Чего ты мучаешься? Зачем строишь сложные, несвязанные между собой, рассуждения? К чему такие длинные посты?
Я перенес в свою ветку длинный пост, который вызвал Ваше неудовольствие. Здесь даю его изложение в сокращенном виде, а за более полными доказательствами
обращайтесь сюда.
1. Содержание параграфа "Система действительных чисел" в [1] от начала и до введения множества A исчер-пывается следующим утверждением. Каждому натуральному числу p=1,2,3... ставится в соответствие число
\[ r_p=\sum_{j=1}^{n_s(p)}{e^p_j\cdot2^{-j}}=0,\frac12,\frac14,\frac34,\frac18,\frac58,\frac38,\frac78,\frac1{16},\frac{9}{16},\frac5{16},\frac{13}{16},\frac3{16},\frac{11}{16},\frac7{16},\frac{15}{16}...\quad(1) \]
где e
pj для данного p можно найти как равные 0 или 1 цифры в записи числа (p-1) в двоичной системе,
\[ p=1+\sum_{j=1}^{n_s(p)}{e^p_j\cdot2^{j-1}}, \quad 2^{n_s(p)-1}<p\le2^{n_s(p)} \]
а n
s(p) - число двоичных цифр в такой записи. Счетное множество А чисел r
p, есть множество всех двоично-рациональных чисел (то есть дробей вида m/2
n при натуральных m,n) на отрезке [0;1], за исключением 1.
После этого на странице 95 работы [1] было сделано
ошибочное утверждение, что А будто бы является множеством всех действительных чисел на отрезке [0;1] (а не только двоично-рациональных).
2. Дальнейшее содержание параграфа исчерпывается утверждением о возможности аппроксимации любого действительного числа (не обязательно двоично-рационального) на отрезке [0;1] некоторым числом из А.
3. Заключительный вывод (последняя строка стр 96 - первая строка стр 97) о тождественности множества А системе дейстительных чисел
грубо ошибочен.
Наоборот, из п.
2. следует возможность построения
последовательности элементов множества А (двоично-рациональных чисел, согласно п.
1.), которая сходится к числу
не являющемуся элементом множества А (см комментарий [4]). Тем самым
доказывается отсутствие "полноты поля" А, т.е.
определяющего свойства системы действительных чисел ([2], с.154).
4. При отказе от претензии на отождествление множествa A со множеством действительных чисел утверждение о том, что множество A
счетно (п.
1.) и
всюду плотно в пространстве действительных чисел (п.
2.), тривиально и выражает общеизвестную
сепарабельность (а вовсе не счетность)
пространства действительных чисел [3].
[1] К.В.Давидюк, Конструктивная Теория Множеств.
[2] Л.В.Куликов, Алгебра и теория чисел
[3]
Сепарабельное пространство[4] Пример: число 1/3 не рационально-двоичное и не принадлежит А, но является пределом частных сумм ряда
\[ \frac13=\frac14+\frac1{16}+...=\sum_{j=1}^\infty{4^{-j}}=\lim_{J\rightarrow\infty}{\sum_{j=1}^J{4^{-j}}}=\lim_{J\rightarrow\infty}{r_{p(J)}},\qquad p(J)=1+\sum_{j=1}^J{2^{2j-1}}=\frac{2\cdot4^J+1}3=3, 11, 43, ... . \]
причем каждая частная сумма есть двоично-рациональное число и присутствует в множестве A под номером p(J)
