Мне бы хотелось, чтобы всем желающим была понятна суть дела, тем более, что я могу теперь объяснить главную ошибку Давидюка более подробно и доказательно.
Давидюком построено "счетное множество" A (то есть буквально - последовательность) чисел r
p\[ A=\{r_p\}\qquad(1) \]
нумерованная целым индексом p=1,2,3,... а затем объявлено, что это
все действительные числа отрезка [0;1].
Рецензент из Института Математики сразу заметил: нет,
не все, а только двоично-рациональные (то есть простые дроби со степенью двойки в знаменателе),
и не включена даже единица, тем более, скажем 1/3. Я пошел дальше, и выписал в явном виде выражение для каждого члена этой последовательности,
полностью подтвердившее мнение Рецензента.
А Давидюк противопоставляет нашим резонам только одно рассуждение, основанное на присутствии в его рекурсивной функции приближений для любого действительного числа с любым порядком точности. А дальше применяется "мантра Давидюка-Слабодской":
При переходе к пределу по рекурсии результирующее множество содержит последовательность, сходящуюся к числу 1.
или
На каждом шаге построения числа "1" имеется его n-ое приближение (любого n). С увеличением числа шагов (при n стремится к бесконечности) n-ое приближение завершается (становится абсолютным).
И отсюда вроде как подразумевается:
значит, единица тоже входит в множество (1).
Так вот - это не так и я могу это показать (и при необходимости подробно доказать). Вся работа Давидюка основана на введенной им рекурсивной функции F(p,n)=[a
pn; a
pn+2
-n]. При этом числа (1) - элементы пространства А - вводятся следующим образом:
\[ r_p=\lim_{n\rightarrow\infty}a^p_n=a^p_\infty\qquad(2) \]
где предельный переход по n к бесконечности, происходит при фиксированном p. Если же "мантру Давидюка-Слабодской" строго сформулировать в его же терминах (перед этим понять, что тут последовательные приближения единицы, под какими номерами они присутсвуют в F итд), то она будет выглядеть так:
\[ 1=\lim_{n\rightarrow\infty}a^{p=2^n}_n.\qquad(3) \]
Поскольку предел в (3) при n стремящемся к бесконечности, происходит не при фиксированном p, нет оснований утверждать, что 1 принадлежит пространству (1). Чтобы понять смысл (3), замечу, что при любом фиксированном J можно ввести фиксированное p=2
J и, исследуя свойста последовательности, a
p=2Jn обнаружить, что она становится стационарной, начиная с n=J:
\[ a^{p=2^J}_{J}=a^{p=2^J}_{J+1}=a^{p=2^J}_{J+2}...=a^{p=2^J}_{\infty}=r_{p=2^J}.\qquad(4) \]
что позволяет переписать (3) в виде:
\[ 1=\lim_{J\rightarrow\infty}r_{p=2^J}.\qquad(5) \]
Но это соотношение имеет совершенно иной смысл!
не тот, что действительное число 1 принадлежит множеству А, а тот, что можно выбрать последовательность из элементов множества А, rp(J) сходящуюся к единице!. Вестимо, можно: любое действительное число в виде бесконечной десятичной дроби есть сходящаяся к числу последовательность конечных десятичных дробей (десятично-рационального числа) - почему для двоичных-рациональных чисел должно быть не так?
Отсюда окончательно ясна ошибочность работы Давидюка, причем доказанная исключительно в рамках аппарата и логики самой работы.
Рекурсивный алгоритм порождает двоично-рациональные числа и только их. А мантра Давидюка-Слабодской переписанная в обозначениях работы, означает не то что всякое действительное число двоично-рациональное, а то, что для
любого действительного числа можно построить последовательность двоично-рациональных чисел, сходяшихся к этому действительному числу.
==Чисто из любопытства=====
Если бы отрезок в работе Давидюка делился бы на 10 частей, а не на 2 - что бы получилось тогда?
Тогда
1. Последовательность r
p элементов множества А имела бы вид (ряд натуральных чисел, записанных задом наперед в мантиссу десятичной дроби)
0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 0,01; 0,11; 0,21; 0,31; 0,41; 0,51; 0,61; 0,71; 0,81; 0,91; 0,02...
2. Его вопрос "чему равно n для единицы" звучал бы как "сколько цифр в числе 0,9999999..."
3. И число пи - 3=0,14159... в состав элементов множества конечно бы не входило. Но вот возможность построить для него сходящуюся подпоследовательность элементов множества А была бы общеизвестной:
\[ \pi-1=\{0; 0,1; 0,14; 0,141; 0,1415; 0,14159 ...\} \]
наряду с возможностью записывать эту последовательность в виде номеров этих чисел в последовательности
\[ \pi-1=\{r_1; r_2; r_{42}; r_{142}; r_{5142}; r_{95142} ...\} \]
