Разгон ракеты

[aid]

Юдин с aидом пудрят друг другу и себе мозги.
Ракету, не взаимодействующую ни с чем, кроме собственного двигателя, отбрасывающего постоянный поток газов с постоянной скоростью (относительно ракеты) не надо рассматривать ни в какой ИСО, только в собственной системе координат.
Количество движения получаемое при отбрасывании газов всегда делится пополам, между ракетой переменной массы и отбрасываемым газом, поэтому ракета получает столько же, сколько отбрасываемый газ. Про тот газ, что выброшен ранее, наплевать и забыть.
    mv = M(t)dV - секундный импульс; => dV =  mv/M(t);

Масса ракеты: M(t) = M₀ - mt;

Ну и тогда: V(t) = ∫mv/(M₀ - mt)dt - всё. Осталось проинтегрировать.
 

Поставлена конкретная задача, а Вы решаете свою задачу - конечно, свою задачу решать проще . Однако вопрос о зависимости скорости от времени здесь не стоит, она и так известна из формулы Циолковского.

[rkjy]

  Важно, что суммарная работа над газами и ракетой, равная суммарному изменению КЭ топлива и ракеты получается точно равной произведению мощности на время. Кажущиеся парадоксы наступают, когда учитывают изменение энергии только одной из компонент, а не всей системы, участвующей в процессе.

А вот это и мне пригодится . Сопру ка я пожалуй эту зарубку к себе в блокнотик ..

[aid]

Да что мы, собственно говоря, растекаемся мыслью по древу. Вы запишите свои конкретные правильные формулы для времени разгона и КПД движителя и я покажу, что они не правильные.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

Время у меня такое же, как у Циолковского - Вы его приводили.
Насчет КПД - нет смысла приводить, пока мы точно не оговорим, что мы им называем.
У меня сходится энергетический баланс - работа двигателя - произведение мощности на время - равна изменению КЭ всей системы - ракеты и газов. При этом естественно, и законы Ньютона выполняются.
  Какие могут быть сомнения?

Вы же делаете что-то непонятное - Вы к изменению энергии топлива при разгоне прибавляете энергию выброшенных газов и изменение энергии ракеты. Т.е. к конечной энергии прибавляете энергию того же газа в процессе разгона. Это как при расчете энергии тела, падающего с крыши Вы сложите его кинетическую энергию у Земли с кинетической энергией на середине дома.
  Нам же для проверки энергетического баланса надо из конечной энергии сиcтемы (энергия ракеты со скоростью v2 + энергия выброшенных газов Eg) вычесть начальную энергию системы (энергия ракеты с топливом с общей скоростью v1).

И вот это приращение кинетической энергии системы надо сравнить с работой двигателя Pt. Они равны.

[Вашкевич Виктор]

Юдин с аидом пудрят друг другу и себе мозги.
   [.............................]
 

Ну конечно же пудрят друг другу мозги.
На топливной ракете с отбросом массы ни на какую планету не улетишь.
Это нужно быть камикадзе, чтоб в космосе лететь в одни конец - без возврата.
Двигатель должен работать без отброса массы.

[Ser100]

Осталось проинтегрировать.

Вот Вы пожалуйста проинтегрируйте и приведите Ваше решение. А то мы что ни будь не так поймем и сделаем не так, как Вы рекомендуете. А потом Вы будете нам доказывать, что Вы хотели сказать совсем не то, что мы поняли. Мы ведь и с Аидом не всегда понимаем друг друга.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Ser100]

Это как при расчете энергии тела, падающего с крыши Вы сложите его кинетическую энергию у Земли с кинетической энергией на середине дома.
 

К сожалению, у Вас опять неудачный пример. Вы лучше ответьте на конкретный вопрос. Для того, чтобы тело (газы), летящие в одну сторону, заставить лететь с той же скоростью, но в другую сторону надо затратить энергию или нет.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[aid]

К сожалению, у Вас опять неудачный пример.

Ну надо же каким-то примером показать, в чем некорректность Вашего расчета - искать не изменение энергии системы, а почему-то складывать конечную энергию газов с работой по разгону этих газов в промежуточной стадии и сравнивать это с работой двигателя. Эта величина ничего не показывает.

Вы лучше ответьте на конкретный вопрос. Для того, чтобы тело (газы), летящие в одну сторону, заставить лететь с той же скоростью, но в другую сторону надо затратить энергию или нет.

Изменение энергии газов ноль. На что тратить энергию? Предполагается, конечно, что при этом и внутренняя энергия тела не изменилась и тело не отдавало теплоту в окружающую среду.

В рассматриваемом нами примере с ракетой при сгорании топлива выделяется какое-то количество теплоты, идущее частично на работу. Работа идет на увеличение кинетической энергии газов и ракеты. Расчет показывает, что работа эта в точности равна увеличению этой энергии. Также часть теплоты идет на нагрев, излучение в окружающую среду и т.д. Поэтому работа и увеличение КЭ системы меньше количества теплоты.

[Ser100]

Изменение энергии газов ноль. На что тратить энергию?

Значит, Вы продолжаете настаивать на том, что если мы сначала спустим рояль с десятого этажа на первый, а потом опять поднимем на десятый, то, т.к. энергия рояля не изменилась, то и энергию на его спуск и подъем мы не тратили.

Предполагается, конечно, что при этом и внутренняя энергия тела не изменилась и тело не отдавало теплоту в окружающую среду.

В рассматриваемом нами примере с ракетой при сгорании топлива выделяется какое-то количество теплоты, идущее частично на работу. Работа идет на увеличение кинетической энергии газов и ракеты. Расчет показывает, что работа эта в точности равна увеличению этой энергии. Также часть теплоты идет на нагрев, излучение в окружающую среду и т.д. Поэтому работа и увеличение КЭ системы меньше количества теплоты.

Вы зачем забалтываете задачу. У нас есть двигатель, который неизвестно сколько производит тепловой энергии, но нам задано, что механической энергии, т.е. произведение массы выбрасываемых газов на квадрат их скорости выбрасывания (деленное пополам) равно 100 кВт. Зачем нам рассматривать излучение, если нам задана уже чистая механическая энергия. Так что не отвлекайтесь от нашего главного противоречия в решении, т.е. от энергии рояля.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[aid]

Вы зачем забалтываете задачу. У нас есть двигатель, который неизвестно сколько производит тепловой энергии, но нам задано, что механической энергии, т.е. произведение массы выбрасываемых газов на квадрат их скорости выбрасывания (деленное пополам) равно 100 кВт. Зачем нам рассматривать излучение, если нам задана уже чистая механическая энергия. Так что не отвлекайтесь от нашего главного противоречия в решении, т.е. от энергии рояля.

Сергей, извините, но задачу забалтываете Вы! Вы обещали доказать, что у меня ошибка. Я выполнил расчет и получил, что мощность 100 кВт, умноженная на время разгона точно равна увеличению КЭ всей системы - из ракеты и топлива. Вот это Вы и проверяйте.

     При чем в разных СО распределение изменения КЭ ракеты и топлива может быть разным. Можно даже выбрать СО, в которой ракета вначале движется влево, а в результате испускания газов, тормозится. Но при этом газы свою энергию увеличат сильнее - и в этом случае энергетический баланс сойдется - закон сохранения энергии нерушим и не зависит от ИСО, хотя начальная и конечная скорости ракеты зависят.
     А роялем Вы задачу и забалтываете - энергия рояля, если он не нагрелся, не изменилась. Но мы потратили энергию, в итоге нагрев окружающую среду - энергия никуда не исчезает, а только переходит из одного вида в другой. Вы сам сказали, что нас интересует только механическая энергия, а теплота, которую Вы выделили, потея при таскании рояля вверх-вниз, нас не интересует!

[Ser100]

Сергей, извините, но задачу забалтываете Вы! Вы обещали доказать, что у меня ошибка. Я выполнил расчет и получил, что мощность 100 кВт, умноженная на время разгона точно равна увеличению КЭ всей системы - из ракеты и топлива. Вот это Вы и проверяйте.

Я на Вашу ошибку и указал, когда привел Вам пример с роялем, который может быть и не совсем корректен, но помогает увидеть Вашу ошибку с обратимостью кинетической энергии массы топлива, которое сгорает в процессе разгона. А то, что энергетический подход Лагранжа для описания явлений природы ущербен, показал еще Герц, который писал, что все сущности этого подхода объединяются воедино каким ни будь вариационным интегральным принципом (Герц для примера рассматривает принцип наименьшего действия Гамильтона). Преимуществом данного подхода является то, что он позволяет уйти от многих процессов, которые пока еще не ясны, и скрыться за общими выражениями для энергии.

Другими недостатками такого подхода Герц считает то, что принцип наименьшего действия  Гамильтона применим только к обратимым процессам, т.е. к тем, где в системах нет диссипации энергии, и к системам только с голономными связями. В качестве системы с неголономными связями Герц приводит качение шара, которое происходит с обязательным упругим проскальзыванием в пятне контакта. Вот и у нас газы проскальзывают относительно ракеты, и относительно среды в которой движется ракета поэтому формальный энергетический подход может тут дать совершенно абсурдный результат, если не вникать в сами процессы, происходящие при этом, а прикрыться энергетическим формализмом.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Ser100]

    При чем в разных СО распределение изменения КЭ ракеты и топлива может быть разным. Можно даже выбрать СО, в которой ракета вначале движется влево, а в результате испускания газов, тормозится. Но при этом газы свою энергию увеличат сильнее - и в этом случае энергетический баланс сойдется - закон сохранения энергии нерушим и не зависит от ИСО, хотя начальная и конечная скорости ракеты зависят.
     А роялем Вы задачу и забалтываете - энергия рояля, если он не нагрелся, не изменилась. Но мы потратили энергию, в итоге нагрев окружающую среду - энергия никуда не исчезает, а только переходит из одного вида в другой. Вы сам сказали, что нас интересует только механическая энергия, а теплота, которую Вы выделили, потея при таскании рояля вверх-вниз, нас не интересует!

Т.е. Вы настаиваете на рассмотрение только процессов с газами и утверждаете, что при разгоне ракеты происходят только обратимые процессы, равно как и при ее торможении, т.к. никакой диссипации энергии у нас нет. Хорошо. Тогда давайте и рассмотрим торможение и разгон. При торможении, когда мы будем выбрасывать газы со скоростью 315 м/с относительно ракеты и по ходу движения ракеты. У нас энергия ракеты (без массы сгоревшего топлива) в конце торможения станет меньше, а энергия выброшенных газов, т.е. массы топлива, которая при торможении превратилась в выброшенные газы, станет больше. Таким образом, с энергетической точки зрения все будет в порядке. Так же (формально) все будет в порядке с энергетической точки зрения, если мы теперь опять разгоним ракету до первоначальной скорости выбрасывая газы со скоростью 315 м/с относительно ракеты и против хода движения ракеты.

Только этот процесс торможения и разгона является необратимым процессом и мы затрачиваем энергию, как на торможение ракеты, так и на разгон. И при этом одни газы (при торможении) летят в одну сторону, а другие (при разгоне) в другую. И превратить энергию одних газов в энергию других мы никак не можем. А вот, если бы мы тормозили ракету с помощью пружинки, как, например, тормозят самолеты на авианосцах, то тогда бы эта энергия перешла в потенциальную энергию пружинки и потом при распрямлении пружинки ракета и топливо в ней полетели бы в другую сторону с той же самой энергией, что была у ракеты и топлива до торможения и на этот процесс не было бы затрачено дополнительной энергии.

А в нашем случае мы при разгоне ракеты имеем дело с кинетической энергией массы топлива, которая летит вместе с ракетой в одну сторону, а потом выбрасывается в другую сторону, как газ. Так вот эта кинетическая энергия не может трансформироваться как при обратимымых процессах. И прежде, чем мы разгоним газы (массу топлива, летящую в ракете) при их выбросе из ракеты до -315 м/с, нам сначала надо затратить энергию, чтобы затормозить эти газы от скорости +315 м/с до нуля, а потом уже разгонять от нуля до -315 м/с. А у Вас получается, что газы летели со скоростью +315 м/с и обладали кинетической энергией mg*Vsr^2/2, а Вы принимаете, что это у них потенциальная энергия была mg*Vsr^2/2, запасенная в какой то мифической пружинке, и, когда эти газы после выброса из ракеты полетели в другую сторону, то у Вас получается, что эта пружинка распрямилась и потенциальная энергия газов превратилась в кинетическую, т.е. никакого дополнительного расхода энергии на этот процесс (торможения газов и их последующего разгона) не потребовалось. Вот это и есть Ваша ошибка в развернутом виде.

P.S. Пока Вы не отделите от массы ракеты в начале разгона массу топлива, которая в процессе разгона превратится в вылетевшие газы, Вы не получите формулу для КПД движителя, т.е. Egr Вам обязательно надо будет выделять в отдельную величину.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[aid]

Т.е. Вы настаиваете на рассмотрение только процессов с газами и утверждаете, что при разгоне ракеты происходят только обратимые процессы

Сергей, когда я заговорил о переходе энергии топлива в теплоту, Вы сказали, что это нас не интересует, а теперь Вы заговорили про необратимые процессы. На не интересует, сколько энергии топлива необратимо рассеивается - это Ваше же требование.

Тогда давайте и рассмотрим пример с торможением, когда мы будем выбрасывать газы со скоростью 315 м/с по ходу движения ракеты. У нас энергия ракеты (без массы сгоревшего топлива) в конце торможения станет меньше, а энергия выброшенных газов, т.е. массы топлива, которая при торможении превратилась в выброшенные газы, будет равна нулю потому что скорость газов станет равна нулю.

Газы выбрасываются по ходу движения ракеты и их скорость становится равна нулю? А не 630 м/c?
Сергей, куда газы ни выбрасывай, мощность на время всегда даст сумму изменения энергии ракеты и газов. Если энергия ракеты уменьшилась, энергия газов увеличится.

[Gravio]

Вот Вы пожалуйста проинтегрируйте и приведите Ваше решение. А то мы что ни будь не так поймем и сделаем не так, как Вы рекомендуете. А потом Вы будете нам доказывать, что Вы хотели сказать совсем не то, что мы поняли. Мы ведь и с Аидом не всегда понимаем друг друга.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

Ох уж этот Иудин-интегратор...
Ты хоть знаешь почему ракета летит?
Газы входят в массу ракеты.
Все молекулы ракеты на старте - имеют нулевой баланс суммарных колебаний.
Покой это сынок.
Как только одна молекула - вылетела унося с собою массу и свой импульс
суммарное колебание молекул ракеты - уже не равно нулю - вот и движение.
Но это движение - теоретическое.
реально - расширение тела в одну сторону.

[Ser100]

Ох уж этот Иудин-интегратор...
Ты хоть знаешь почему ракета летит?

Естественно знаю. Потому, что тебе вместо мозгов засыпали гравий, а ракете об этом ничего не сказали.

Сергей Юдин.

[Ser100]

Сергей, когда я заговорил о переходе энергии топлива в теплоту, Вы сказали, что это нас не интересует, а теперь Вы заговорили про необратимые процессы. На не интересует, сколько энергии топлива необратимо рассеивается - это Ваше же требование.

Я говорил про то, что меня не интересуют процессы протекающие внутри двигателя (какая температура газов и их давление, насколько полно сгорает топливо и т.д.) а также излучение и трение, а про то что нас не интересует сколько уже чистой механической энергии газов теряется безвозвратно я не говорил.

Газы выбрасываются по ходу движения ракеты и их скорость становится равна нулю? А не 630 м/c?

Я извиняюсь. Меня что-то не туда занесло. Я переделал свое сообщение, чтобы этого казуса не было, но основная моя мысль о необратимости кинетической энергии массы топлива в ракете, которая сгорает в процессе разгона, осталась неизменной.

Сергей, куда газы ни выбрасывай, мощность на время всегда даст сумму изменения энергии ракеты и газов. Если энергия ракеты уменьшилась, энергия газов увеличится.

Это не совсем так. Если мы будем выбрасывать газы перпендикулярно скорости ракеты (в противоположные стороны), то какова бы их энергия не была, на энергии ракеты это никак не отразится.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[aid]

Я говорил про то, что меня не интересуют процессы протекающие внутри двигателя (какая температура газов и их давление, насколько полно сгорает топливо и т.д.) а также излучение и трение, а про то что нас не интересует сколько уже чистой механической энергии газов теряется безвозвратно я не говорил.

А механическая энергия газов и ракеты может теряться только на трение, излучение и т.п. - переходить в тепловую энергию. Все это учтено уже тем, что не вся теплота сгорания топлива превращается в работу, но превращающаяся часть уже нами введена, как P=m_gv_g²/2

Сергей, мы с Вами ценим точный расчет. Посчитайте по Вашим формулам сумму изменения энергии ракеты, энергии газов Eg и вычтите начальную энергию газов. Сравните с произведением мощности на время. Какое еще доказательство правильности расчета Вам нужно?
  Если Вы путем рассуждений получаете другой результат, значит, в рассуждениях ошибка.

[Ser100]

Сергей, мы с Вами ценим точный расчет. Посчитайте по Вашим формулам сумму изменения энергии ракеты, энергии газов Eg и вычтите начальную энергию газов. Сравните с произведением мощности на время. Какое еще доказательство правильности расчета Вам нужно?
  Если Вы путем рассуждений получаете другой результат, значит, в рассуждениях ошибка.

При чем здесь мои рассуждения, когда я Вам выложил программу, которая производит все расчеты и с арифметической точки зрения баланс энергий сходится и у Вас и у меня. Дело в том, что мы считаем разные энергии, т.к. Вы используете формальный энергетический подход, а я пытаюсь детализировать все затраты энергии. И здесь я совершенно не могу понять каким образом у Вас кинетическая энергия топлива в ракете переходит без потерь в кинетическую энергию газов, которые летят в другую сторону, при сгорании этого топлива.

Возьмем пример, когда скорость газов на стенде равна 625 м/с. У Вас получается прирост энергии ракеты (без массы сгоревшего топлива) на 3,1 МДж и двигатель у Вас за 31,0 с выработал тоже 3,1 МДж, т.е. КПД движителя составил 100%. При этом у нас до разгона кинетическая энергия массы топлива, которое сгорит при разгоне и которое летело в ракете со скоростью 310 м/с, была 0,76 МДж. После сгорания этого топлива оно было выброшено из ракеты со скоростью -310 м/с и таким образом кинетическая энергия осталась та же самая. И у Вас получается, что хотя теперь газы и летят совсем в другую сторону, но кинетическая энергия их осталась та же самая и, следовательно, на этот процесс разворота газов не затрачено никакой энергии двигателя и она вся пошла на полезную работу, а именно на разгон самой ракеты.

Теперь рассмотрим такой пример. Я бросаю Вам кирпич со скоростью 10 м/с, т.е. его кинетическая энергия 250 Дж. Вы ловите этот кирпич, т.е. гасите его скорость до нуля, а потом опять разгоняете до 10 м/с кидая его мне. Здесь очевидно, что на этот процесс Вы затратите 500 Дж (250 на торможение и 250 на разгон). А вот в случае с торможением топлива в ракете до нуля и последующим его разгоном (в виде газа) опять до 310 м/с, но в другую сторону, у Вас получается, что на этот процесс не затрачивается никакой энергии.

Более того, такой подход дискредитирует само понятие КПД, т.к., если у нас скорость газов на стенде будет 200 м/с, то получается, что КПД движителя будет 307,2%, т.к. мы получим 2 МДж дармовой энергии от того, что кинетическая энергия топлива до разгона была 2,3 МДж, а энергия газов летящих за ракетой со скоростью 115 м/с стала только 0,3 МДж. Т.е. весь избыток энергии топлива ставшего газом без потерь перетек в энергию ракеты. И, если здесь это еще хоть как-то можно постараться объяснить, т.к. газы продолжают лететь в ту же сторону, что и ракета, то в первом примере, когда они летят совсем в другую сторону я ума не приложу, как происходит эта рекуперация энергии.

При этом, с кирпичом такую рекуперацию можно проделать, кидая его на пружину. Тогда сначала кинетическая энергия перейдет в потенциальную, а потом, когда пружина распрямится, потенциальная энергия опять перейдет в кинетическую и кирпич будет лететь в другую сторону с той же первоначальной скоростью. Но, где такая пружинка находится в ракете, чтобы производить рекуперацию кинетической энергии топлива в кинетическую энергию газов.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[aid]

Теперь рассмотрим такой пример. Я бросаю Вам кирпич со скоростью 10 м/с, т.е. его кинетическая энергия 250 Дж. Вы ловите этот кирпич, т.е. гасите его скорость до нуля, а потом опять разгоняете до 10 м/с кидая его мне. Здесь очевидно, что на этот процесс Вы затратите 500 Дж (250 на торможение и 250 на разгон).

Сергей, у Вас какие-то свои собственные понятия работы - как у Наутилуса - "здесь мерилом работы считают усталость". При торможении над кирпичом совершается отрицательная работа просто по определению работы. Поэтому и изменение кинетической энергии кирпича отрицательно.
   А Ваши затраты энергии при торможении кирпича пойдут в нагрев атмосферы, ну и также, по закону сохранения импульса, Ваш импульс при торможении увеличится и увеличится энергия. Т.е. и тут будет энергетический баланс - на сколько уменьшилась суммарная кинетическая энергия взаимодействующих тел, настолько увеличилась тепловая энергия тел и окружающей среды.
   Вся необратимость учтена в мощности ракеты.

Более того, такой подход дискредитирует само понятие КПД.  т.к., если у нас скорость газов на стенде будет 200 м/с, то получается, что КПД движителя будет 307,2%

Я поинтересовался у Лехмана - он говорит, что понятия КПД в таком смысле для ракет не вводят. Это условное понятие. Важно, что энергетический баланс выполняется, а что считать полезным, что затраченным - это уже субъективизм.
   Вот КПД теплового насоса, как отношение отданной обогреваемым телам теплоты к затраченной электроэнергии тоже больше единицы. Это не проблема.

При этом, с кирпичом такую рекуперацию можно проделать, кидая его на пружину. Тогда сначала кинетическая энергия перейдет в потенциальную, а потом, когда пружина распрямится, потенциальная энергия опять перейдет в кинетическую и кирпич будет лететь в другую сторону с той же первоначальной скоростью. Но, где такая пружинка находится в ракете, чтобы производить рекуперацию кинетической энергии топлива в кинетическую энергию газов.

Пружины нет, поэтому не вся энергия сгорания топлива переходит в энергию газов, а только часть, и определяемая КПД. Но мы уже задали эту величину, идущую на рост энергии тел системы - это механическая мощность на время.

[Ser100]

Я поинтересовался у Лехмана - он говорит, что понятия КПД в таком смысле для ракет не вводят. Это условное понятие. Важно, что энергетический баланс выполняется, а что считать полезным, что затраченным - это уже субъективизм.
   Вот КПД теплового насоса, как отношение отданной обогреваемым телам теплоты к затраченной электроэнергии тоже больше единицы. Это не проблема.

Может быть. Но у Циолковского есть формула для КПД движителя и у него эта величина не получается больше единицы. А у нас при энергетическом подходе получается.

Пружины нет, поэтому не вся энергия сгорания топлива переходит в энергию газов, а только часть, и определяемая КПД. Но мы уже задали эту величину, идущую на рост энергии тел системы - это механическая мощность на время.

И как же эта часть определяется КПД, если мы не можем определить КПД. А механическая мощность умноженная на время это полная механическая энергия двигателя, а нам надо найти ту ее часть, которая идет именно на разгон ракеты. Так что ничего определенного про КПД у нас пока в энергетическом балансе нет.

И потом, непонятно где в Вашем энергетическом балансе учтена энергия, которая пошла на разгон части топлива в интервале от V1 до V2, и которая только в процессе разгона постепенно будет превращаться в газ. Ведь Вы учитываете в расчете только энергию ракеты и топлива до начала разгона, а также конечную энергию газов.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[aid]

Может быть. Но у Циолковского есть формула для КПД движителя и у него эта величина не получается больше единицы. А у нас при энергетическом подходе получается.

Я скачал книгу Циолковского. Страницу укажите, пожалуйста.

А механическая мощность умноженная на время это полная механическая энергия двигателя, а нам надо найти ту ее часть, которая идет именно на разгон ракеты. Так что ничего определенного про КПД у нас пока в энергетическом балансе нет.

Такой КПД у Вас может получиться каким угодно. Только это ничего не докажет.

И потом, непонятно где в Вашем энергетическом балансе учтена энергия, которая пошла на разгон части топлива в интервале от V1 до V2, и которая только в процессе разгона постепенно будет превращаться в газ. Ведь Вы учитываете в расчете только энергию ракеты и топлива до начала разгона, а также конечную энергию газов.

Сергей, энергия - как механическая, так и внутренняя - функция состояния, а не процесса. Изменение энергии определяется разностью конечной и начальной энергии и не зависит от процесса, если начальная и конечная энергии фиксированы. Поэтому, самый прямой путь расчета изменения энергии - просто вычесть из конечной начальную. Кстати, я конечно и конечную энергию ракеты учитываю.

  Но Вы можете, конечно, ехать через Рим в Крым и рассчитывать изменение энергии топлива как сумму изменений в процессе разгона ракеты - складывать изменение энергии топлива при разгоне его в ракете, и изменение энергии при выбрасывании из ракеты.
Только не забудьте, что надо считать именно изменение энергии при выбрасывании, а не просто энергию выброшенных газов.
   И вот эта сумма: (E_t2-E_t1)+(E_g-E_t2) = E_g-E_t1 !
Т.е. в итоге Вы получите то же, что и получаю я - разность конечной энергии газов и начальной энергии топлива.

Кстати, такой вопрос. По Вашим формулам, время разгона, например, от 310 до 320 м/c и от 1000 до 1010 м/c при одной и той же начальной массе ракеты с топливом и одной скорости выбрасывания газов относительно ракеты получается одинаковым?