: одна положительную, другая отрицательную. Но вот на каком основании эксперт утверждает, что эти величины всегда должны быть по модулю равны друг другу, а по знаку противоположны, остаётся неясным.

[Петров А. М.]

Предложим контрпример конструктивного решения, при котором результат будет иным.
Ранее мы видели, что для резонансной колебательной системы, с достаточно (и подчеркнём: вынужденно!) большими диссипативными потерями, смещение груза в горизонтальном направлении под действием вертикальной силы тяжести имеет вид вынужденных гармонических колебаний (во вращающейся системе координат на комплексной плоскости). Однако, если мы снизим диссипативные потери до «исчезающе малых» значений, то это же смещение груза на фиксированную величину будет представлять собой уже свободные (т.е. практически не затухающие) гармонические колебания. Технически обеспечив возможность неограниченного перемещения грузов (вместе с колесом) в горизонтальном направлении, мы можем реализовать такое перемещение под внешним гравитационным воздействием в виде резонансного процесса
z=ivt exp(–iωt),
где v – линейная скорость горизонтального перемещения колеса (вместе с грузами),
exp(–iωt) – множитель обратного вращения, переводящий неподвижную систему координат во вращающуюся (вместе с колесом).
Уравнение движения на комплексной плоскости будет иметь вид:
d²z /dt²+ω²z=g exp(–iωt).
Подстановкой в уравнение движения функции z(t) и её второй производной по времени убеждаемся, что внешнее гравитационное воздействие обеспечивает горизонтальное перемещение колеса с линейной скоростью v=g/2ω.
Естественно, должны быть приняты меры для того, чтобы колесо массой М, значительно превышающей общую массу грузов (что необходимо для выполнения колесом функции маховика, стабилизирующего скорость вращения системы), не только не препятствовало, а, наоборот, способствовало как самому горизонтальному перемещению грузов, так и, при этом, выполнению ими полезной работы.
Это может быть обеспечено динамической подвеской оси колеса в неподвижной точке, отстоящей от центра колеса на некотором расстоянии R. В этом случае масса колеса перестаёт быть пассивным балластом, а в своём собственном резонансном режиме совершает вращение в  горизонтальной плоскости (подобное прецессии волчка с горизонтальным расположением оси быстрого вращения).
Движение с наложением вращений в трёхмерном пространстве адекватно описывается уравнением в кватернионах, которое мы здесь приводить не будем, отсылая интересующихся к своей статье «Задача о вращающемся волчке…» в Научном журнале Форума.
В заключение привожу фрагмент интересного диалога автора темы «Резонирующий вечный двигатель» с одним из участников Форума, временно допущенным к обсуждению темы.
Petrovich Tot :
«…Дурында вполне может закатиться на горку бóльшей высоты, чем та, с которой она скатилась…».
Sokolov:
«Из решения сразу видно, что эта диссипативная дурында скатиться-то без приключений с горки не может, куда ей еще закатываться!».
Вспомнился аналогичный разговор двух мужиков, подслушанный и записанный классиком (не научно-технической!) литературы:
"Вишь ты", сказал один другому, "вон какое колесо! Что ты думаешь, доедет то колесо, если б случилось в Москву, или не доедет?" – "Доедет", отвечал другой. "А в Казань-то, я думаю, не доедет?" – "В Казань не доедет", отвечал другой. – Этим разговор и кончился.

[Вашкевич Виктор]

Жаль, у пневмомолота мал диапазон регулировки частоты...

http://www.youtube.com/watch?v=al559dNAqUU&feature=channel

[Петров А. М.]

Эксперименты такого рода полезны (для прояснения физической сути задачи), но решающий успех, как видно, возможен только на бесконтактных (электромагнитных) технологиях, обеспечивающих исчезающе малые диссипативные потери. Но в этом случае и принципиальная схема "конвертера гравитационной энергии" должна быть другой, с возможностью преобразования вертикального гравитационного воздействия в горизонтальное движение рабочей (т.е. одновременно вращающейся, колеблющейся и перемещающейся горизонтально) массы.
Выше у меня было показано, что горизонтальное равномерное поступательное движение рабочей массы во вращающейся системе координат выглядит как движение по спирали с линейно возрастающим расстоянием от центра вращения. И это вовсе не условный методический приём, а имеющее реальный смысл представление линейного перемещения в виде результата резонансного процесса, при котором (обычно пассивная) сила притяжения обнаруживает себя с совершенно неожиданной стороны, а именно, как неисчерпаемый (при условии обеспечения достаточно малых диссипативных потерь, для чего и нужна "бесконтактная механика"!) источник "даровой" энергии. Есть веские основания полагать, что именно гравитация служит в Природе источником поддержания всех видов движения, от микроскопических до макроскопических её масштабов.
Пусть наглядным примером служит Луна, которая одной стотысячной долей процента, вносимой в ускорение свободного падения на поверхности Земли, поднимает приливные волны в акватории океана  высотой 8 метров, а на суше - высотой 50 см (описаны и примеры "людей-лунатиков", которые при полной Луне в состоянии сна свободно разгуливают по карнизам окон и крыш домов, как будто поддерживаемые неведомой силой; но за достоверность этих сведений не ручаюсь).