Чем отличается счётность множества от натуральной мощности множества. И что такое "счётная мощность множества". Сформулируйте определение.
Хороший вопрос и... самый главный. Обратимся к первоисточникам.
№ 1. Определение счетности.Множество А называется счетным, если существует функция g, отображающая взаимно однозначно множество А на множество натуральных чисел N.№ 2. Определение мощности (количества). а). Когда речь идет о небольшом конечном множестве, то все просто: пересчитываем элементы этого множества. Число, выражающее количество элементов этого множества, будет называться мощностью (количеством). В данном случае это будет
конечная мощность.
б). Когда рассматривается множество большого количества элементов, пересчитать его элементы трудно. Вот тут наши предки и придумали сравнивать множества методом образования пар, где пара образована из двух элементов сравниваемых множеств (одно из множеств зафиксировано и взято за эталон сравнения). Т. е. речь идет о существовании технологии, образующей пары до тех пор, пока не закончится одно из двух множеств. То, которое закончилось раньше, будет объявлено как меньшей мощности. Возможен вариант, когда элементы закончились одновременно - множества одинаковы по количеству (мощности).
с). Если речь идет о бесконечных множествах, то поступают по аналогии с большими конечными множествами, пытаются
подобрать взаимно однозначную функцию для образования пар. Если удалось подобрать такую функцию, что каждому элементу одного из множеств соответствует элемент другого множества и - наоборот, причем нет ни одного элемента, который не вошел в одну из пар, то множества объявляются одинаковыми по количеству (мощности).
Этот вариант "с" аналогичен определению из пункта № 1.
А если множество достаточно сложное, как угадать нужную функцию? Математика - это не технология угадывания, а точная наука, которая движется от причины к следствию и - наоборот. Поэтому, если не удается подобрать нужную функцию (функцию с нужными свойствами), то для установления мощности изучают метод построения исследуемого множества.
Пример. Множество натуральных чисел N счетно. Это значит, что любое множество, полученное рекурсивным способом (с базой рекурсии в виде конечного множества, в частности, состоящего из одного элемента), будет счетным по построению: элементы нумеруются в процессе их получения рекурсивным методомКак видим, установление мощности множества может происходить несколькими методами: с помощью функции или по построению. Таким образом, "счетность" это один из способов установления мощности, а именно функциональный.
А если доказано, что невозможно подобрать нужную функцию g? (Например, Кантор доказал, что какую бы мы функцию не брали, всегда можно построить такое действительное число, которое не войдет в пару (не будет занумеровано)). Что делать в этом случае?
Естественно, надо обратиться к другому способу, а именно, исследовать метод построения.
3. Снова возвращаемся к определениям.
Определение.
Множество С называется континуальным (имеющим мощность континуума), если оно несчетно, т. е. если не удается построить взаимно однозначную функцию, отображающую это множество на множество натуральных чисел N.
Будем обозначать это так N < CИтак, Кантор доказал несчетность действительных чисел R. А кто установил мощность этого множества? Ни в одной книге нет теоремы, устанавливающей количество (мощности) множества R. Еще раз подчеркну, что Кантор доказал отсутствие функции, а не свойство мощности.
4. А теперь главный вопрос: На каком основании введено неравенство: N < R ?
Все скажут: "Да это же очевидно - по определению!"
Мощность - это свойство, которое надо УСТАНАВЛИВАТЬ, а не ОПРЕДЕЛЯТЬ.
В моей работе УСТАНОВЛЕНО, что по построению мощность (количество) действительных чисел не превосходит количества натуральных чисел.
Таким образом, моя работа дополняет теорему Кантора: Кантор доказал несчетность, а я исследовал мощность.
______
Маленький Гном, ставлю тебе + за вопрос.
