История переносов

[Ost]

Тема перенесена в Альтернативная наука.

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=618877.0
--------
Попробуем зайти с другой стороны. Сформулируем такой вопрос.
Мы видим кривой стержень в наблюдающей ИСО в момент \(t_0=0\).



В ИСО где этот стержень находится он прямой.
Координаты кривого стержня \((c~t_0,\vec r_i)\), где \(i=1..10\).
Делаем обратное ПЛ преобразование этих координат.

Какая форма стержня должна получится после преобразования?

Вот при этой схеме вычислений будет правильно.

\( (c~t_1,x_1 ,y_1)\);  \( (c~t,x ,y)\);

\(x_1=r_1~cos(\phi)\);  \(y_1=r_1~sin(\phi)\);

\(\displaystyle t=\left(t_1+\frac{V~x_1}{c^2} \right)~\gamma\);   \(\displaystyle x=\frac{x_1}{\gamma}+V~t \);   \(y=r_1~sin(\phi)\);

\(\displaystyle c^2~t^2-\left(\frac{x_1}{\gamma}+V~t \right)^2-y^2=c^2~t_1^2-r_1^2=inv\).
--------------------------
У меня расчёт для половины стержня
\(\displaystyle \int\limits_{a}^{b}f(x)~dx=\left.F(x) \right\vert_{a}^{b}=F(b)-F(a)\).

\(b=r_0\) и \(a=0\). Соответственно
\(\displaystyle E_2=\left. \frac{m_0~c^2}{\sqrt{1-\frac{\omega^2~r^2}{c^2}}}\right\vert_{0}^{r_0}=\frac{m_0~c^2}{\sqrt{1-\frac{\omega^2~r_0^2}{c^2}}} - \frac{m_0~c^2}{\sqrt{1-\frac{\omega^2~(0)^2}{c^2}}}=\frac{m_0~c^2}{\sqrt{1-\frac{\omega^2~r_0^2}{c^2}}} - m_0~c^2\).
Что тут не правильного?
Формула для вычисления энергии должна правильно работать на любых физически допустимых пределах.
-----------------
\(\displaystyle a_{xk}=\frac{dv_{xk}}{dt}=\frac{dv_{1x}}{dt} \frac{1}{\gamma^2}\left(1+\frac{V~v_{1x}}{c^2}\right)^{-1}-v_{1x} \frac{1}{\gamma^2}\left(1+\frac{V~v_{1x}}{c^2}\right)^{-2}\frac{V}{c^2}~\frac{dv_{1x}}{dt}\);

\(\displaystyle a_{yk}=\frac{dv_{yk}}{dt}=\frac{dv_{1y}}{dt} \frac{1}{\gamma}\left(1+\frac{V~v_{1x}}{c^2} \right)^{-1}-v_{1y} \frac{1}{\gamma}\left(1+\frac{V~v_{1x}}{c^2} \right)^{-2}\frac{V}{c^2}~\frac{dv_{1x}}{dt}\).


\(\displaystyle a_{xk}=\frac{dv_{xk}}{dt}=\frac{a_{1x}~dt_1}{dt} \frac{1}{\gamma^2}\left(1+\frac{V~v_{1x}}{c^2}\right)^{-1}-v_{1x} \frac{1}{\gamma^2}\left(1+\frac{V~v_{1x}}{c^2}\right)^{-2}\frac{V}{c^2}~\frac{a_{1x}~dt_1}{dt}\);

\(\displaystyle a_{yk}=\frac{dv_{yk}}{dt}=\frac{a_{1y}~dt_1}{dt} \frac{1}{\gamma}\left(1+\frac{V~v_{1x}}{c^2} \right)^{-1}-v_{1y} \frac{1}{\gamma}\left(1+\frac{V~v_{1x}}{c^2} \right)^{-2}\frac{V}{c^2}~\frac{a_{1x}~dt_1}{dt}\).


\(\displaystyle a_{xk}=\frac{dv_{xk}}{dt}=\frac{a_{1x}}{\gamma^3}\left(1+\frac{V~v_{1x}}{c^2}\right)^{-2}- \frac{v_{1x}}{\gamma^3}\left(1+\frac{V~v_{1x}}{c^2}\right)^{-3}\frac{V~a_{1x}}{c^2}\);

\(\displaystyle a_{yk}=\frac{dv_{yk}}{dt}=\frac{a_{1y}}{\gamma^2}\left(1+\frac{V~v_{1x}}{c^2} \right)^{-2}- \frac{v_{1y}}{\gamma^2}\left(1+\frac{V~v_{1x}}{c^2} \right)^{-3}\frac{V~a_{1x}}{c^2}\).

---------------------------------

\(\displaystyle \frac{v^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}={\omega^{'}}^2 R^2\).
\(\displaystyle v^2={\omega^{'}}^2 R^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\).
\(\displaystyle v^4={\omega^{'}}^4 R^4\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\).
\(\displaystyle v^4={\omega^{'}}^4 R^4-\frac{{\omega^{'}}^4 R^4}{c^2}~v^2\).
\(\displaystyle v^4+\frac{{\omega^{'}}^4 R^4}{c^2}~v^2-{\omega^{'}}^4 R^4=0\).

\(\displaystyle v^4+\frac{g^2 R^2}{c^2}~v^2-g^2 R^2=0\).
\(\displaystyle \omega^4 R^4+\frac{g^2 R^2}{c^2}~\omega^2 R^2-g^2 R^2=0\).
\(\displaystyle \omega^4+\frac{g^2}{c^2}~\omega^2-\frac{g^2}{R^2}=0\).
\(\displaystyle \omega^4 R^4+\frac{{\omega^{'}}^4 R^4}{c^2}~\omega^2 R^2-{\omega^{'}}^4 R^4=0\).
\(\displaystyle \omega^4+\frac{{\omega^{'}}^4 R^2}{c^2}~\omega^2-{\omega^{'}}^4=0\).
\(\displaystyle -\omega^4-\frac{\omega^2~ R^2}{c^2}~{\omega^{'}}^4+{\omega^{'}}^4=0\).

Связь векторного потенциала с токами
\(\displaystyle \bigtriangledown^2 \vec A=-\mu_0~\sum_{i=1}^n \vec \delta_i\).
------------------
Дифференциальный коэффициент \(\chi (H)\) с практической расчётной точки зрения не определяется, но теоретический смысл имеет.
Его можно приблизительно записать через дельта функцию.

[Ost]

Тема перенесена в Альтернативная наука.

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=618890.0
----------------
Да, замедление времени - функция скорости (и гравитационного потенциала).
Однако чтобы приобрести скорость необходимо ускорятся.
При ускорении изменяется энергетический потенциал \(\displaystyle -\frac{d\varphi}{dx}= g\).
\(\displaystyle d\varphi = -g~dx=-g~v~dt=-v~dv\).
Интеграл от последнего равенства \(\displaystyle 2\varphi=-v^2\), известная Вам формула.
Чтобы правильно определиться с темпом хода времени надо знать энергию относительно ИСО, как
кинетическую, так и потенциальную гравитационную
(это в теоретической модели слабого гравитационного поля при условии \(v<<c,~~~\varphi << c^2/2\)).

----------------------------------------------------------------------------------
Был такой опыт.
Требовалось много льда для охлаждения.
Замораживал в пластиковых бутылках в холодильнике.
После многократных циклов замораживания одна из бутылок не замерзла.
Если ударяешь по ней моментально образуется лёд.

Любая термопара измеряет разность температур.
\(\displaystyle \left(\frac{d\varepsilon}{dT}\right)(T_{}-T_{})\)
---------------------------------------------------------------------------------------------------

Есть такое понятие как работа проталкивания. Её дифференциал равен

\(d(p~V)=p~dV+V~dp\).

\(p~dV~-\) работа для поршневых систем.

\(V~dp~-\) работа для потоковых систем.

Поэтому в нашем случае, располагаемая работа запишется в виде интеграла
\(\displaystyle \int \limits_{p_1}^{p_2} V~dp\).

----------------------------------------------------------------------------------------------------
                             Пояснение к сокращению длинны в СТО.

Пусть на расстоянии значительно большем, чем их длина, расположены две линейки.
Линейки осесимметричны относительно прямой проходящей в плоскости на которой они находятся.
Длина линейки =1. У каждой линейки, в её центре, стоит наблюдатель.
Наблюдатели смотрят в бинокль на соседнюю линейку и определяет её угловой размер,
зная расстояние вычисляет её длину, например =0.8 ус. ед.
Какой вывод сделают наблюдатели?
Вывод простой, линейки расположены приблизительно под углом \(arccos(0.8)=37^\circ \) относительно оси симметрии.
Оба наблюдателя в собственной системе отсчёта регистрируют длину линейки =1, а длину соседней линейки =0.8.
Похожая ситуация и в СТО. Только там всё осложняется 4-пространством с гиперболической геометрией.

Математически в СТО это можно записать так.
Координаты концов линейки в покоящейся системе отсчёта

\(\displaystyle x_{2}=x_{2}'~ch(\psi)+c~t_{2}'~sh(\psi)\);

\(\displaystyle x_{1}=x_{1}'~ch(\psi)+c~t_{1}'~sh(\psi)\);

Вычитаем уравнения

\(\displaystyle (x_{2}-x_{1})=(x_{2}'-x_{1}')~ch(\psi)+c~(t_{2}'-t_{1}')~sh(\psi)\).

\(\displaystyle (x_{2}-x_{1})=l~~-\) длина линейки в покоящейся системе.

\(\displaystyle t_{2}'=t_{1}'~~-\) координаты концов определяются одновременно (мгновенный снимок).

Тогда остаётся \(\displaystyle l=l'~ch(\psi)\).

Длина движущейся линейки

\(\displaystyle l'=l~sch(\psi)\). В гиперболической геометрии будет функция обратная косинусу.
Угол \(\displaystyle \psi\) в СТО зависит от скорости относительного движения \(\displaystyle\psi = arcth \left(\frac{V}{c} \right)\).

Длина линейки только одна. Наблюдатели в разных системах отсчёта видят проекции линейки.
Проекция (тень от линейки) получается короче в движении.
                                     
...
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Результаты измерений по инерцоиду Толчина

[Ost]

Тема перенесена в Альтернативная наука.

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=618900.0
-----
Решаем уравнение  \(\displaystyle \frac{g^2~{\Delta t^{'}}^4 }{4 \pi^2~c^2} + {\Delta t^{'}}^2 - \Delta t^2 = 0\);  (7)   \({\Delta t^{'}}^4=z^2 \);   \(\Delta t^{'}=\sqrt{z}\).

\(\displaystyle z= \left(-1+\sqrt{1+\frac{g^2}{\pi^2 c^2}\Delta t^2 } \right) \frac{2 \pi^2 c^2}{g^2}\).


\(\displaystyle \Delta t^{'}=\frac{\sqrt{2} \pi c}{g} \sqrt{-1+\sqrt{1+\frac{g^2}{\pi^2 c^2}\Delta t^2 } }\).

Разность времени между ракетой и ИСО за 365 суток равна \(\tau=\Delta t - \Delta t^{'} = 4.70113\) суток.

Приблизительное вычисление \(\tau\) из (7)

\(\displaystyle \frac{g^2~{\Delta t^{'}}^4 }{4 \pi^2~c^2} = \Delta t^2 - {\Delta t^{'}}^2 = (\Delta t - \Delta t^{'})(\Delta t + \Delta t^{'})=\tau ~(\Delta t + \Delta t^{'})\).

Так как для вычисления суммы можно считать приблизительно так, \(\Delta t \approx \Delta t^{'}\), получим

\(\displaystyle \tau \approx \frac{g^2~\Delta t^3 }{8 \pi^2~c^2} = 4,91945\) суток.

Дополнительно.
Угловая скорость в ИСО равна \(\displaystyle \omega =\frac{\omega^{,}}{\sqrt{1+\frac{{\omega^{,}}^2~R^2}{c^2} }}\).
...
-------------------------------

\(\displaystyle \frac{v^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}={\omega^{'}}^2~R^2\).

\(\displaystyle \frac{\omega^2~R^2}{1-\frac{\omega^2~R^2}{c^2}}={\omega^{'}}^2~R^2=g~R\).

\(\displaystyle \frac{\omega^2~R}{1-\frac{\omega^2~R^2}{c^2}}=g\).

\(\displaystyle \omega^2~R=g~(1-\omega^2~R^2/c^2)\).

\(\displaystyle g~\omega^2/c^2~R^2+\omega^2~R-g=0\);   \(\displaystyle g/c^2~R^2+R-g/\omega^2=0\).

\(\displaystyle R^2+(c^2/g)~R-c^2/\omega^2=0\).

\(\displaystyle R=\frac{1}{2}\left(c^2/g+\sqrt{(c^2/g)^2+4c^2/\omega^2}\right)=\frac{1}{2}~c^2/g~\left(1+\sqrt{1+4g^2/(\omega^2~c^2)}\right)\).
                           
В системе отсчёта ракеты ускорение равно \(\displaystyle \vec g = {\omega^{,}}^2 \vec R = \frac{d}{dt^{'}} \left[ \vec \omega^{,} \times \vec R \right] \)    (4).

Приравниваем (3) и (4) и интегрируем

\(\displaystyle \int \frac{d}{dt}\left(\frac{\vec v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \right) dt= \int \frac{d}{dt^{'}} \left[ \vec \omega^{,} \times \vec R \right] dt^{'}\).

Такое действие возможно в силу того, что ускорение (4) формально может иметь тангенциальную составляющую.

\(\displaystyle \frac{\vec v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\left[ \vec \omega^{,} \times \vec R \right]+\vec C\).

При \(\vec C=0\) квадрат модуля равен \(\displaystyle \frac{v^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}={\omega^{,}}^2 R^2\).


Находим квадрат скорости ракеты в ИСО      \(\displaystyle v^2=\frac{{\omega^{,}}^2 R^2}{1+\frac{{\omega^{,}}^2~R^2}{c^2} }\)    (5).

Интервал времени в системе отсчёта ракеты равен \(\displaystyle \Delta t^{'}=\int \limits_{0}^{t} \sqrt{1-\frac{v(t)^2}{c^2}}~~dt\).

Если скорость постоянная   \(\displaystyle \Delta t^{'}= \Delta t~ \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\)    (6).

Подставляем (5) в (6)

\(\displaystyle \Delta t^{'}=\frac{\Delta t}{\sqrt{1+\frac{g^2}{{\omega^{,}}^2~c^2}} } \).

Из условия задачи \(\displaystyle \omega^{'}=\frac{2 \pi}{\Delta t^{'}}\). Ракета за \(\Delta t^{'}\) делает один оборот.  \(\displaystyle \Delta t^{'}=\frac{\Delta t}{\sqrt{1+\frac{g^2~{\Delta t^{'}}^2 }{4 \pi^2~c^2}} } \).

[Ost]

Тема перенесена в Альтернативная наука.

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=618899.0
----------
Для функции преобразования координат \(\displaystyle r'=(r-V~t~cos(\varphi))~\gamma\)  были использованы
одновременно две функции (\(c~t~-\) при выводе формулы) и (\(r(t)~-\) при применении формулы), что привело к противоречию,
так как координаты заложенные в формулу могут принадлежать только одному событию.

В случае формулы \(\displaystyle  t'=\left(t+\frac{\vec V \cdot ~\vec r}{c^2}\right)~\gamma\)
Мы можем записать дифференциал \(\displaystyle  dt'=\frac{\vec V \cdot ~d \vec r}{c^2}~\gamma\).
Видно, что интеграл от этого дифференциала не зависит от особенностей пути во времени, а зависит только от конечного значения \(r(t)\).
Фактически не зависит от выбора функции \(r(t)\), а только от её значения в момент события (полный дифференциал). 
----------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------


Полный дифференциал от функции \( \frac{1}{2}\left[\tau \left(0\text{,0,0,t}\right)+\tau \left(0,0,0,\left\{ t+\frac{x'}{C-v}+\frac{x'}{C+v}\right\} \right)\right]=\tau \left(x',0,0,t+\frac{x'}{C-v}\right) \). (3)

\(\displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \tau}{\partial t} \right) \left(\frac{dx'}{C-v}+\frac{dx'}{C+v} \right)=\left( \frac{\partial \tau}{\partial x'} \right) dx'+\left( \frac{\partial \tau}{\partial t} \right) \frac{dx'}{C-v} \).

\(\displaystyle \frac{1}{2}  \frac{\partial \tau}{\partial t}  \left(\frac{1}{C-v}+\frac{1}{C+v} \right)= \frac{\partial \tau}{\partial x'}+\frac{\partial \tau}{\partial t}  \frac{1}{C-v} \).

-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Это дифференциал времени, связанный с процессом движения фазы периодического сигнала источника.
Интеграл от него на периоде равен \(\displaystyle T_0= \int \limits_0^{T_0} dt_0 \).
Формула \(\displaystyle T =T_0\left(1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\right)\) неточная при использовании конечных периодов.

Однако при предельном переходе становится точной \(\displaystyle \lim_{T_0 \rightarrow 0} \frac{T}{T_0}=1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)=\frac{dt}{dt_0}\).

Для обобщения на произвольный период её надо проинтегрировать на периоде.

[Ost]

Тема перенесена в Альтернативная наука.

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=618950.0
----------
\(\displaystyle \frac{dt}{dt_0}= 1+\frac{v}{c}~cos(\alpha)~-\) точное дифференциальное выражение.


\(\displaystyle dt=dt_0 \left(1+\frac{v}{c}~cos(\alpha)\right)\).

Интегрируем на периоде

\(\displaystyle T(\tau)=\int \limits_0^{T_0} dt_0 +\frac{v}{c} \int \limits_0^{T_0} cos(\alpha(\tau+t_0))~ dt_0 = T_0 +\frac{v}{c} \int \limits_0^{T_0} cos(\alpha(\tau+t_0))~ dt_0 =\)

\(\displaystyle = T_0~\left(1+\frac{v}{c}~\frac{1}{T_0} \int \limits_0^{T_0} cos(\alpha(\tau+t_0))~dt_0 \right)\).

Пусть \(\displaystyle f(\tau)= \frac{1}{T_0} \int \limits_0^{T_0} cos(\alpha(\tau+t))~dt\), тогда можно записать

\(\displaystyle T(\tau) = T_0~\left(1+\frac{v}{c}~f(\tau) \right)\), где \(f(\tau)~-\) средний интегральный косинус в момент времени \(\tau\).

Формула косинуса \(\displaystyle cos(\alpha(t))=\frac{L_0~cos(\alpha_0)-v~t}{\sqrt{L_0^2+v^2~t^2-2L_0~v~t~cos(\alpha_0)}}\), тогда

\(\displaystyle f(\tau)= \frac{1}{T_0} \int \limits_0^{T_0}\frac{L_0~cos(\alpha_0)-v~(\tau+t)}{\sqrt{L_0^2+v^2~(\tau+t)^2-2L_0~v~(\tau+t)~cos(\alpha_0)}}~dt=\frac{1}{T_0} \int \limits_0^{T_0}\frac{L_0~cos(\alpha_0)-v~(\tau+t)}{\sqrt{(L_0~cos(\alpha_0)-v~(\tau+t))^2+L_0^2~sin(\alpha_0)^2}}~dt\).

После интегрирования

\(\displaystyle f(\tau)= \frac{1}{v~T_0}\left(-\sqrt{(L_0~cos(\alpha_0)-v~(\tau+T_0))^2+L_0^2~sin(\alpha_0)^2} + \sqrt{(L_0~cos(\alpha_0)-v~\tau)^2+L_0^2~sin(\alpha_0)^2}\right)\).


Интегральная форма закона Доплера.
Для частного случая равномерного, прямолинейного движения источника.

\(\displaystyle T(\tau)= T_0-\frac{1}{c}\left(\sqrt{(L_0~cos(\alpha_0)-v~(\tau+T_0))^2+L_0^2~sin(\alpha_0)^2} - \sqrt{(L_0~cos(\alpha_0)-v~\tau)^2+L_0^2~sin(\alpha_0)^2}\right)\).

Численная оценка относительной точности вычислений в сравнении с итерацией \(10^{-15}-10^{-12}\).

[Ost]

Тема перенесена в Альтернативная наука.

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=618953.0
----------

Какой смысл устремлять постоянную величину T0 к нулю, если она сокращается в формуле?.
Какой физический смысл имеет эта манипуляция с пределом?
Какой физический смысл несет в себе результат этого предела?

Какой смысл устремлять постоянную величину T0 к нулю, если она сокращается в формуле?.

"Сокращение" это способ доказательства равенства функций и существования предела.
 
Рассмотрим обоснование перехода от конечного интервала времени \(\displaystyle T =T_0\left(1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\right)\) (1)
к дифференциальному \(\displaystyle dt =dt_0\left(1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\right)\). В результате этого преобразования формула становится точной.

Иван, \(T_0\) - постоянная и является периодом только в частном случае твоей задачи.
В формуле \((1)\) \(T_0~-\) в общем случае не обязательно период.
Это может быть просто интервал времени между импульсами не периодического сигнала.
В этом тексте это переменная по определению.
У меня постоянная появляется только при решении задачи, в результате интегрирования.

Можно записать так \(T=\tau_2-\tau_1;\)    \(T_0=\tau_{02}-\tau_{01}\), тогда
\(\displaystyle \lim_{T_0 \rightarrow 0} \frac{T}{T_0}=\lim_{\tau_{02} \rightarrow \tau_{01}} \frac{\tau_2-\tau_1}{\tau_{02}- \tau_{01} }\).

Моменты времени \(\tau_{01}\) и \(\tau_{1}\) определяют начало периода при любой выбранной фазе сигнала.
Моменты времени \(\tau_{02}\) и \(\tau_{2}\) только в  твоём случае определяют конец периода.
В более общем это момент времени определённой фазы после начала периода.
Фактически мы этим пределом определяем производную в момент времени \(\tau_{01}\).

\(\displaystyle \lim_{\tau_{02} \rightarrow \tau_{01} } \frac{\tau_2-\tau_1}{\tau_{02}-\tau_{01} }=\frac{dt}{dt_0}\).

Очевидно, что

\(\displaystyle \frac{dt}{dt_0}= 1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\), так как мы уже знаем, что \(\displaystyle \lim_{T_0 \rightarrow 0} \frac{T}{T_0}=\lim_{T_0 \rightarrow 0} \frac{T_0 \left(1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\right)}{T_0}=1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\).

Дополнительно.
Зададим вопрос, при каких условиях формула (1) становится точной?
Очевидный вариант \(\alpha=0\) или \(\alpha=\pi\).
Если \(\alpha\) не равна нулю, то надо заметить, что влияние переменного угла уменьшается
с уменьшение периода или в предельном случае до \(dt_0\) и формула становится точной.



Дифференциальный интервал времени \(dt_0\) может находится в любой фазе периода
в соответствии с логикой построения.

[Ost]

Тема перенесена в Альтернативная наука.

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=618997.0
--------
Текст песни.

Мы царские пираты, пираты, пираты.
Мы бодрые ребята, ребята - хо- хо
Все мы забияки, бияки, бияки
И злые как собаки, собаки, гав -гав!

Прохожих мы разуем,
Разденем, потолкуем
Потом опять обуем
И песенку споем

А-а-а-а-

Три румба, румба, румба
Левее мы возьмем.
И к острову сокровищ
Быть можем приплывем,
Быть может, быть может,
Быть может приплывем!
-----------
\(E^2-p^2=m^2\)
\((m_e+T_e)^2-p^2=m_e^2\)
\((m_e+T_e)^2-m_e^2=p^2\)
\((m_e+T_e-m_e)(m_e+T_e+m_e)=p^2\)
\(T_e~(2m_e+T_e)=p^2\)
\(T_{e}^2+2m_e~T_e=p^2\)

\(T_{\nu}^2+2m_{\nu}~T_{\nu}=p^2\)
\(T_{e}^2+2m_e~T_e=T_{\nu}^2+2m_{\nu}~T_{\nu}\)
\(T_{e}^2-T_{\nu}^2=-2m_e~T_e+2m_{\nu}~T_{\nu}\)
\((T_{e}-T_{\nu})(T_{e}+T_{\nu})=-2m_e~T_e+2m_{\nu}~T_{\nu}\)
---------
\(t_1=\gamma~(t'_1+V~x'_1/c^2)\)   
\(x_1=\gamma~(x'_1+V~t'_1)\)       

\(t_2=\gamma~(t'_2+V~(x'_1+v~(t'_2-t'_1))/c^2)\)   
\(x_2=\gamma~(x'_1+v~(t'_2-t'_1)+V~t'_2)\)     

\(\gamma~(x'_1+V~t'_1)=\gamma~(x'_1+v~(t'_2-t'_1)+V~t'_2)\)
\(x'_1+V~t'_1=x'_1+v~(t'_2-t'_1)+V~t'_2\)
\(V~t'_1=v~(t'_2-t'_1)+V~t'_2\)


---------------------
\(t_2=\gamma~(t'_2+v~x'_2/c^2)\)  \((1)\)
\(x_2=\gamma~(x'_2+v~t'_2)\)       \((2)\)
     

[Ost]

Тема перенесена в Альтернативная наука.

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=619040.0

[Ost]

Тема перенесена в Альтернативная наука.

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=619076.0
-------------

У меня было предположение о соответствии вашей картинки с классикой изобразительного искусства. Вы полагаете, что она нарисована в соответствии с законом Био - Савара - Лапласа. В учебниках написано, что в рисунках стрелки дают представление о распределении магнитного поля, где последовательно нарисованные стрелки указывают на направление и как на линии одинаковой напряжённости, а густота этих линий - на величину напряжённости. В учебниках также можно найти примеры такого изображения. Если они нарисованы не в соответствии с указанном вами законом, а на основе опытных наблюдений, то кто-то не прав. Или ваша интерпретация, или закон  Био - Савара - Лапласа. Но в любом случае это графическое отображение, которое выдаётся как физический параметр в виде магнитных силовых линий в терминах магнитной индукции. Но они отражают напряжённость магнитного поля. Создалось положение, при котором инженеры стали козлами отпущения: делать расчёты на основе физического параметра напряжённости магнитного поля Н или на основе не физических магнитных силовых линий (на основе индукции В). Или по-другому: на основе здравого смысла или на основе требования рассчитывать по законам индукции, т.к. индукция принята как основное понятие.

... Вы полагаете, что она нарисована в соответствии с законом Био - Савара - Лапласа. ...

Я не полагаю, а точно знаю, что картинки построены по закону Био - Савара - Лапласа. Стрелки указывают направление вектора поля.
Модуль вектора напряженности в программе связан с цветом. Форма линий определяется величиной постоянного потока вектора напряженности.
А отображение с учётом расстояний между линиями, соответствующим напряженности поля, требует особой программной обработки.
Не ставил я такой замороченной цели и даже не подозревал, что это может является условием правильности отображения графики магнитного поля.
Возможны разные варианты отображения напряженности: длинной вектора, толщиной вектора, цветом, расстоянием между линиями ... .
Все эти способы имеют право на существование.
Главное правильно отобразить направление вектора и кривые линии поля, которые задаются через некоторые интервалы потока.
Программа эти интервалы берёт произвольно, чтобы картинка была удобной для просмотра, но это не как не противоречит закону Био - Савара - Лапласа.
Модуль вектора определяет цвет. Можно только согласится с неудачным выбором цветовой кодировки.
По существу вас просто смущает не привычный для вас графический вывод векторного поля. Так работают стандартные функции вывода и мудрить нет смысла.

... ,где последовательно нарисованные стрелки указывают на направление и как на линии одинаковой напряжённости, а густота этих линий - на величину напряжённости. ...

Это не точная формулировка. Не линии одинаковой напряженности, а линии между которыми поток поля напряженности одинаковый \(\Delta Ф=\vec B \cdot \Delta \vec S=const\).
В этом случае о напряженности поля можно приблизительно судить по расстоянию между линиями.

\(H\) и \(B\) выражают одну сущность - напряженность магнитного поля. Исторически сложилась неоднозначная система единиц и это усложняет понимание.
При этом они различаются по происхождению. \(H\) связывают с током, \(B\) с наведенным полем. Инженеры понимающие суть на этом не заморачиваются.
Формально неважно, что использовать, при правильном построении уравнений. Наведённое поле отличается только тем, что его излучают магнитные моменты
в веществе, например домены в ферромагнитных материалах и в каких единицах это вычислять формально не имеет значения.

Диаметр Земли составляет примерно 12 742 километра.

[Ost]

Тема перенесена в Альтернативная наука.

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=619109.0
------------

[Ost]

Тема перенесена в Альтернативная наука.

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=619093.0
--------------
Индукция магнитного поля (B) в материальной среде связана с напряжённостью магнитного поля (H) через тензор магнитной проницаемости (μ). Отношение между ними выражается как:

\[ \mathbf{B} = [\mu] \mathbf{H} \]

где [μ] — это тензор магнитной проницаемости материала, который можно представить в виде матрицы. В общем случае тензор проницаемости является матрицей размером 3x3, каждый элемент которой вообще говоря может быть функцией от координат, если среда неоднородна (например, если магнитная проницаемость среды изменяется от точки к точке).

В декартовой системе координат:

\[ [\mu] = \begin{bmatrix}
\mu_{xx} & \mu_{xy} & \mu_{xz} \\
\mu_{yx} & \mu_{yy} & \mu_{yz} \\
\mu_{zx} & \mu_{zy} & \mu_{zz}
\end{bmatrix} \]

где диагональные элементы μ_xx, μ_yy, и μ_zz описывают магнитную проницаемость в соответствующих направлениях, а внедиагональные элементы описывают кросс-связи между различными компонентами напряжённости магнитного поля и индукции (в среде с магнитным анизотропией).

Когда магнитное поле и индукция выражаются как векторы в трёхмерном пространстве, связь выражается так:

\[ \begin{bmatrix}
B_x \\
B_y \\
B_z
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\mu_{xx} & \mu_{xy} & \mu_{xz} \\
\mu_{yx} & \mu_{yy} & \mu_{yz} \\
\mu_{zx} & \mu_{zy} & \mu_{zz}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
H_x \\
H_y \\
H_z
\end{bmatrix} \]

Если среда неоднородная, каждый элемент матрицы проницаемости [μ] будет функцией пространственных координат, т.е. μ_ij = μ_ij(x, y, z), и в общем случае матрица [μ] будет изменяться от точки к точке в пространстве.

Важно учесть, что в неоднородной среде также могут возникать дополнительные эффекты, такие как производная магнитной проницаемости по координатам, которые могут оказывать влияние на распространение магнитного поля.

В ряде практических приложений, особенно в случаях, когда неоднородность среды невелика или пренебрегаемо мала, тензор магнитной проницаемости может быть аппроксимирован постоянным тензором или скалярной величиной (если среда изотропна).

[Ost]

Тема перенесена в Альтернативная наука.

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=619127.0
---------
Уравнение Пуассона описывает распределение потенциала поля в пространстве с учетом объемного заряда. Однако для описания магнитного поля в ферромагнетиках, таких как ферриты, используются уравнения Максвелла и концепция магнитного скалярного или векторного потенциала, а также материальные уравнения, которые связывают напряженность магнитного поля и магнитную индукцию.

В статическом случае (постоянное магнитное поле) для магнитного поля уравнения Максвелла упрощаются:

\[ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 \]
\[ \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_f \]

где **B** — магнитная индукция, **H** — напряженность магнитного поля, а **J**_f — плотность свободного тока.

Материальное уравнение для ферритов, которые являются ферромагнетиками, записывается как:

\[ \mathbf{B} = \mu_0(\mathbf{H} + \mathbf{M}) \]

где **μ**_0 — магнитная проницаемость вакуума, а **M** — намагниченность материала.

Для расчета магнитной индукции в феррите и снаружи, вам понадобится решить эти уравнения, учитывая граничные условия на интерфейсе феррита и внешней среды. Граничные условия гласят, что тангенциальные составляющие напряженности поля и нормальные составляющие магнитной индукции должны быть непрерывны на границе раздела:

1. Непрерывность тангенциальной компоненты напряженности магнитного поля:

\[ H_{t1} = H_{t2} \]

2. Непрерывность нормальной компоненты магнитной индукции:

\[ B_{n1} = B_{n2} \]

где индексы 1 и 2 обозначают величины в феррите и вне его соответственно.

Рассмотрим, как это сделать на примере:

1. Определите геометрию: Например, это может быть цилиндр из феррита в однородном внешнем магнитном поле.

2. Задайте начальные условия: Например, напряженность внешнего магнитного поля **H**_0.

3. Выберите систему координат для удобства расчетов: Для цилиндра подойдут цилиндрические координаты.

4. Запишите и решите уравнения Максвелла внутри феррита и снаружи, выбрав подходящие граничные условия: Вы можете использовать метод разделения переменных, численное решение или какой-либо другой метод.

5. Примените граничные условия: Например, если вы рассматриваете длинный цилиндр из феррита, по границе цилиндра должно выполняться условие непрерывности **B** и **H**.

6. Найдите константы интегрирования путем подстановки граничных условий.

Магнитный отклик феррита часто зависит от частоты внешнего магнитного поля и может быть нелинейным или даже иметь гистерезис. В таких случаях для точных расчетов используют более сложные модели и численные методы.

[Ost]

Тема перенесена в Альтернативная наука.

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=619161.0
-----
В Wolfram Mathematica для решения дифференциальных уравнений при задании граничных условий на неограниченной области обычно используется предел бесконечности. Однако, так как компьютер не может работать с бесконечными точками напрямую, обычной практикой является замена бесконечного интервала большим, но конечным числом, которое аппроксимирует бесконечность на практике. Существуют также специальные методы, позволяющие работать с асимптотическими границами.

Для указания бесконечных границ в качестве граничных условий используют символ `Infinity`. Например, при решении следующего уравнения волновой функции \(\psi(x)\):

```
\[-\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x)\]
```

где \(V(x)\) — потенциал, а \(E\) — энергетический уровень, можно использовать выражение `DirichletCondition` для указания граничных условий при \(x \to \pm\infty\), например:

```mathematica
NDSolve[{-D[ψ

• , {x, 2}] + V
• ψ
• == E ψ
• , DirichletCondition[ψ
• == 0, True]}, ψ, {x, -Infinity, Infinity}]

```

В данном случае `DirichletCondition[ψ

• == 0, True]` говорит о том, что волновая функция стремится к нулю при \(x \to \pm\infty\).

Важно заметить, что при численных расчетах всегда приходится отходить от строгой математической абстракции и выбирать достаточно большое конечное значение для "бесконечности". Нужно тщательно выбирать эти значения, чтобы достаточно точно аппроксимировать бесконечность и в то же время избегать ненужных вычислительных затрат.

Если вы решаете определенный класс уравнений, таких как уравнения Шредингера для неограниченных систем, в Mathematica также имеются специализированные методы, такие как методы матчинга (matching methods) или функциональный анализ, которые позволяют рассматривать асимптотическое поведение и таким образом подходить к неограниченным областям.

[Ost]

Тема перенесена в Полигон.

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=619173.0
---------
В Wolfram Mathematica для решения задач с граничными условиями в ограниченной области, например, в кубе, используется подход численного решения дифференциальных уравнений с помощью функций `NDSolve` или `NDSolveValue`. Если вы решаете задачу вычисления магнитного поля круговой рамки с током, то вам потребуется использовать уравнения Максвелла.

Рассмотрим пример, где мы будем рассчитывать магнитное поле внутри куба, создаваемое круговой рамкой с током, используя закон Био-Савара или Ампера (зависит от ваших упрощений и предположений). Вот примерный подход к решению такой задачи:

1. Зададим область расчёта:
```mathematica
(* Опишем куб, взяв за основу функцию Cuboid *)
cube = Cuboid[{-1, -1, -1}, {1, 1, 1}];
```

2. Определим токоведущий контур, предположим, что он находится центрированно в одной из граней куба и это круг:
```mathematica
(* Например, для рамки с радиусом 0.5 в плоскости XY: *)
radius = 0.5;
wire = ParametricRegion[{{radius Cos[t], radius Sin[t], -1}, 0 <= t <= 2 Pi}, {{t}}];
```

3. Зададим граничные условия, т.е. условия на границах куба. В зависимости от задачи, граничные условия могут быть разные: условия Дирихле, Неймана или смешанные. Как пример, зададим условие равенства магнитного поля нулю на границах куба. Но необходимо учитывать, что в общем случае, если контур с током находится внутри области, то на границе магнитное поле обычно не будет равно нулю. Здесь для примера:
```mathematica
bcs = DirichletCondition[{B[x, y, z] == 0}, True];
```

4. Сформулируем уравнения Максвелла для стационарного случая (магнитостатика) внутри куба и решим их с учетом граничных условий. Закон Ампера для стационарного случая:
```mathematica
(* Curl[B[x, y, z], {x, y, z}] == μ0 J[x, y, z] *)
```
Ток J[x, y, z] будет иметь ненулевые компоненты только вдоль контура рамки.

5. Решаем систему:
```mathematica
(* Использование функции NDSolveValue для решения системы уравнений *)
solution = NDSolveValue[{
    Curl[B[x, y, z], {x, y, z}] == μ0 * CurrentDensity[x, y, z],
    bcs},
    B, {x, y, z} ∈ cube
];
```

Важно понимать, что вышеупомянутые шаги требуют дополнительной и детальной настройки. В реальности, для вычисления магнитного поля вам понадобится реализовать расчет токовой плотности `CurrentDensity[x, y, z]`, который соответствует вашей круговой рамке и применять численные методы для решения полученной системы дифференциальных уравнений.

Также, следует указать начальные условия для полей, если они известны. В вашем случае это может быть как напряженность магнитного поля, создаваемая рамкой с током.

Этот пример является просто отправной точкой, и его следует адаптировать под ваш конкретный случай. Для более точных инструкций рекомендуется обратиться к специализированной литературе по численному анализу и консультациям с экспертами в области вычислительной электродинамики.

[Ost]

Тема перенесена в Альтернативная наука.

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=619209.0
----
В Wolfram Mathematica для решения задач электромагнитного поля с использованием граничных условий можно применять функцию `NDSolve` и связанные с ней функции для численного решения дифференциальных уравнений. Для задачи о вычислении магнитного поля круговой рамки с током вы можете использовать закон Био-Савара или уравнения Максвелла в соответствующем приближении.

Чтобы задать граничные условия в ограниченной области (например, внутри куба) так, чтобы они соответствовали решению для неограниченного пространства, нужно использовать условие, приближающее поведение поля на границе. Однако, в общем случае, точного соответствия добиться не удастся, так как решения в ограниченной и неограниченной областях отличаются. Вместо этого, часто используются приближенные граничные условия, такие как условия радиационного демпфирования (radiation boundary conditions) или условия идеального отражающего (PEC – Perfect Electric Conductor) или идеального проникающего проводника (PMC – Perfect Magnetic Conductor).

Вот пример кода, который иллюстрирует, как можно было бы начать формулировку задачи в Mathematica. Здесь используется символическое задание граничного условия и региона, в котором решается задача:

```mathematica
Needs["NDSolve`FEM`"]
(* Определите кубическую область *)
region = Cuboid[{xMin, yMin, zMin}, {xMax, yMax, zMax}];

(* Задайте граничные условия *)
(* Например, магнитное поле может соответствовать некоторой функции на границе *)
(* Это условие нужно определить в соответствии с решением для неограниченной области *)
bcs = DirichletCondition[{B[x, y, z] == Binf[x, y, z]}, True];

(* Уравнения Максвелла в дифференциальной форме могут быть использованы для описания поля *)
(* Например, в виде уравнения Пуассона для векторного потенциала A *)
(* ΔA == -μ₀ * J, где J - плотность тока *)

(* Задайте распределение тока J (например, для круговой рамки) *)
J[x_, y_, z_] := ...

(* Решите уравнение с помощью NDSolve *)
solution = NDSolve[{Laplacian[A[x, y, z], {x, y, z}] == -μ0 * J[x, y, z], bcs}, A, {x, y, z} ∈ region]

(* Оцените решение в определенной точке или найдите линии магнитной индукции *)
Bfield = Curl[A[x, y, z] /. solution, {x, y, z}]
BfieldAtPoint = Bfield /. {x -> x0, y -> y0, z -> z0}
```

Этот код является высокоуровневым и примерным. Вам нужно будет определить конкретные граничные условия (`bcs`), начальные данные (если это начально-граничная задача для динамических уравнений), функцию, описывающую ток в рамке (`J`), и соответствующим образом настроить численные параметры решателя `NDSolve`.

Пожалуйста, помните о том, что для качественного и корректного численного решения подобного рода задач может потребоваться значительный опыт работы с методами численного моделирования и детальное понимание физической задачи.

[Ost]

Тема перенесена в Альтернативная наука.

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=619244.0
------------------
С точки зрения классической электродинамики, описываемой уравнениями Максвелла и законом силы Лоренца, не имеет значения, что движется — заряд или магнит, потому что физические законы инвариантны относительно инерциальных систем отсчета.

Сила Лоренца, действующая на движущийся электрический заряд в магнитном поле, определяется как:
\(\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})\)
где:
- \( \vec{F} \) — сила Лоренца,
- \( q \) — электрический заряд,
- \( \vec{v} \) — скорость заряда,
- \( \vec{B} \) — магнитное поле.

Если магнитное поле в точке, где находится заряд, однородно и не изменяется со временем, тогда, согласно принципу относительности, не имеет значения, движется ли заряд относительно магнита или магнит относительно заряда, сила, действующая на заряд, будет одинаковой при условии, что относительная скорость между ними одинакова.

Важным является относительная скорость \( \vec{v} \) заряда по отношению к магнитному полю \( \vec{B} \). Тем не менее, в специальной теории относительности необходимо учитывать преобразования Лоренца, когда рассматриваются системы отсчета, движущиеся с релятивистскими скоростями, поскольку в этих условиях электрическое и магнитное поля перестают быть независимыми и могут преобразовываться друг в друга. Однако в рамках классической электродинамики и при условии нерелятивистских скоростей можно считать поле неизменным в точке заряда, если магнитное поле однородно и стационарно.

[Ost]

Тема перенесена в Альтернативная наука.

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=619261.0
--------
Поперечные волны в стержне (или волны поперечной деформации) – это волны, в которых смещение частиц среды происходит перпендикулярно направлению распространения волны. Для описания поперечных волн в стержнях используется уравнение движения, которое можно вывести с помощью законов механики.

Основное уравнение, описывающее распространение поперечных волн в упругом стержне, имеет вид:

\[ \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \]

где:
- \( u(x, t) \) — это смещение точки стержня в поперечном направлении относительно его начального положения, в функции координаты \( x \) и времени \( t \);
- \( c \) — скорость распространения поперечной волны в стержне, которая зависит от его плотности \( \rho \) и модуля сдвига \( G \), где \( c = \sqrt{\frac{G}{\rho}} \).

Для начала рассмотрим деформацию в маленьком элементе стержня. При поперечной нагрузке этот элемент испытывает сдвиг, который пропорционален касательному напряжению и модулю сдвига материала стержня. Записав второе закона Ньютона для этого элемента, получим уравнение, откуда можно вычислить скорость распространения волны, исходя из динамического равновесия нагрузок и инерционных сил.

Чтобы решить это волновое уравнение, обычно используются методы разделения переменных или преобразование Фурье. Эти методы позволяют найти решение в виде стоячих или бегущих волн.

Например, для гармонической волны решение уравнения может иметь вид:

\[ u(x, t) = A \sin(kx - \omega t + \phi) \]

где:
- \( A \) — амплитуда волны;
- \( k \) — волновое число (обратный пространственный период волны);
- \( \omega \) — угловая частота волны;
- \( \phi \) — начальная фаза волны.

Эти параметры связаны со скоростью волны \( c \) и частотой \( f \) как \( k = \frac{2\pi}{\lambda} \), \( \omega = 2\pi f \), где \( \lambda \) — длина волны.

Для получения более точного решения в конкретной ситуации могут потребоваться дополнительные граничные условия, такие как фиксированные или свободные концы стержня, наличие нагрузки или соединений с другими телами и т.п.

[Ost]

Тема перенесена в Альтернативная наука.

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=619263.0
----------
Давайте проверим вычисление интеграла шаг за шагом. Во-первых, опечатка была в выражении для \(k^2\), оно должно быть следующим:

\[
k^2 = \frac{4R\rho}{z^2 + (R + \rho)^2}
\]

Кроме того, в определении знака интеграла после замены переменных также есть ошибка, в результате которой пределы интегрирования оставлены прежними, хотя они должны измениться.

Теперь исправим эти ошибки и повторно вычислим интеграл, следуя Вашему изложению.

1. Замена переменных (\( \beta = \pi - 2\alpha \)) приведёт к изменению пределов интегрирования:
\[
\begin{align*}
\beta &= 0 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{2} \\
\beta &= 2\pi \Rightarrow \alpha = -\frac{\pi}{2}.
\end{align*}
\]

2. Кроме того, необходимо учесть изменение направления интегрирования. Когда вы делаете замену переменных, дифференциал меняет знак:
\[
d\beta = -2d\alpha \Rightarrow d\alpha = -\frac{1}{2} d\beta.
\]

Таким образом, интеграл принимает вид:

\[
A = \frac{\mu_0 I R}{4 \pi} \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)}{\sqrt{z^2 + (R + \rho)^2 - 4R\rho\sin^2\alpha}} (2d\alpha),
\]

где мы воспользовались соотношением \( \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = -\cos(2\alpha) \) для перехода к вашему выражению замены.

Из этого получаем:

\[
A = -\frac{\mu_0 I R k}{2\pi\sqrt{R\rho}} \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\alpha}} d\alpha,
\]

где уже учтена подстановка для \(k^2\).

Если мы разделим этот интеграл на две части:

\[
A = -\frac{\mu_0 I R k}{2\pi\sqrt{R\rho}} \left( \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2\alpha}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\alpha}} d\alpha - \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2\alpha}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\alpha}} d\alpha \right),
\]

После чего можно использовать симметричные свойства синуса и косинуса, чтобы только интегрировать по половине от \(-\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{\pi}{2}\):

\[
A = -\frac{\mu_0 I R k}{2\pi\sqrt{R\rho}} \left( 2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2\alpha}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\alpha}} d\alpha - 2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2\alpha}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\alpha}} d\alpha \right),
\]

В этом выражении мы можем упростить подынтегральные функции, учитывая, что:

\[
2\cos^2\alpha = 1 + \cos(2\alpha), \quad \text{и} \quad 2\sin^2\alpha = 1 - \cos(2\alpha).
\]

Итак, интеграл принимает вид:

\[
A = -\frac{\mu_0 I R k}{2\pi\sqrt{R\rho}} \left( 2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2\sqrt{1 - k^2\sin^2\alpha}} d\alpha - 2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2\sqrt{1 - k^2\sin^2\alpha}} d\alpha \right).
\]

Теперь выполним указанные интегралы, зная, что они соответствуют эллиптическим интегралам первого (K) и второго (E) рода:

Интеграл, относящийся к K, это полный эллиптический интеграл первого рода:

\[
K(k) = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\alpha}},
\]

и Эллиптический интеграл второго рода E:

\[
E(k) = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - k^2 \sin^2\alpha} ~ d\alpha.
\]

Используя определения K и E, а также учитывая, что интеграл от \(\cos(2\alpha)\) за один период равен нулю, мы получаем:

\[
A = -\frac{\mu_0 I R k}{\pi\sqrt{R\rho}} [K(k) - E(k)].
\]

Это итоговое выражение для исходного интеграла с использованием эллиптических интегралов.Обратите внимание, что здесь \(K(k)\) и \(E(k)\) должны быть функциями от \(k\), а не \(k^2\). Это распространенное обозначение, и вам следует удостовериться, что вы используете правильный аргумент при вычислении или поиске значений эллиптических интегралов.

[Ost]

Тема перенесена в Альтернативная наука.

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=619273.0
---------
\(\vec S_2=\vec S_{02}+\vec V_2~t\)

\(\vec S_1=\vec S_{01}+\vec V_1~t\)

\(\vec L=\vec S_{2}-\vec S_1\)

\(\vec L+\vec c_{i}~\tau_i=\vec V_1~\tau_i\)     \(\vec L=(\vec V_1-\vec c_{i})~\tau_i\) (1)

\(\vec c_{i} \cdot \vec L=(\vec c_{i} \cdot \vec V_1- \vec c_{i} \cdot \vec c_{i})~\tau_i\) (2)

\(-c_{i}~L~cos(\beta)=(-c_{i}~V_1~cos(\alpha+\beta)-c^2)~\tau_i\)   (3)

\(-L~cos(\beta)=(-V_1~cos(\alpha+\beta)-c)~\tau_i\)

\(L~cos(\beta)=(V_1~cos(\alpha+\beta)+c)~\tau_i\)    (4)

\(\displaystyle \tau_i=\frac{L~cos(\beta)}{V_1~cos(\alpha+\beta)+c}\);

\(\displaystyle V_1~\tau_i~sin(\alpha)=c~\tau_i~sin(\beta)\);     \(\displaystyle V_1~sin(\alpha)=c~sin(\beta)\); \(\displaystyle \frac{V_1}{c} sin(\alpha)=sin(\beta)\); (6)

\(\displaystyle V_1~\tau_i~cos(\alpha)+c~\tau_i~cos(\beta)=L\);

\(\displaystyle c~\tau_i~cos(\beta)=L-V_1~\tau_i~cos(\alpha)\);   

\(\displaystyle cos(\beta)=\frac{L}{c~\tau_i}-\frac{V_1}{c}~cos(\alpha)\);    (7)

\(L~cos(\beta)=(V_1~(cos(\alpha)~cos(\beta)-sin(\alpha)~sin(\beta))+c)~\tau_i\)     (5)

\(\displaystyle L \left(\frac{L}{c~\tau_i}-\frac{V_1}{c}~cos(\alpha) \right)=\left(V_1 \left(cos(\alpha) \left(\frac{L}{c~\tau_i}-\frac{V_1}{c}~cos(\alpha) \right)-sin(\alpha)~\frac{V_1}{c} sin(\alpha) \right)+c \right)~\tau_i\)   (8)

\(\displaystyle \frac{L^2}{c~\tau_i}-\frac{L~V_1}{c}~cos(\alpha)=\left(V_1 \left( \left(\frac{L}{c~\tau_i} cos(\alpha)-\frac{V_1}{c}~cos(\alpha)^2 \right)-\frac{V_1}{c} sin(\alpha)^2 \right)+c \right)~\tau_i\)

\(\displaystyle \frac{L^2}{c~\tau_i}-\frac{L~V_1}{c}~cos(\alpha)=\left(V_1 \left( \frac{L}{c~\tau_i} cos(\alpha)-\frac{V_1}{c} \right)+c \right)~\tau_i\)

\(\displaystyle \frac{L^2}{c~\tau_i}-\frac{L~V_1}{c}~cos(\alpha)=\left( \frac{V_1~L}{c~\tau_i} cos(\alpha)-\frac{V_1^2}{c}+c \right)~\tau_i\)

\(\displaystyle \frac{L^2}{\tau_i}-L~V_1~cos(\alpha)=\left( \frac{V_1~L}{\tau_i} cos(\alpha)+c^2 -V_1^2\right)~\tau_i\)

\(\displaystyle \frac{L^2}{\tau_i}-L~V_1~cos(\alpha)=V_1~L~ cos(\alpha)+\left( c^2 -V_1^2\right)~\tau_i\)

\(\displaystyle \frac{L^2}{\tau_i}=2V_1~L~ cos(\alpha)+\left( c^2 -V_1^2\right)~\tau_i\)

\(\displaystyle \left(c^2 -V_1^2\right)~\tau_i^2+ 2V_1~L~cos(\alpha)~\tau_i - L^2=0\)   (9)

\(\displaystyle \tau_i=\frac{-2V_1~L~cos(\alpha) \pm \sqrt{4V_1^2~L^2~cos(\alpha)^2+4(c^2-V_1^2)~L^2}}{2(c^2-V_1^2)}\);  (10)

\(\displaystyle \tau_i=L~\frac{-V_1~cos(\alpha) + \sqrt{V_1^2~cos(\alpha)^2+c^2-V_1^2}}{c^2-V_1^2}\);  (11)

\(\displaystyle \tau_i=L~\frac{\sqrt{c^2-V_1^2~sin(\alpha)^2}-V_1~cos(\alpha)}{c^2-V_1^2}\);  \((12)\)

\(\displaystyle \);

[Ost]

Тема перенесена в Альтернативная наука.

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=619324.0
---------------
Записать интеграл через эллиптические функции.
\(\displaystyle \int\limits_0^{2 \pi}\frac{cos(\beta)}{\sqrt{z^2+R^2+\rho^2-2R~\rho~cos(\beta)}}~d\beta\).
\( z~- \) любое действительное число.
\( R~- \) любое положительное число.
\( \rho~- \) любое положительное число.

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=612882.msg9469348#msg9469348
-----
Этот интеграл тесно связан с электростатикой и выражает потенциал поля, создаваемого кольцевым зарядом. Он также может быть выражен через полные эллиптические интегралы первого и второго рода.

Функции \( K(k) \) и \( E(k) \), полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно, определяются следующими выражениями:
\[ K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}\, d\theta \]
\[ E(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}\, d\theta \]
где \( k \) — модуль эллиптического интеграла, который в данном случае равен:
\[ k = \frac{2\sqrt{R\rho}}{\sqrt{(R+\rho)^2 + z^2}} \]

Выражение интеграла через эллиптические функции будет иметь вид:
\[ \int\limits_0^{2\pi} \frac{\cos(\beta)}{\sqrt{z^2 + R^2 + \rho^2 - 2R\rho\cos(\beta)}}\,d\beta = \frac{4}{\sqrt{(R + \rho)^2 + z^2}}\cdot(K(k) - E(k)) \]

Это выражение содержит эллиптические интегралы первого и второго рода и представляет собой стандартное решение такого вида интегралов, которое можно найти в таблицах интегралов или справочной литературе по специальным функциям. Интеграл очень часто встречается в физических задачах, связанных с расчетом потенциалов.
-------
\(\displaystyle A=-\frac{\mu_0~I~R}{4 \pi}\int\limits_0^{2 \pi}\frac{cos(\beta)}{\sqrt{z^2+R^2+\rho^2-2R~\rho~cos(\beta)}}~d\beta\).

Преобразуем к эллиптическим интегралам.
Пусть \(\beta=\pi -2\alpha\);  \(d\beta=-2d\alpha\).

Обозначим  \(\displaystyle k^2=\frac{4~R~\rho}{z^2+(R+\rho)^2}\).

\(cos(\beta)=-cos(2\alpha)=-cos(\alpha)^2+sin(\alpha)^2=2~sin(\alpha)^2-1\).

\(\sqrt{z^2+R^2+\rho^2-2R~\rho~cos(\beta)}=\sqrt{z^2+R^2+\rho^2-2R~\rho~(2~sin(\alpha)^2-1)}=\sqrt{z^2+R^2+\rho^2-4R~\rho~sin(\alpha)^2+2R~\rho}=\sqrt{z^2+(R+\rho)^2-4R~\rho~sin(\alpha)^2}=\)

\(\displaystyle =\sqrt{z^2+(R+\rho)^2}\sqrt{1-k^2~sin(\alpha)^2}=\frac{2\sqrt{R~\rho}}{k}\sqrt{1-k^2~sin(\alpha)^2}\).

\(\displaystyle A=-\frac{\mu_0~I~R}{4 \pi}\int\limits_0^{2 \pi} \frac{cos(\beta)}{\sqrt{z^2+R^2+\rho^2-2R~\rho~cos(\beta)}}~d\beta=-\frac{\mu_0~I~R}{4 \pi} \int \limits_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} \frac{-2~(2~sin(\alpha)^2-1)}{\frac{2\sqrt{R~\rho}}{k}\sqrt{1-k^2~sin(\alpha)^2}}~d\alpha=\frac{\mu_0~I~R~k}{4 \pi \sqrt{R~\rho}}\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}}\frac{2~sin(\alpha)^2-1}{\sqrt{1-k^2~sin(\alpha)^2}}~d\alpha=\)

\(\displaystyle=-\frac{\mu_0~I~R~k}{2 \pi\sqrt{R~\rho}}\int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2~sin(\alpha)^2-1}{\sqrt{1-k^2~sin(\alpha)^2}}~d\alpha=-\frac{\mu_0~I~R}{2 \pi ~k~\sqrt{R~\rho}}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{2-k^2}{\sqrt{1-k^2~sin(\alpha)^2}}-2\sqrt{1-k^2~sin(\alpha)^2}\right)~d\alpha=-\frac{\mu_0~I}{2 \pi ~k}\sqrt{\frac{R}{\rho}}\left((2-k^2)K(k^2)-2E(k^2)\right)\).



Обозначим  \(\displaystyle m=\frac{4~R~\rho}{z^2+(R+\rho)^2}\).

\(\displaystyle A=-\frac{\mu_0~I~R}{4 \pi}\int\limits_0^{2 \pi} \frac{cos(\beta)}{\sqrt{z^2+R^2+\rho^2-2R~\rho~cos(\beta)}}~d\beta=-\frac{\mu_0~I~R}{4 \pi}\int\limits_{\pi/2}^{-\pi/2} \frac{-2(2~sin(\alpha)^2-1)}{\sqrt{z^2+(R+\rho)^2}\sqrt{1-m~sin(\alpha)^2}}~d\alpha=\frac{\mu_0~I~R}{2 \pi\sqrt{z^2+(R+\rho)^2}}\int\limits_{\pi/2}^{-\pi/2} \frac{2~sin(\alpha)^2-1}{\sqrt{1-m~sin(\alpha)^2}}~d\alpha=\)

\(\displaystyle =\frac{\mu_0~I~R}{\pi\sqrt{z^2+(R+\rho)^2}}\int\limits_{0}^{\pi/2} \frac{2~sin(\alpha)^2-1}{\sqrt{1-m~sin(\alpha)^2}}~d\alpha=\frac{\mu_0~I~R}{\pi ~m~ \sqrt{z^2+(R+\rho)^2}}\int\limits_{0}^{\pi/2} \left(\frac{2-m}{\sqrt{1-m~sin(\alpha)^2}}-2\sqrt{1-m~sin(\alpha)^2}\right)~d\alpha=\)

\(\displaystyle =\frac{\mu_0~I~R~\sqrt{z^2+(R+\rho)^2}}{4\pi ~\rho~R}~\int\limits_{0}^{\pi/2} \left(\frac{2-m}{\sqrt{1-m~sin(\alpha)^2}}-2\sqrt{1-m~sin(\alpha)^2}\right)~d\alpha=\frac{\mu_0~I~\sqrt{z^2+(R+\rho)^2}}{4\pi ~\rho}~\int\limits_{0}^{\pi/2} \left(\frac{2-m}{\sqrt{1-m~sin(\alpha)^2}}-2\sqrt{1-m~sin(\alpha)^2}\right)~d\alpha=\)

\(\displaystyle =\frac{\mu_0~I~\sqrt{z^2+(R+\rho)^2}}{4\pi ~\rho}~\left((2-m)K(m)-2E(m)\right)=\frac{\mu_0~I~\sqrt{z^2+(R+\rho)^2}}{2\pi ~\rho}~\left((1-m/2)K(m)-E(m)\right)\).