Рецензия на работу К.В.Давидюка "Конструктивная Теория Множеств" (КТМ).Настоящим
подтверждаю заключение ИМ НАН РБ об ошибочности работы КТМ:
построенное в ней множество А является множеством двоично-рациональных чисел отрезка [0,1] за исключением единицы, а не всех действительных чисел отрезка [0,1], как утверждяется в КТМ.
Аннотация. На стр.90-92 КТМ действительное число определено
через соответствие как предел последовательности "вложенных" пар рациональных чисел. Далее на стр.94-95 определяется множество А:
1. Введена функция F(p,n) двух целых аргументов (индексов) p=1,2,3,...,n=0,1,2, значениями функции являются пары
двоично-рациональных чисел (то есть чисел вида m/2
n, где m - целое):
\[ F(p,n)=[a^p_n;a^p_n+2^{-n}],\quad p=1,2,3,...\quad n=0,1,2...\qquad(1) \]
где a
10=0, а прочие a
pn заданы рекурсивно
*):
\[ a^p_n=
\left\{
\begin{array}{ll}
a^p_{n-1}=...=a^p_{s(p)}&,\text{}\,\,\,\,s(p)<n<\infty\quad(2.1)\\
a^{p}_{n-1}+2^{-n}&,\text{}\,\,\,\,0<n=s(p)\quad(2.2) \\
a^{p-2^{s(p)-1}}_{n}&,\text{}\,\,\,\,0\le n<s(p)\quad(2.3)\\
\end{array}
\right. \quad \qquad(2) \]и целое число s(p) для заданного p находится из соотношения: 2
s(p)-1<p ≤2
s(p).
2. При любом фиксированном p нумерованная индексом n последовательность значений функции
*) F(p,n):
\[ F(p,n)=[a^p_n;a^p_n+2^{-n}],\quad n=0,1,2,...\qquad(3) \]
есть последовательность вложенных пар,
которой соответствует имеющая пределом действительное число r
p:
\[ r_p=\lim_{n\rightarrow\infty}F(p,n)=\lim_{n\rightarrow\infty}a^p_n. \] Множество таким образом введенных чисел r
p в КТМ обозначено А.
Мое изложение тождественно КТМ по смыслу, однако смотри
*).
Зачеркнутый вариант учитывает, что в КТМ не вводится
понятие предела.
Опровержение. Согласно (2.1) последовательность a
pn при фиксированном р
стационарна - все ее члены, начиная с n=s(p), равны: a
pn=a
ps(p) при n>s(p). Поэтому все числа r
p (элементы множества А)
соответствуют стационарным последовательностям двоично-рациональных чисел и потому двоично-рациональны:
\[ r_p=a^p_{s(p)}. \]
Итак, доказано: А - это множество двоично-рациональных чисел, - а не всех действительных чисел.Числа r
p и их свойства могут быть получены с помощью вытекающего из (2) правила рекурсии для них:
\[ r_1=0,\qquad r_p=r_{p-2^{s(p)-1}}+2^{-s(p)}, \]\[ r_p=0,\frac12,\frac14,\frac34,\frac18,\frac58,\frac38,\frac78,\frac1{16},\frac{9}{16},\frac5{16},\frac{13}{16},\frac3{16},\frac{11}{16},\frac7{16},\frac{15}{16},...\qquad0\le r_p<1. \]
По официальному запросу заключение может быть подписано на бланке университета, входящего в топ-20 мирового рейтинга.
Примечания.*) В этом месте работы КТМ сделан "лишний ход":
1. Предполагается заполнение бесконечного списка "упорядоченных троек" [p,n,F(p,n)], p=1,2,3...,n=0,1,2...(предположение незаконно, так как такой список невычислим в конечном алгоритме).
- На шаге "рекурсии" J>0 создаются множества троек GJ-1, G*J-1, F*J-1 со значениями аргументов p,n функции F в интервалах:
\[ G_{J-1}:\,1\le p\le2^{J-1},\,\,\,n=J;\quad G^*_{J-1}:\,2^{J-1}<p\le2^J,\,\,\,n=J;\quad F^*_{J-1}:\,2^{J-1}<p\le2^J,\,\,\,n<J. \]
Отсюда:
[p,n,F(p,n)] ∈ Gn-1 , если s(p)<n;
[p,n,F(p,n)] ∈ G*n-1 , если 0<s(p)=n;
[p,n,F(p,n)] ∈ F*s(p)-1, если n<s(p) - сравни с условиями в (2.1-3).
- В тройках для генерации значений функции (1) используется один из вариантов рекуррентного соотношения (2):
вариант (2.1), если [p,n,F(p,n)] ∈ Gn-1;
вариант (2.2), если [p,n,F(p,n)] ∈ G*n-1;
вариант (2.3), если [p,n,F(p,n)] ∈ F*s(p)-1. (Доказано сотношение (2) во всех вариантах и условиях).
2. Для фиксированного р выделяются в класс все тройки, в которых первый элемент равен р: [p,n,F(p,n)], n=0,1,2...
3. Строится последовательность третьих элементов троек из класса: F(p,n), n=0,1,2...
Но это и будет последовательность (3)! Причем опирающийся на бесконечный алгоритм "лишний ход" недопустим, а введение последовательности (3) напрямую законно, так как каждый ее член (1) вычислим в конечном рекурсивном алгоритме (2).
