Надо аккуратнее высказываться. Что такое "интеграл силы за время t"? Интеграл произведения силы на пройденный путь, это работа. А интеграл силы? ...
Интеграл силы за время будет равен изменению импульса.
Поделите силу на массу - получите ускорение. Интеграл ускорения за время - это изменение скорости. Импульс от скорости отличается как раз тем, что в импульс входит масса тела.
Что касается гравитационного манёвра, то тело M будет увеличивать свою скорость по мере сближения с телом m. Но, как только тело M, пролетая мимо, начнёт удаляться от тела m, его скорость начнёт уменьшаться за счёт притяжения между M и m. В конечном итоге тело M даже потеряет часть своей первоначальной скорости из-за того, что оно потратит часть энергии на перемещение за собою тела m. Получается, что если M стремится к столкновению с m или выходу на орбиту вокруг m, то гравитационное взаимодействие добавит скорости телу M, но если тело M пролетает мимо тела m, то гравитационное взаимодействие способно только затормозить его. Однако именно вторым способом НАСА якобы засылает космические корабли к границам Солнечной системы. По-моему это невозможно. Или я в чём-то не прав?
Гравитационный маневр по своей сути мало отличается от удара теннисной ракеткой по теннисному мячу или удара ногой футболиста по футбольному мячу. При рассмотрении гравитационного маневра приходится два раза переходить из одной системы отсчёта в другую. Рассмотрим гравитационный маневр относительно, скажем, Юпитера. Первая система отсчёта - связанная с Солнцем. В этой системе отсчёта и космический аппарат, и Юпитер движутся. Вторая система отсчёта - система, связанная с Юпитером. Фокус заключается в том, что при переходе из одной системы отсчёта в другую скорости складываются векторно, а не скалярно, а энергия не сохраняется.
Закон сохранения энергии и закон сохранения импульса действуют только в пределах одной системы отсчёта.В системе отсчёта, связанной с Юпитером, КА, двигающийся по гиперболической или параболической траектории всего-лишь поменял направление своего движения. А вот в системе отсчёта, связанной с Солнце, КА мало того, что поменял направление движения, так он ещё и скорость свою изменил. (Теоретически, в этой системе свою скорость и направление движения изменил ещё и Юпитер, но из-за своей громадной массы изменение его скорости настолько незначительно, что мы его даже измерить не сможем.) Абсолютно точно такие же выкладки делаются, когда мы изучаем изменение скорости теннисного мяча при ударе по нему теннисной ракеткой.